Cos’è la fattorizzazione Fattorizzare o scomporre un polinomio significa poterlo vedere come prodotto di due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente fattorizzabile, allora la scomposizione è in fattori primi. Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario. Metodi di scomposizione I metodi per eseguire la scomposizione si basano sui seguenti criteri: i raccoglimenti a fattor comune parziale o totale il riconoscimento di prodotti notevoli la regola del trinomio caratteristico l’individuazione dei divisori della forma x – a

Raccoglimenti RACCOGLIMENTO TOTALE A FATTOR COMUNE Si individua il M.C.D. fra i termini del polinomio Si scrive il polinomio come prodotto fra il fattore comune per il polinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei suoi monomi per il M.C.D. calcolato. ESEMPIO 5mn – 10mn2 + 15m2n = 5  m  n – 2  5  m  n  n + 3  5  m  m  n = = 5mn(1 – 2n + 3m)

raccoglimento parziale Raccoglimenti RACCOGLIMENTO PARZIALE A FATTOR COMUNE Si applica nel caso in cui sia possibile effettuare raccoglimenti parziali tra gruppi di termini , in modo tale che poi sia possibile effettuare un raccoglimento totale. ESEMPIO 2ay + 2by + ax + bx = 2y(a + b) + x(a + b) = raccoglimento parziale (a + b) (2y + x) raccoglimento totale

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = (b – a)2 Riconoscimento dei prodotti notevoli TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI BINOMIO a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = (b – a)2 ESEMPI a2 + 8a + 16 = (a + 4)2 1. (a)2 2  a  4 (4)2

9x2 – 12xy + 4y2 4a2 – 6xy + 9x2 = (3x – 2y)2 = (2y – 3x)2 (3x)2 (2y)2 Riconoscimento dei prodotti notevoli ESEMPI 9x2 – 12xy + 4y2 = (3x – 2y)2 = (2y – 3x)2 2. (3x)2 (2y)2 2  3x  2y ESEMPI 4a2 – 6xy + 9x2 3. non è lo sviluppo di un quadrato (2a)2 (3x)2 2a  3x

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (a + b + c)2 Riconoscimento dei prodotti notevoli POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (a + b + c)2 ESEMPI a2 + 2ab + b2 + 4a + 4b + 4 = (a + b + 2)2 1. (a)2 2  a  b (b)2 2  a  2 2  b  2 (2)2

2  (−x)2  (−2y3) = −2  (−x)2  (2y3) Riconoscimento dei prodotti notevoli ESEMPI x2 – 4x2y3 + 6x2 + 4y6 – 12y3 + 9 = (x – 2y3 + 3)2 = (− x +2y3 – 3)2 2. (x)2 = (−x)2 2  (−x)2  (−2y3) = −2  (−x)2  (2y3) 2  (x)  (3) = 2(−x)(−3) (2y3)2 = (−2y3)2 2  (−2y3)(3) = 2  (2y3)(−3) (3)2 = (−3)2

a2 − b2 = (a + b)  (a – b) 9x2 − y2 9z2 − (z + 5)2 Riconoscimento dei prodotti notevoli DIFFERENZA DI QUADRATI a2 − b2 = (a + b)  (a – b) ESEMPIO 1. 9x2 − y2 = (3x + y) (3x – y) (3x)2 (y)2 ESEMPIO 2. 9z2 − (z + 5)2 = (3z + z +5)  (3z – z – 5) = = (4z + 5)  (2z – 5) = = [3z + (z + 5)]  [3z – (z + 5)] = (3z)2 (z + 5)2

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3 Riconoscimento dei prodotti notevoli QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL CUBO DI UN BINOMIO a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3 ESEMPIO 1. x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 = (x + 2y)3 (x)3 3  (x)2  (2y) 3  x  (2y)2 (2y)3

a6 − 9a4b + 27a2b2 − 27b3 = (a2 − 3b)3 (a2)3 3(a2)2  (−3b) Riconoscimento dei prodotti notevoli ESEMPIO 2. a6 − 9a4b + 27a2b2 − 27b3 = (a2 − 3b)3 (a2)3 3(a2)2  (−3b) 3(a2)  (−3b)2 (−3b)3

x2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b) Trinomio caratteristico Forma del trinomio caratteristico: x2 + (a + b)x + ab Procedura di scomposizione si scrive il polinomio per esteso eseguendo la moltiplicazione indicata: x2 + ax + bx + ab Si effettua un raccoglimento parziale fra i primi due e i secondi due monomi: x(x + a) + b(x + a) Si esegue un raccoglimento totale: (x + a) (x + b) Regola di scomposizione: x2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b) ESEMPIO x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2  3 = (x + 2) (x + 3)

x3 + 4x2 + x − 6 Ricerca dei divisori di un polinomio Quando la scomposizione di un polinomio P non può essere effettuata con uno dei metodi precedenti si cerca di individuare dei divisori del polinomio della forma (x – a). Applicando il teorema di Ruffini si cercano i valori di a per i quali P(a) = 0. Se il coefficiente di grado massimo di P è uguale a 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x). ESEMPIO x3 + 4x2 + x − 6 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6

