DUE MODELLI firmati VOLTERRA Realizzato da: Albergotti Veronica, Bientinesi Tommaso, Cavallaro Silvia (V D) (Prof. Massarucci Mara: Liceo Scientifico R. Donatelli di Terni)

MODELLI MATEMATICI A prima vista molti fenomeni naturali, sembrano semplici, regolari, ma ad uno sguardo più attento scopriamo il loro vero aspetto complesso, irregolare. Quanto sarebbe più semplice poter immaginare un mondo semplice, lineare! La matematica fornisce vari modelli per lo studio della dinamica di tali fenomeni.

Interazione tra due popolazioni isolate SISTEMI LINEARI Interazione tra due popolazioni isolate Vito Volterra (1860-1940) si è trovato a dover affrontare problemi riguardanti l’evoluzione di due popolazioni isolate: gli squali e le sardine nel Mare Atlantico, durante il periodo della Prima Guerra Mondiale. Il suo modello si basa su un sistema lineare del tipo: { Xn+1 = xn + axn + byn Yn+1 = yn + cxn + dyn

{ Guardando più approfonditamente questo sistema lineare: Xn+1 = xn + axn + byn Yn+1 = yn + cxn + dyn È il numero di individui della prima specie allo stadio n Xn Yn È il numero di individui della seconda specie allo stadio n Sono i coefficienti dei termini di correzione di ciascuna specie a, b, c, d

Al variare dei parametri a, b, c, d, le due popolazioni si comportano in maniera diversa: { Xn+1 = xn + axn + byn Yn+1 = yn + cxn + dyn Sono in COOPERAZIONE se b, c >0 and a, d <0 Sono in COMPETIZIONE se b, c <0 and a, d >0 Si comportano come PREDE-PREDATORI nel caso che b, d <0 and a, c >0 Analizzeremo in particolare il caso delle sardine e degli squali del Mare Mediterraneo, quindi il sistema Preda-Predatori

{ Preda-Predatori Alcuni casi particolari per questo sistema: Se non ci fossero gli squali y le sardine x tenderebbero ad esplodere ( b=0 ) b) Se invece non ci fossero le sardine, gli squali si estinguerebbero ( c=0 ) c) Quando entrambe sono presenti, gli squali prevalgono sulle sardine che in poco tempo si estinguono provocando la successiva scomparsa anche dei loro predatori d) Si può rimediare a ciò con il ripopolamento: nel sistema vengono reinserite nuove sardine dall’esterno anno dopo anno { Xn+1 = xn + axn + byn + I Yn+1 = yn + cxn + dyn

Se il modello fosse lineare entrambe le popolazioni si estinguerebbero. Nella realtà il sistema non è perfettamente isolato e di fatto non è lineare { Xn+1 = xn + axn – bxnyn Yn+1 = yn + dxnyn - cxn

Iterazione tra due popolazioni Sistemi non lineari Iterazione tra due popolazioni { Xn+1 = xn + axn – bxnyn Yn+1 = yn + dxnyn - cxn I parametri di questo sistema sono stati creati eseguendo degli esperimenti: 1) a= a1+a2 mettendo le prede da sole e vedendo come si evolvevano 2) b mettendo un predatore in una gabbia con diverse quantità di prede per vedere quante prede muoiono 3) c, d mettendo in gabbia uno stesso numero di prede fisso per vedere come si evolvono i predatori

concludendo... La linearità di un sistema dinamico indica che piccole (grandi) variazioni dei parametri di ingresso comportano piccole (grandi) variazioni dei parametri di uscita. Un sistema dinamico non lineare invece mostra che anche piccoli cambiamenti all’ingresso del sistema possono causare grandi effetti all’uscita. modelli1.exe