Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Analisi delle Decisioni Probabilita condizionate e Teorema di Bayes Chiara Mocenni

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Probabilita a priori La probabilita a priori di un evento e il grado di credenza che gli viene attribuito in assenza di ogni altra informazione. La distribuzione di probabilita di una variabile casuale e il grado di credenza a priori che viene attribuito a tutti i valori che tale variabile puo assumere.

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Probabilita congiunte La distribuzione di probabilita congiunta rappresenta la distribuzione di tutte le combinazioni di valori di un insieme di variabili casuali. Se tale combinazione viene effettuata su tutte le variabili casuali coinvolte in un problema, prende il nome di distribuzione di probabilita congiunta completa.

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Probabilità condizionate Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi Quando ciò non è più vero, si hanno probabilità condizionate P(A|B)P(A|B) probabilità che si verifichi A supponendo che si verifichi B

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Esempio: ecografia Si considerino i seguenti eventi relativi alla nascita di un bambino: M il nascituro è maschio F il nascituro è femmina EM lecografia prevede maschio EF lecografia prevede femmina

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Esempio: ecografia Si consideri dapprima la probabilità che due eventi si verifichino entrambi (probabilità congiunta): P(M,EM)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Esempio: ecografia Valgono le seguenti espressioni: P(M,EM) = P(M|EM) P(EM) P(M,EM) = P(EM|M) P(M)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Teorema di Bayes Quindi: P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M) ossia P(M|EM) = P(EM|M) P(M) P(EM)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Esempio: ecografia Supponiamo P(M) = 0.5 P(F) = 0.5 P(EM|M) = 0.9 P(EM|F) = 0.05 e di conseguenza P(EF|M) = 0.1 P(EF|F) = 0.95

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Esempio: ecografia Possiamo ora calcolare P(EM) = P(EM|M) P(M) + P(EM|F) P(F) = = P(EF) = 1- P(EM) = Possiamo ora applicare la formula di Bayes

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Esempio: ecografia P(M|EM) = P(EM|M) P(M) P(EM) = = 0.947

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Esempio: ecografia P(F|EF) = P(EF|F) P(F) P(EF) = = 0.904

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Teorema di Bayes In generale, dati due eventi A e B: P(A|B) = P(B|A) P(A) P(B)P(B)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Teorema di Bayes P(A|B) = P(B|A) P(A) P(B)P(B) Probabilità a-priori Probabilità condizionate

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a Teorema di Bayes È uno strumento per integrare in modo quantitativo le informazioni disponibili (prob. a-priori) con quelle rilevabili o misurabili (prob. condizionate)