Il problema: un percorso ad ostacoli Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 22 aprile 2013 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

L’area e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol L’area e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 193 a pag. 202) 7.1 Confronto di superfici 7.2 Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura arbitrarie 7.3 Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali 7.4 Determinazione dell’area di una figura piana Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

L’area e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol L’area e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 193 a pag. 202) ITINERARIO DIDATTICO 7.1 Confronto di superfici 7.1.1 Utilizzo della manipolazione 7.1.2 Utilizzo della rappresentazione grafica 7.2 Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura arbitrarie 7.2.1 Utilizzo di unità di misura di un solo tipo 7.2.2 Utilizzo contemporaneo di più unità di misura 7.3 Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali 7.3.1 Utilizzo dei sottomultipli del metro quadrato 7.3.2 Utilizzo del metro quadrato 7.3.3 Completamento del sistema di unità di misura convenzionali dell’area 7.4 Determinazione dell’area di una figura piana 7.4.1 Costruzione della formula per il calcolo della misura dell’area di un rettangolo 7.4.2 Costruzione della formula per il calcolo della misura dell’area di particolari classi di poligoni 7.4.3 Determinazione dell’area di un poligono mediante opportune scomposizioni o composizioni 7.4.4 Determinazione dell’area del cerchio Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

RIFLETTIMO SUPERFICIE AREA SONO SINONIMI? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

DEFINIZIONI (da “Zingarelli 2066 ed. Zanichelli) Superficie: piano che delimita un corpo Area (mat): misura dell’estensione di una superficie (da “Dizionario di matematica elementare di Stella Baruk ed. Zanichelli) Superficie: parte esterna di un corpo che lo limita in tutti i sensi-la superficie della luna, dell’acqua Area è una grandezza; la sua misura in u2 è un numero Ricercare l’uso delle due parole nel linguaggio comune Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Concetto di area (di Clara Colombo Bozzolo) Stabiliamo nell'insieme P dei poligoni la relazione di equiestensione Si dimostra che tale relazione è di equivalenza, cioé è: riflessiva, simmetrica e transitiva. Possiamo allora fare una partizione dell’insieme P, mediante la relazione data, in classi di equivalenza: ogni classe ha come elementi un poligono e tutti quelli che sono ad esso equiestesi. Ogni classe d'equivalenza è un'area. Ciò equivale a dire: i poligoni appartenenti alla stessa classe hanno la stessa area. Possiamo allora parlare di "area di un poligono" pensando tale poligono come un rappresentante della classe considerata. L'insieme delle aree è un insieme di grandezze omogenee, quindi possiamo parlare di misura di un’ area. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misura dell’ area (di Clara Colombo Bozzolo) Se un'area U viene chiamata unità di misura, per una qualsiasi area A il rapporto A/U viene chiamato misura di A rispetto ad U. L'unità U può essere presa arbitrariamente, tuttavia se è stata fissata per le lunghezze l'unità u, per le aree si usa come unità di misura l'area del quadrato di lato u. Nel sistema internazionale si è scelto il metro quale unità di misura per le lunghezze, quindi come unità di misura per le aree si prende il metro quadrato ( unità derivata; simbolo: m2) Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Consideriamo situazioni diverse: le figure hanno estensione molto diversa e una di esse è sovrapponibile all'altra; il confronto, a occhio, è immediato Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) le figure sono un po' meno diverse, ma sono simili; anche in questo caso la sovrapposizione risolve il problema Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) nel caso di due figure qualsiasi, che non rientrino nei primi due casi considerati, anche se poligonali, il problema si complica per tutti. Qual è la più estesa di queste due figure? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Con un po' di fantasia e un pizzico di fortuna potremmo magari arrivare a scoprire che la situazione presentata è "quasi banale " : le due figure sono equiestese Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Ma non sempre si è " così fortunati" ! Per risolvere situazioni difficili come le precedenti abbiamo avviato gli allievi a confrontare l'estensione di due figure (e quindi le loro aree) a) per mezzo della bilancia b) per mezzo di una reticolazione opportuna. Nel caso a) il confronto è slegato dalla misura dell'area delle figure considerate, nel caso b)il confronto avviene attraverso la misura. