x+x=2x Consideriamo la seguente frase: La somma di un numero con se stesso è uguale al suo doppio Se alla parola numero sostituiamo la lettera x possiamo scrivere la seguente uguaglianza: x+x=2x Otteniamo delle uguaglianze fra espressioni letterali che sono sempre vere qualunque sia il valore che diamo a x. Infatti, ad esempio: se x=3 si ha: 3+3=2•3=6 e quindi 6=6 se x=1 si ha: 1+1=2•1=2 e quindi 2=2 se x=0 si ha: 0+0=2•0=0 e quindi 0=0

Un poligono regolare ha tutti i lati congruenti. Si può osservare che la frase precedente risulta sempre valida nel caso di tutti i poligoni regolari, una frase simile si dice frase vera. Un’IDENTITÀ è una uguaglianza fra due espressioni (di cui almeno una letterale) verificata per qualsiasi valore delle lettere che vi figurano.

3x-2x=5 Consideriamo il seguente problema: La differenza tra il triplo di un numero ed il suo doppio è uguale a 5 Se alla parola numero sostituiamo la lettera x possiamo scrivere la seguente uguaglianza: 3x-2x=5 Questa uguaglianza è verificata “solo” nel caso in cui alla lettera x assegniamo il valore 5. Infatti: se x=5 si ha: 3•5-2•5=5 e quindi 5=5 se x=1 si ha: 3•1-2•1=5 e quindi 15 se x=0 si ha: 3•0-2•0=5 e quindi 05

Il poligono……………ha 8 lati. Si può osservare che la frase precedente risulta valida solo nel caso di un ottagono, mentre è falsa se al posto dei puntini scriviamo il nome di un qualsiasi altro poligono Un’EQUAZIONE è un’uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una letterale, verificata solo per particolari valori delle lettere che vi figurano.

3x+5 = 2x-7 terminologia delle equazioni ! COEFFICIENTE INCOGNITA PRIMO MEMBRO SECONDO MEMBRO 3x+5 = 2x-7 COEFFICIENTE INCOGNITA TERMINE NOTO L’insieme S di tutte le soluzioni (o radici) si chiama insieme soluzione o insieme delle soluzioni. ! Per termine di un’equazione si intende ogni monomio.

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Equazioni equivalenti 2x+4=10 2x=6 x=3 x=3 Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. S1=S2

Primo principio 3x+5=2x-3 3x+5 2x-3 +5 3x+5+5 2x-3+5 -2 3x+5-2 2x-3-2 Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene un’equazione equivalente alla data.

- 3 x + 3 = 10 Applicazioni ! REGOLA DEL TRASPORTO x=7 x+3=10 ELIDERE I TERMINI UGUALI x=12 2x+5=12+x+5 +5 +5 2x+5=12+x+5 2x=12+x+5-5 2x=12+x ! x=12

Secondo principio Dimezziamo (dividiamo per 2) Triplichiamo (moltiplichiamo per 3) 2x+4 6x (2x+4):2 (2x+4)•3 (6x) •3 (6x):2 Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, diverso da 0, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Applicazioni -x+4=-6 x=10 (-x+4)•(-1)=(-6)•(-1) x-4=6 x=10 x=1 m.c.m dei denominatori 1 3 4 1 3 4 9+4x=1+12x x=1

ax=b Risoluzione Equazione di partenza Ridotta a forma normale con a≠0 2 1

REGOLE DEL BUON RISOLUTORE: elimina le parentesi eseguendo le operazioni indicate secondo le regole del calcolo letterale. Se l’equazione è a termini frazionari, riducila in forma intera moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori. Trasporta tutti i termini in x al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro tenendo presenti le leggi del trasporto. Esegui le addizioni algebriche ottenute al primo e al secondo membro in modo tale da ottenere l’equazione in forma normale del tipo ax=b. Determina la soluzione x=b/a ( se a≠0).

Discutere un'equazione ...ovvero interpretare il risultato ottenuto esempio coefficienti soluzione l’equazione è 3x=15 a0 b0 x=b\a determinata 5x=0 a0 b=0 x=0 0•x=4 a=0 b0 nessuna soluzione impossibile 0•x=0 a=0 b=0 infinite soluzioni Indeterminata = IDENTITÀ

Segui la strada che porta NO L’equazione è determinata, con la soluzione SI b = 0? L’equazione è impossibile L’equazione è indeterminata*. Data un’equazione portata in forma normale ax = b IDENTITÀ alla soluzione!