Approccio metodologico esperienziale all’astronomia: presupposti Incontro di aggiornamento per docenti “Esplorare lo spazio celeste con la Geometria” Planetario di Caserta 16 e 23 marzo 2012 Misure & Numeri

L-A- Smaldone I NUMERI (diamo) (?) 12.32 metri è uguale a 12.32000 metri ? Sì per un matematico ma … NO per un fisico, chimico, biologo etc. (uno sperimentale) ! Unità di misura Per tutte le altre lezioni cambiare il piè pagina (1- Misure & Numeri) (in Visualizza, selezionare Intestazione e piè di pagina, attenzione: ricordarsi di cliccare su “Applica a tutte”) La prima slide, come al solito, introduce con una domanda quello che è l’argomento della lezione: Misura (ed, indirettamente, errore – cifre significative) diretta ed indiretta Unità di misura Notazione Scientifica È il risultato (diretto o indiretto) di una operazione di misura e le cifre (significative) hanno un … preciso significato ! Misure & Numeri

Misura Diretta di una Grandezza L-A- Smaldone Misura Diretta di una Grandezza • Confronto con un Campione • 5.9 cm • 6.0 cm • 6.1 cm • …. cm • .... cm Errori Casuali (±) Scopo di chi voglia studiare scientificamente un fenomeno è trovare una relazione numerica che leghi gli enti che mutano nel fenomeno stesso: nasce così la necessità di associare a questi enti un NUMERO. Misura è confronto di una entità (grandezza fisica) con una entità della stessa specie assunta come unità di paragone (unità di misura). Nel caso presentato (misura della lunghezza della matita) la variazione è dovuta all’errore di parallasse nel confronto. C’è un errore sistematico dovuto al fatto che il fondo della matita è allineato con la fine del “centimetro da sarto” (pezzo finale metallico di sostegno, individuato dalla riga rossa) invece dell’inizio della graduazione (individuato dalla riga nera) Errori Sistematici individuati, si possono correggere (offset, taratura, procedura, condizioni di misura, preparazione ) Misure & Numeri

Distribuzione delle Misure (istogramma) L-A- Smaldone Distribuzione delle Misure (istogramma) distribuzione gaussiana e Vm σ Viene introdotto e costruito un istogramma delle misure della lunghezza della matita. Il tipo di distribuzione ottenuta (gaussiana) è frequentissima (anche se non generale). Non “possiamo” accedere al valore “vero” della lunghezza della matita ma per misura si intende una descrizione “sintetica” di questo istogramma: intorno a quale valore è centrato, Vm e la “bontà” della misura, ovvero quanto è largo, disperso l’istogramma, σ Misure & Numeri

Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? L-A- Smaldone Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? V1=5.9 V2=6.1 V3=6.0 V4=5.9 V5=5.8 V6=6.2 V7=5.6 …. Vi=…. …. N ripetizioni della misura Il Valore medio (aritmetico) è il valore più vicino a tutte i valori del set di misure (minimizza lo scarto totale, anzi … è nullo!) (Vi-Vm) scarto (dal valor medio) della misura i Misure & Numeri

Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? L-A- Smaldone Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? Occorre fornire anche un indice di quanto è largo l’istogramma (poco o molto dispersa la misura, in un certo senso .. la bontà della misura) (detto anche errore) Misure & Numeri

Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? L-A- Smaldone Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? Come si riassume il risultato delle operazioni di misura: Vm σ ± Indica anche che, effettuata una nuova misura nelle identiche condizioni, il valore V ottenuto ha una probabilità del: 68% (Vm-σ) ≤ V < (Vm+σ) 95% (Vm-2σ) ≤ V < (Vm+2σ) Misure & Numeri

Esempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo L-A- Smaldone Esempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo 12 misure (in secondi): 15.21 15.43 15.32 15.50 15.61 15.45 15.24 15.55 15.48 15.35 15.52 Pm= s σ = s 15.43917 0.145090 P=15.43917±0.145090 s ?? Misure & Numeri

Considerazioni sull’Esempio L-A- Smaldone Considerazioni sull’Esempio Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s (sul display della mia calcolatrice … su altre possono esserci anche più cifre!) Leggiamolo: Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426 Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426 Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426 Cifre certe Prima cifra incerta Prima regola: Buon Senso – che senso ha indicare i millesimi quando il cronometro segna i centesimi ed i tempi di reazione sono di 0.1-0.2 s ? P=15.44 ±0.15 Misure & Numeri

Ritorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo L-A- Smaldone Ritorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo Pm= 15.43917 s σ = 0.145090 s Regola del: Buon Senso P=15.44 ±0.15 Approssimazione al centesimo di secondo Regola della presentazione delle misure: Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta P=15.4 ±0.15(*) s (*) Se la prima cifra significativa dell’errore (incertezza) è 1, arrotondare l’errore a 2 cifre (se togliamo 5 l’errore relativo è 5/10) Misure & Numeri

Presentazione della Misura L-A- Smaldone Presentazione della Misura Errore (incertezza) esplicito: x±Δx (x±σ) Errore (incertezza) implicito, definito dall’ultima cifra significativa: 32.54 kg→ ±0.005 kg 32.5 kg→ ±0.05 kg; 32 kg→ ±0.5 kg I numeri che devono essere usati nei calcoli possono essere tenuti con una cifra significativa in più rispetto a quello richiesto nel risultato finale per ridurre le inaccuratezze introdotte dagli arrotondamenti. La misura e l’errore devono essere espressi nella stessa unità di misura. In calcoli, il risultato deve essere arrotondato al numero di c.s. del dato che ne possiede meno. Nomenclatura: Δx=σ Errore Assoluto Δx/x Errore Relativo 100Δx/x Errore Percentuale Misure & Numeri

Misura Indiretta di una Grandezze Fisiche L-A- Smaldone Misura Indiretta di una Grandezze Fisiche Area= Base  Haltezza B=7.4±0.15 cm H=5.3±0.15 cm Areamin=7.255.15=37.3375 cm2 Areamax=7.555.45=41.1475 cm2 Fare notare che il risultato ha il numero di cifre significative uguale al numero di cifre significative del dato che ne possiede meno. Probabilità del 68% che 37.3375 ≤ Area < 41.1475 Area=39±2 cm2 (A±ΔA) Misure & Numeri

Errore in una Misura Indiretta di Grandezza L-A- Smaldone Errore in una Misura Indiretta di Grandezza (propagazione dell’errore) y=y±Δy ; x=x±Δx ; z=z±Δz G=f(x,y,z) con f relazione (legge) fisica, matematica, geometrica. G=f (x,y,z) G=G±ΔG Misure & Numeri

Errore in una Misura Indiretta di Grandezza L-A- Smaldone Errore in una Misura Indiretta di Grandezza (casi più frequenti) G=a x+b y x=4.1±0.2 y=2.2 ±0.4 G=3x+2y G=16.7 G=17±1 G=x•y G=9 ±1.7 G=x/y G=1.9±0.4 Misure & Numeri