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Confronto dell'estensione di due figure e misura dell'area (di Clara Colombo Bozzolo) Facciamo ritagliare in un cartone le due figure da confrontare e mettiamole sui piatti di una bilancia a due bracci che abbia buona sensibilità: - se si fanno equilibrio i pesi sono uguali e, a parità di tipo di cartone, le due figure sono sicuramente equiestese e quindi hanno la stessa area se non si fanno equilibrio la più pesante è anche la più estesa ed è quindi la figura con area maggiore. Gli allievi possono anche costruire, con il medesimo cartoncino, la "pesiera in centimetri quadrati" per poter conoscere, con buona approssimazione, la misura dell'area delle figure considerate rispetto al cm2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misura dell’ area (di Clara Colombo Bozzolo) b) L'uso delle carte reticolate di vari tipo fino a quella millimetrata è di grande aiuto sia per il confronto di aree, sia per il calcolo della misura dell'area di una figura, quando si assuma quale unità di misura la "cella del reticolo ". Inoltre, se la reticolazione è in centimetri quadrati o in millimetri quadrati, si ha la misura dell'area con le unità convenzionali. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Una scelta ... laboriosa (di Clara Colombo Bozzolo) Quale di questi disegni è il più esteso? Fai dapprima una previsione ...ad occhio, poi calcola l’area di ogni figura in unità quadretto e rispondi alla domanda che ti è stata posta. Scrivi sotto ogni figura la misura della sua area. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Una scelta ... laboriosa (di Clara Colombo Bozzolo) Fare una previsione a occhio non è facile, ma non è neppure facile trovare, in quadretti, la misura dell'area di ciascuna figura poiché alcuni quadretti non sono divisi a metà. (Le tre figure sono equiestese e l’area di ciascuna vale quattordici quadretti e mezzo) Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misura dell’ area (di Clara Colombo Bozzolo) La carta a reticolazione quadrata è anche utile per affrontare il problema del cambiamento dell'unità di misura di area. Presentiamo un esempio: Boby, cane geometrico Calcola la misura dell’area di Boby rispetto alle unità di misura indicate e spiega, caso per caso, il legame che vi è tra le unità di misura e le misure ottenute. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Unità di misura Misura dell’area Calcola la misura dell’area di Boby ……….. a b c d Calcola la misura dell’area di Boby rispetto alle unità di misura indicate e spiega, caso per caso, il legame che vi è tra le unità di misura e le misure ottenute. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misura dell’ area (di Clara Colombo Bozzolo) Le carte reticolate sono anche molto utili per determinare la misura dell'area di figure non poligonali. Si metterà in evidenza come l'uso di un'unità di misura via, via più piccola approssimi meglio la misura dell'area della figura considerata. Esempio: misura dell'area di figure non poligonali. Unità di misura di area Unità di misura di area Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misura dell’ area (di Clara Colombo Bozzolo) Avremo quindi per le aree i seguenti intervalli: 2a< area foglia <12a 16b<area foglia<40b La conoscenza della misura di b rispetto ad a, b = 1/4 a può migliorare la misura dell'area della foglia rispetto ad a in quanto permette di "restringere" l'intervallo iniziale di misura rispetto ad a: 16 b=(16 : 4) a= 4 a 40 b=(40 : 4) a = 10a Abbiamo dunque: 4a < area foglia < 10a Sono i ragionamenti che i ragazzi devono poi fare per passare dal m2 al dm2, da questo al cm2 e infine al mm2. Il rapporto tra due unità consecutive è 1/100 invece che 1/4, come nell'esempio, ma il ragionamento è lo stesso. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Da “Misurare per capire: aree, volumi e densità” di Sandra Amatiste http://www.treccani.it/scuola/in_aula/fisica/nuovo_biennio/amatiste.html Dalle risposte dei ragazzi si può capire che a quattordici anni il concetto di area è stato già soppiantato da una regola mnemonica di calcolo. Infatti tutti gli studenti effettuano i calcoli delle aree regolari A e B utilizzando le formule (base x altezza), ma incontrano difficoltà quasi insormontabili quando affrontano il problema posto dalle figure C e D.   Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Da “Misurare per capire: aree, volumi e densità” di Sandra Amatiste Le operazioni da fare sono le seguenti: -scelta del quadrato unitario, -sovrapposizione di una griglia formata da quadrati unitari alla figura in esame, -conteggio dei quadrati che stanno dentro e di quelli che coprono totalmente la figura Il valore ottenuto con la misura non è esatto (devo associare un errore), mentre il risultato di un calcolo ottenuto con una formula lo è (o sembra esserlo).   Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali Il lavoro sulla quadrettatura ordinaria dei quaderni utilizzati dagli alunni di 10-11 anni consente di condurre importanti riflessioni sulla diversità di rapporto tra le misure di lunghezze e quelle di area. Infatti, in genere i quadretti dei quaderni hanno lato lungo 0,5cm, ossia mezzo centimetro: si può affermare che l’area di uno di questi quadretti è mezzo centimetro quadrato. Graficamente si verifica che per avere un quadrato di lato lungo 1cm, quindi di area 1cm2, è necessario “accostare” due righe ognuna di due quadretti a b La rappresentazione bene visualizza che l’area del quadrato con il lato lungo 0,5cm è ¼ dell’area del quadrato con il lato lungo 1cm; Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

