Il bacino imbrifero modelli empirici MCSA 07/08 L10 Andrea Castelletti Politecnico di Milano Lena - Delta

Il bacino imbrifero sezione di chiusura

Modelli classici Il metodo razionale (Mulvany, 1850) L’idrogramma unitario di Sherman (1932) Il modello di Nash (1957)

Modello di Nash, 1957 Pt Interpreta il bacino come una sequenza dt Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata. h1Pt k1xt1 x1 Equazione di transizione di stato h2Pt k2xt2 x2 h3Pt k3xt3 x3 x4 h4Pt k4xt4 = dt Trasformazione di uscita

Modello di Nash, 1957 Sistema lineare Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata. Equazione di transizione di stato Trasformazione di uscita

ma allora... Perchè non identificare direttamente le funzioni del modello senza preoccuparsi di ricostruire le relazioni causali che caratterizzano il processo fisico? Più precisamente, si potrebbe identificare la relazione che lega gli ingressi all’uscita senza preoccuparsi di cosa avviene all’interno del sistema! Si potrebbe ad esempio descrivere la dinamica dell’uscita con una relazione della forma detta forma ingresso-uscita o rappresentazione esterna modelli empirici

Modelli ARX (anni 70) 1) previsione deflusso con dati di precipitazione : dt+1 = Pt-n+1 n = tempo di corrivazione dt+1 = b1Pt+ …+bnPt-n+1 2) previsione deflusso con dati di deflusso : t d t-2 t-1 t t+1 misurato calcolato dt+1 = dt ipotesi di persistenza dt+1 = 2dt - dt-1 AR(2) dt+1 = a1 dt +….+an dt-n+1 AR(n) 3) modello completo: ARX

Considerazioni I due modelli fin qui visti sono matematicamente identici. Corrispondono tutti a una stessa equazione: un sistema lineare. ARX è la relazione ingresso-uscita di un modello discreto lineare ARX º Nash

taratura dei parametri Considerazioni I due approcci differiscono solo per il metodo di taratura dei parametri Nash : classicamente stima i parametri per tentativi ed errori. ARX : adotta algoritmi di stima parametrica ai minimi quadrati.

Modelli concettuali e empirici come trovarlo? Realtà Modelli empirici spazio dei modelli

Riepilogo Modelli COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero Altri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto gronde 1350

Riepilogo Modelli COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero Altri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto gronde 1350

Modelli empirici Si limitano a riprodurre il legame intercorrente tra ingressi e uscite del sistema. Serie storica delle piogge Serie storica delle portate Modello empirico non permettono di descrivere cambiamenti nella struttura del sistema idrico. Svantaggi:

Modelli empirici rappresentazione interna del serbatoio Esempio rappresentazione interna del serbatoio rappresentazione esterna Siamo certi che esista sempre una rappresentazione esterna? La Teoria da risposte, ma ... inutili. In pratica si procede così: si assume “empiricamente” che esista; si fissa a priori l’ordine (p,r’,r’’,q) e si tarano i parametri con opportuni algoritmi; se l’aderenza alla realtà è buona la si è trovata; altrimenti si torna al passo precedente aumentando l’ordine e ... ... si continua fino a che la si trova o l’ordine raggiunto è “troppo” elevato.

Modelli empirici classe PARMAX Questi modelli non si propongono di capire come il sistema funzioni (scopo scientifico), ma solo di predire l’uscita che si otterrà in risposta a dati ingressi (scopo ingegneristico). modelli a scatola nera (black-box models) Si cerca la forma esterna in una classe di funzioni fissata a priori Se le variabili sono tutte scalari viene spesso adottata la forma lineare classe PARMAX

RETI NEURALI ARTIFICIALI Modelli empirici La forma lineare è semplice ed esistono potenti algoritmi per la stima dei suoi parametri, ma non è sempre la più adatta... ma... non-lineare! NO! Conviene utilizzare una classe di funzioni non-lineare, come le RETI NEURALI ARTIFICIALI