2x3 + 3x2 + 11x + 6 1 3 2 Ricerca dei divisori di un polinomio Se il coefficiente del termine di grado massimo di P è diverso da 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x) e fra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo. ESEMPIO 2x3 + 3x2 + 11x + 6 Divisori di 6: ± 1, ± 2, ± 3, ±6 Divisori di 2: ± 1, ± 2 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± , ± 1 2 3

Scomposizione con Ruffini ESEMPIO P(x) = 2x3 + 9x2 + 7x – 6 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± , ± 1 2 3 Calcolo di P(a): P(1) = 2 + 9 + 7 – 6 ≠ 0 P(−1) = −2 + 9 − 7 – 6 ≠ 0 P(−2) = −16 + 36 − 14 – 6 = 0 continua

Scomposizione con Ruffini Divisione con la regola di Ruffini −6 9 2 −2 −4 −3 6 7 −10 5 1a scomposizione di P(x): (x + 2) (2x2 + 5x –3) Scomponiamo Q(x) = 2x2 + 5x – 3 seguendo i passi precedenti: Possibili valori di a: ± 1, ± 3, ± 3 2 Inutile provare per ± 1 in quanto P(± 1) ≠ 0 Q(3) = 18 + 15 – 3 ≠ 0 Q(−3) = 18 − 15 – 3 = 0 continua

Quindi: 2x3 + 9x2 + 7x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2x – 1) Scomposizione con Ruffini −3 2 −1 +3 5 −6 Regola di Ruffini scomposizione: (x + 3) (2x – 1) Quindi: 2x3 + 9x2 + 7x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2x – 1)

x3 + a3 = (x + a)  (x2 – ax + a2) x3 − a3 = (x − a)  (x2 + ax + a2) Somma e differenza di cubi Applicando il teorema di Ruffini si ottiene: x3 + a3 = (x + a)  (x2 – ax + a2) x3 − a3 = (x − a)  (x2 + ax + a2) somma delle basi differenza delle basi quadrato della prima base seconda base prodotto cambiato di segno delle due basi ESEMPIO x3 – 27 = (x – 3) (x2 +3x + 9) 8y3 + 1 = (2y + 1) (4y2 − 2y + 1)

x4 – 1 = (x2)2 – (1)2 = (x2 – 1) (x2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) Somme e differenze di potenze Ricorda che: Qualunque differenza di potenze pari può essere interpretata come differenza di quadrati. ESEMPI x4 – 1 = (x2)2 – (1)2 = (x2 – 1) (x2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) x6 − 1 = (x3 – 1) (x3 + 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) (x +1) (x2 – x + 1) differenza di cubi somma di cubi Le somme di potenze con esponenti multipli di 3 possono essere scomposte come somme di cubi. ESEMPIO x6 + 1 = (x2)3 + 1 = (x2 + 1) (x4 − x2 + 1) somma di cubi

controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale Sintesi Nella pratica, per scomporre un polinomio conviene tenere presenti le seguenti considerazioni: controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale riferirsi a regole particolari guardando il numero dei termini del polinomio; se è un: binomio somma di quadrati x2 + a2 irriducibile differenza di quadrati x2 – a2 = (x – a) (x + a) somma di cubi x3 + a3 = (x + a) (x2 − ax + a2) differenza di cubi x3 – a3 = (x − a) (x2 + ax + a2) trinomio trinomio caratteristico x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) quadrato di un trinomio a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 quadrinomio differenza di due quadrati a2 + 2ab + b2 – x2 = (a + b)2 – x2 = (a + b + x) (a + b − x) cubo di un binomio a2 ± 3a2b +3ab2 ± b3 = (a ± b)3 polinomio di sei termini quadrato di un trinomio a2 + 4b2 + 9 + 4ab − 6a – 12b = (a + 2b – 3)2 a2 + 2a + 1 – x2 + 2xy − y2 = (a + 1)2 − (x – y)2 = = (a + 1 + x – y) (a + 1 – x + y) differenza dei quadrati di due binomi cercare i divisori della forma x – a con il teorema di Ruffini.

M.C.D. e m.c.m. tra polinomi Per determinare il M.C.D. fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori, si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l’esponente più piccolo con cui compaiono. Per determinare il m.c.m. fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori, si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande con cui compaiono. Seguono esempi

8x2 + 16xy + 8y2 = 8(x2 + 2xy + y2) = 8(x + y)2 M.C.D. e m.c.m. tra polinomi ESEMPIO Dati i seguenti polinomi, calcoliamo M.C.D. e m.c.m.: 8x2 + 16xy + 8y2 4x4 – 4x2y2 12x2 + 12xy Scomponiamo in fattori i tre polinomi: 8x2 + 16xy + 8y2 = 8(x2 + 2xy + y2) = 8(x + y)2 4x4 – 4x2y2 = 4x2(x2 – y2) = 4x2(x – y) (x + y) 12x2 + 12xy = 12x(x + y) M.C.D. = 4(x + y) m.c.m. = 24x2(x + y)2 (x – y)