 2  4 Lunghezza del lato del quadrato a Area del quadrato a Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali Si possono sintetizzare le relazioni con gli operatori Lunghezza del lato del quadrato a Area del quadrato a Lunghezza del lato del quadrato b Area del quadrato b  2  4 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali L’utilizzo della carta millimetrata consente di introdurre il millimetro quadrato e il suo legame con il centimetro quadrato. In analogia con la definizione del centimetro quadrato, un millimetro quadrato è l’area, indicata con 1mm2, del quadrato con il lato lungo 1mm. Si suggerisce di evidenziare mediante coloritura 1mm2, 1cm2 e un rettangolo formato da una colonna di dieci millimetri quadrati, come mostrato in figura Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali L’area del rettangolo può essere messa in relazione sia con il millimetro quadrato sia con il centimetro quadrato mediante operatori che valgono 10 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Lunghezza del lato del quadrato di area 1mm2 Quadrato di area 1mm2 Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali L’area di 1cm2 è ricoperta da uno schieramento di 10 colonne ognuna con 10mm2, quindi è uguale a 100mm2: il lato del quadrato con area 1cm2 è 10 volte il lato del quadrato di area 1mm2, mentre la sua area è 100 volte quella del millimetro quadrato: Lunghezza del lato del quadrato di area 1mm2 Quadrato di area 1mm2 Lunghezza del lato del quadrato di area di 1cm2 Quadrato di area 1cm2  10  100 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali Il millimetro quadrato risulta, dunque, essere la centesima parte del centimetro quadrato: 1mm2 = 1/100 di 1cm2 = 0,01cm2 Una decina di millimetri quadrati non è “sufficiente” per formare un centimetro quadrato, ne è la decima parte, per cui 10mm2 = 1/10 di 1cm2 = 0,1cm2 Ne segue che due sono le cifre dopo la virgola che si riferiscono ai millimetri quadrati: quella dei decimi e quella dei centesimi di centimetro quadrato Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Tabella delle misure quadrate Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali Esempi Nella scrittura 5,24cm2 la parte decimale indica 2 decine di millimetri quadrati e 4 unità di millimetri quadrati. Per esprimere rispetto ai centimetri quadrati un’area di 3cm2 e 7mm2 è necessario esprimere la “mancanza” di decine di millimetri quadrati, ossia di decimi di centimetro quadrato, per cui si ha 3,07cm2. Invece, l’area di 4cm2 e 30mm2 si scrive come 4,30cm2 (sui libri si trova 4,3cm2,lo 0 è proprio inutile? Gli alunni possono essere indotti in errore e leggere 3mm2 e non 30mm2) dove il 3 indica le decine di millimetri quadrati, ossia i decimi di centimetro quadrato. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Misurazione dell’area di una figura piana con unità di misura convenzionali La carta centimetrata permette la visualizzazione del decimetro quadrato, che è l’area del quadrato con il lato lungo 1dm. x10 1dm2 x10 1cm2 :10 :10 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