Modelli empirici stocastici Conviene, inoltre, considerare la forma stocastica rumore di processo a volte con un rumore “non bianco” In generale

Osservazioni La forma esterna può essere identificata solo se sono disponibili serie storiche abbastanza lunghe di ingressi e uscite. I modelli empirici non possono essere adottati quando le alternative comportano modifiche alla struttura interna del sistema, perchè non possono descriverne gli effetti. Non esistono ovviamente serie storiche che risentano di tale modifica. La capacità predittiva di un modello empirico dipende fortemente dalla classe di funzioni adottata a priori.

Ricapitolando I modelli meccanicistici rischiano di essere troppo complicati e spesso descrivono particolari irrilevanti ai fini del progetto, che non influenzano, cioè, la relazione ingresso-uscita. L’identificazione dei modelli empirici richiede di specificare a priori la classe di funzioni in cui cercare la loro forma definitiva e questa scelta condiziona fortemente la qualità del modello. IDEA (recente 1994) Utilizzare un modello meccanicistico, ma individuare la forma della relazione che lo definiscono non da conoscenze a priori (la Fisica, l’Idraulica, ...), ma direttamente dai dati.

Riepilogo Modelli COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero Altri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto gronde 1350

Riepilogo Modelli COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero Altri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici Meccanicistici basati sui dati IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto gronde 1350

? Un esempio Cunning river - Australia Il suolo asciutto assorbe la pioggia.

Un primo modello del fiume Cunning proviamo con un PARMAX precipitazione deflusso misurato deflusso stimato NO

Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) proviamo con un DBM Il valore del parametro b dipende dalla portata di deflusso, che a sua volta dipende dall’umidità del terreno.

Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) proviamo con un DBM deflusso misurato deflusso stimato ora la previsione è perfetta

Riepilogo Modelli Modello del disturbo COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero Altri componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici Meccanicistici basati sui dati IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto gronde 1350

I disturbi Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa. Per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi. definito dalla politica deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto? casuale: chi lo fornisce? N.B. I disturbi di cui parliamo sono quelli del sistema globale, non del componente.

I disturbi Mare Adriatico Fucino VILLA VOMANO PIAGANINI PROVVIDENZA CAMPOTOSTO MONTORIO (M) SAN GIACOMO (SG) Distretto irriguo (CBN) S. LUCIA (SL) PROVVIDENZA (P) Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa. Per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi. definito dalla politica deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto? casuale: chi lo fornisce?

Chi li fornisce? Due possibilità: adottare la traiettoria storica ma potrebbe essere troppo breve. identificare un modello non deve avere ingressi altrimenti ... ... si cade in un circolo vizioso ... ... che, però, è a volte utile.

Chi li fornisce? Due possibilità: adottare la traiettoria storica ma potrebbe essere troppo breve. identificare un modello non deve avere ingressi altrimenti ... ... si cade in un circolo vizioso ... ... che, però, è a volte utile. Prima o poi il disturbo deve essere spiegato senza introdurre altri ingressi e, quindi, solo in base ai valori che ha assunto negli istanti precedenti e, al più, delle variabili di stato e di controllo del sistema.

Il modello dei disturbi rumore di processo Il modello deve dunque essere empirico meglio cambiare notazione NO! circolo vizioso! a meno che ... e sia un rumore bianco

Il rumore bianco Conclusione: i disturbi devono essere bianchi Se una serie di dati ammette un modello si dice che è algoritmicamente comprimibile. Una serie non algoritmicamente comprimibile è un rumore bianco Quando il disturbo è stocastico ciò equivale a dire che il suo autocorrelogramma è identicamente nullo. Conclusione: i disturbi devono essere bianchi Vedremo in seguito come descriverli.

Utilizziamo dei modelli PARMA Bacini Utilizziamo dei modelli PARMA Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati

Carta prob. Log1100 e prec strum.

