DOL - Classe F4 – Maurizio Di Gangi Sezione aurea DOL - Classe F4 – Maurizio Di Gangi
Sezione aurea: definizioni S.A. è ripartizione di un segmento in 2 parti che stanno tra loro come la maggiore sta al segmento intero Euclide, Elementi, libro II l : a = a : b
Sezione aurea: definizioni Ponendo l = 1, a = x 1 : x = x : (1 – x) x2 + x – 1 = 0 x = (Ö5 – 1) / 2 x = 0,6180339… (numero d’oro, coeff. aureo)
Costruzione geometrica Sezione aurea Costruzione geometrica dato un segmento
Rettangolo aureo In un R.A., un lato è la S.A. dell’altro lato Dividendo un R.A. in 2 parti, di cui una sia un quadrato, l’altra sarà un nuovo R.A.
Atene, Partenone
Mondrian, Sezione aurea
Esempi di rettangolo aureo
Spirale logaritmica Si parte da un R.A. Si originano nuovi R.A. inscritti Si inscrive arco di circonferenza nei quadrati La curva si avvolge intorno al polo senza mai raggiungerlo
Esempi di spirale logaritmica
Esempi di spirale logaritmica
Pentagono regolare Un pentagono regolare genera iterativamente una stella a 5 punte, simbolo per eccellenza della proporzione aurea Numerosi rapporti aurei
Stella a 5 punte (pentagramma) Generazione iterativa
Pentagrammi iterativi
Pentagrammi iterativi
L’esempio dello Stradivari Un violino Stradivari è contenibile entro 4 pentagoni regolari i cui lati fungono da tangenti, determinando una linea estremamente armoniosa
Serie di Fibonacci 1.2.3.5.8.13.21.34.55.89.144.233.377… Leonardo Fibonacci, Liber Abbaci (1202) Proprietà interessanti: Ogni numero è la somma dei 2 numeri precedenti Tre numeri consecutivi a caso sono “approssimativamente” ottimi valori per realizzare segmenti in proporzione aurea Es.: 144 : 89 = 89 : 55 con approssimazione sempre <= 1