UNA PRESINA RICAMATA Zia Teresa sta preparando i regalini di Natale e vuole ritagliare da un pezzetto di stoffa una presina quadrata da ricamare. Su carta centimetrata prepara lo schema della presina a grandezza reale. Quanto è lungo il lato del quadrato? ……….dm Il quadrato con il lato di 1dm rappresenta un decimetro quadrato; si scrive 1dm2 Qual è l’area del quadretto su cui è stato disegnato il fiore? ……… Qual è l’area della striscia su cui sono state disegnate le nuvole? Da quanti centimetri quadrati è formata una striscia? …………… Da quante strisce è formato un decimetro quadrato? ……………. Da quanti centimetri quadrati è formato un decimetro quadrato? 1dm2 = ………cm2  Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

DECIMETRI QUADRATI E CENTIMETRI QUADRATI Completa la seguente tabella come nell’esempio Decimetri quadrati Centimetri quadrati 4 25 4dm2 e 25cm2 = 425 cm2 ….. 34 2dm2 e ......... cm2 = ......... cm2 1 8 1dm2 e …....cm2 = 108cm2 2 5 ….dm2 e …..cm2 = ………..cm2 …. 13dm2 e 21cm2 = ……….. cm2 10 ……. …..dm2 e 6cm2 = ………..cm2 3 80 …….dm2 e …… cm2= …….cm2 71dm2 e …… cm2 = ………..cm2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

IL METRO QUADRATO E I SUOI SOTTOMULTIPLI Completa la seguente tabella. m2 dm2 cm2 mm2   da u 8,34cm2 1230cm2 700dm2 13,4m2 ............dm2 7 8 .............m2 5 3 6 .............cm2 1 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le formule per calcolare la misura dell’area dei poligoni (di Clara Colombo Bozzolo) Far scoprire agli allievi la formula valida per la ricerca della misura dell’area del rettangolo, date le misure dei lati, Si considerino i seguenti cinque rettangoli Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le formule per calcolare la misura dell’area dei poligoni (di Clara Colombo Bozzolo) E di ognuno si calcoli il perimetro in centimetri con l’approssimazione al millimetro (Si danno compilate solo le prime due colonne) ( Osservazione: tutti i rettangoli hanno lo stesso perimetro, cioè sono ISOPERIMETRICI. PROBLEMA: sono anche ugualmente estesi, cioè EQUIESTESI? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le formule per calcolare la misura dell’area dei poligoni (di Clara Colombo Bozzolo) Si riproducano i cinque rettangoli su carta millimetrata rispettando le lunghezze dei lati. Si calcoli l’area di ciascuno contando i quadretti Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Le formule per calcolare la misura dell’area dei poligoni (di Clara Colombo Bozzolo) Il disegno deve essere fatto su carta millimetrata Si hanno (5x5) quadrati = 25quadrati Ciascun quadrato vale 1cm2, quindi 25cm2 10 rettangoli: ciascuno vale ½ cm2, in tutto altri 5cm2 1 quadratino che vale ¼ di cm2, cioè 25 mm2 I 3025 mm2 equivalgono a 30cm2 e 25mm2 cioè 30,25cm2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Quadrilateri: la misura dell'area Nell’insegnamento, di solito, si danno le formule per il calcolo delle aree “figura per figura”. Sarebbe a nostro parere più opportuno dare le formule delle aree per “famiglie di figure”, cioè per gruppi di figure che hanno tra loro, riguardo all’area, un forte legame. Limitandoci ai quadrilateri speciali possiamo distinguere almeno tre grandi famiglie: i parallelogrammi i quadrilateri con le diagonali perpendicolari i trapezi. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

I parallelogrammi La misura dell’area di qualsiasi parallelogramma si ottiene moltiplicando la misura della lunghezza di un lato (scelto come base) per quella della relativa altezza . Questa regola vale quindi anche per il rombo. In un parallelogramma le altezze sono due (una per ogni coppia di lati paralleli) : Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Parallelogrammi Dopo aver scoperto la formula che dà la misura dell'area del rettangolo, per i rombi e i romboidi, la ricerca della formula che dà la misura dell'area si ottiene con la classica trasformazione di ciascuna di queste figure in un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma considerato: h b Se b è la misura del lato scelto come base e h quella della relativa altezza, la formula che dà la misura dell'area è: mis.area = b x h Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