Utilizziamo dei modelli PARMA Bacini Utilizziamo dei modelli PARMA Identificazione di una distribuzione di pr. che descriva i dati Normalizzazione Standardizzazione

Bacini Definizione dell’ordine del modello PARMA (n, p) Si procede iterativamente, provando diverse combinazioni di n e p e verificando per ognuna se il residuo è bianco Se il residuo è bianco ci si ferma: il modello spiega completamente i dati In generale questo può non bastare per ottenere un “buon” modello: conviene confrontare i modelli rispetto a indici di prestazione ad esempio: la var. spiegata

Bacini Per tutti e tre i bacini si è scelto un PAR(0) definito dunque solo da media mt e varianza st ciclostazionario di periodo 365: media e varianza sono diverse ogni giorno

PAR(0) Campotosto

PAR (0) Provvidenza

PAR(0) Piaganini

Non ne parleremo in questo corso Tipi di modelli Rete Bayesiane di credenza (BBN) Modelli meccanicistici Modelli empirici Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) Modelli dei disturbi Catene di Markov Non ne parleremo in questo corso

Leggere MODSS Cap. 4 App. VERBANO Par. 6.5

Da qui è facoltativo…

Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica Quindi distribuzione di probabilità dello stato all’istante t

Lo stato stocastico Esempio: per valutare l’affidabilità di un intervento si deve stimare la frequenza degli eventi estremi: es. frequenza delle esondazioni Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica Quindi distribuzione di probabilità dello stato all’istante t Indice = probabilità di fallanza densità di probabilità pt Probabilità di fallanza Invaso soglia di esondazione

Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica. Quindi distribuzione di probabilità dello stato all’istante t Come determinare ? Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali del disturbo, generate con un modello del disturbo.

Lo stato stocastico Metodo Monte Carlo Esempio: Calcolo di un integrale a b c f(x) x Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica Quindi distribuzione di probabilità dello stato all’istante t con xi equiprobabile in (a,b) con yi equiprobabile in (0,c) Come determinare ? Si generano N coppie casuali (xi,yi) Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali del disturbo, generate con un modello del disturbo si ponga Ai=1 se f(xi)>yi Ai=0 altrimenti

computazionalmente costoso! Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica. Quindi distribuzione di probabilità dello stato all’istante t Come determinare ? Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali del disturbo, generate con un modello del disturbo. computazionalmente costoso!

Catene di Markov IDEA (Markov,1887) Se il sistema è discretizzato utilizzare come stato non ma IDEA (Markov,1887) Matrice il cui elemento rappresenta la probabilità che lo stato passi dal suo i-esimo valore all’istante t al j-esimo all’istante t+1, quando sul sistema agisce il disturbo considerato e il sistema è controllato da una politica data. semplice modello lineare: CATENA di MARKOV

Un esempio Si assuma che siano entrambi disturbi casuali e bianchi, con distribuzione nota: es. valori equiprobabili politica data S E .9 1 .1 .8 .2 S E 1 .5 S E P T .9 .2 .1 .8 Con la politica adottata l’invaso sarà scarso il 30% delle volte ed elevato il 70%. S E B 1 A probabilità che l’invaso sia Scarso all’istante t+1 probabilità che l’invaso sia Elevato all’istante t+1

Osservazioni Per calcolare una catena di Markov servono: - equazione di transizione di stato del modello (mecc. o BBN); - i modelli dei disturbi; - la politica di regolazione adottata. le stesse informazioni che occorrono per il metodo Monte Carlo! ... ... ma la catena è un modello più semplice da simulare perchè è autonomo, cioè non ha ingressi. Lo svantaggio è che le dimensioni dello stato della catena sono molto elevate, pari al numero di valori che lo stato può assumere.

Osservazioni I valori di Bt sono numerosi e difficili da stimare direttamente. Proposta: costruire prima un modello meccanicistico (o una BBN o un empirico), così che i Portatori d’interesse possano più facilmente partecipare alla sua realizzazione; ricavare poi da questo la matrice Bt della catena di Markov.