I quadrilateri con le diagonali perpendicolari La misura dell’area di qualsiasi quadrilatero con le diagonali perpendicolari si ottiene moltiplicando la misura della lunghezza di una diagonale per quella dell’altra diagonale e dividendo il prodotto per due. Questa regola vale quindi anche per il rombo (e il quadrato). Attraverso i disegni che seguono diamo in sintesi l’iter che, a nostro parere, bisognerebbe percorrere per trattare questo argomento Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

I quadrilateri con le diagonali perpendicolari • diagonali di lunghezza diversa: rombo Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

I quadrilateri con le diagonali perpendicolari • diagonali di lunghezza uguale: quadrato Naturalmente con gli allievi non si parte dal disegno ma dalla manipolazione di rettangoli in cui si fanno piegature opportune, parallelamente alle rette dei due lati consecutivi Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

I quadrilateri con le diagonali perpendicolari Il discorso che segue vale, in particolare, anche quando il quadrilatero considerato è un trapezio con le diagonali perpendicolari Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

APPLICANDO …LE FORMULE L’allievo, quando gli viene chiesto di calcolare la misura dell’area di una figura dovrebbe sempre porsi due domande, prima di scegliere la formula da usare: a quale(i) famiglia(e) di poligoni appartiene la figura data quali sono gli elementi della figura che si conoscono. Dopo aver dato le risposte corrette, sceglie il procedimento più opportuno per il calcolo della misura dell’area della figura. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Percorso operativo per la ricerca della formula che dà la misura dell'area di qualunque quadrilatero che abbia le diagonali perpendicolari Si consegnano ad ogni allievo due rettangoli uguali (possibilmente di carta colorata) e si danno le seguenti istruzioni: In ogni rettangolo: fare una stessa piega parallela al lato minore, che non divida il rettangolo a metà fare una stessa piega parallela al lato maggiore, che non divida il rettangolo a metà. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Percorso operativo per la ricerca della formula che dà la misura dell'area di qualunque quadrilatero che abbia le diagonali perpendicolari Aprire bene un rettangolo e incollalo su un foglio ripassare le due piegature con la matita mettere, in stampatello maiuscolo, una lettera ad ogni estremo di tali piegature unire, con la matita, gli estremi della piegatura più corta con gli estremi dell'altra mettere in evidenza il quadrilatero che così viene a formarsi (ABCD) il rettangolo di partenza resta suddiviso in otto triangoli rettangoli a due a due congruenti. Segnare con uno stesso contrassegno due triangoli congruenti uniti lungo l'ipotenusa. C D A B Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Indicando con d1 e d2 la misura delle lunghezze delle B Osservazioni: - il rettangolo contiene esattamente due quadrilateri uguali con le diagonali perpendicolari (per alcuni allievi è difficile da … accettare!) - i lati del rettangolo sono lunghi come le diagonali del quadrilatero quindi l'area del quadrilatero considerato è la metà dell'area del rettangolo che ha i lati lunghi come le diagonali del quadrilatero. Indicando con d1 e d2 la misura delle lunghezze delle diagonali, la formula che dà la misura dell'area del quadrilatero è quindi : Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Trapezio Per far scoprire la formula che dà la misura dell'area del trapezio, tra i procedimenti possibili, quello che comporta il raddoppio della figura: Sono dati due trapezi congruenti. Se ne ritaglia uno e si accosta all'altro come nella figura che segue . Si ottiene così un parallelogramma avente come base un segmento uguale alla somma delle basi del trapezio come altezza la stessa altezza del trapezio. Area doppia di quella del trapezio Indicando con b1 e b2 le misure delle lunghezze delle basi e con h la misura della relativa altezza, la formula che dà la misura dell'area del trapezio è: Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Triangoli : la misura dell'area Dato un triangolo, per scoprire la formula che dà la misura dell'area si fanno disegnare e ritagliare sei triangoli uguale a quello dato e si accostano a due a due lungo uno dei lati. Poiché i lati sono tre l'accostamento può dar luogo a un parallelogramma o a un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, come si può costatare dai disegni che seguono: h1 b1 h1 h1 h1 b1 b1 b1 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Si nota che in ogni quadrilatero sono contenuti esattamente due triangoli uguali a quello dato. Quindi , se si indicano con b1 le misure delle lunghezze di un lato del triangolo e con h1 della relativa altezza, la formula che dà la misura dell'area del triangolo è: Nel terzo caso si può far notare il quadrilatero ottenuto ha le diagonali perpendicolari e la misura delle lunghezze di tali diagonali è rispettivamente b1 e 2xh1 quindi anche la misura della sua area è data da . b1 h1 b1 h1 b1 h1 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

RETTANGOLI COSA SUCCEDE DEL PERIMETRO QUANDO L’AREA RIMANE UGUALE? COSA SUCCEDE DELL’AREA QUANDO IL PERIMETRO RIMANE UGUALE? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

CASO DI RETTANGOLI CON AREA UGUALE COSTRUIAMO RETTANGOLI LA CUI AREA SIA 16 cm2 E OSSERVIAMO COME VARIA IL PERIMETRO Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Il quadrato ha il perimetro MINIMO Rettangoli con area di 16cm2 a c b Il quadrato ha il perimetro MINIMO A(a) = 16cm2 x 1 = 16cm2 A(b) = 8cm2 x 2 = 16cm2 A(c) = 4cm2 x 4 = 16cm2 2p(a) = (16+1)cm x2 = 34cm 2p(b) = (8+2)cm x2 = 20cm 2p(c) = (4+4)cm x2 = 16cm Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

CONCLUSIONE I RETTANGOLI CON AREA UGUALE POSSONO AVERE PERIMETRO DIVERS0. TRA QUESTI NE ESISTE UNO CON IL PERIMETRO MINIMO Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Costruiamo, su un geopiano centimetrato, rettangoli con lo stesso perimetro e vediamo cosa succede all’area Cordicella lunga 20cm per costruire sul geopiano rettangoli isoperimetrici. Usiamo, per esempio, una cordicella Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Il quadrato ha area massima PROBLEMA Su un foglio centimetrato riproduci i rettangoli che hai costruito sul geopiano e calcola l’area. Perimetro in cm Differenza, in cm, tra le misure dei lati Area in cm2 (1+9)x2=20 8 1x9= 9 (2+8)x2=20 6 2x8=16 (3+7)x2=20 4 3x7=21 (6+4)x2=20 2 6x4=24 (5+5)x2=20 5x5=25 Il quadrato ha area massima Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

I RETTANGOLI CON PERIMETRO UGUALE POSSONO AVERE AREA DIVERSA. CONCLUSIONE I RETTANGOLI CON PERIMETRO UGUALE POSSONO AVERE AREA DIVERSA. TRA QUESTI NE ESISTE UNO CON L ‘AREA MASSIMA Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Grazie e... Buon fine a.s. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Verso il Teorema di Pitagora (di Clara colombo bozzolo) Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Premessa L’itinerario proposto può essere usato: in quinta elementare per il ripasso dell’insieme dei triangoli , con particolare attenzione alla loro classificazione rispetto ai lati e rispetto agli angoli alla scuola media, in classe seconda, come premessa alla trattazione, con dimostrazione, del teorema di Pitagora. Il problema che si presenta permette, inoltre, l’introduzione della similitudine dei triangoli attraverso l’omotetia. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Conoscenze necessarie saper classificare i triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli conoscere la somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo saper usare il goniometro conoscere i legami tra le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli di un triangolo ( a lati uguali sono opposti angoli uguali, a lati diversi angoli diversi) conoscere la terminologia relativa ai triangoli rettangoli saper calcolare la misura dell’area del quadrato, data la misura del lato. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Verso il Teorema di Pitagora Il problema si suddivide in due sotto problemi: 1° Problema : Conoscendo, in un triangolo, l’ampiezza di due angoli è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? 2° Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

1° Problema È consigliabile partire da un caso particolare: Di un triangolo ABC sai che: il lato AB è lungo 8 cm gli angoli di vertici A e B sono ampi rispettivamente 60° e 70°. Disegna il triangolo. Calcola l’ampiezza dell’angolo di vertice C senza usare il goniometro. Classifica il triangolo rispetto ai lati e rispetto agli angoli e giustifica le risposte che dai. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

1° Problema Il triangolo è: acutangolo perché ha tre angoli acuti Scaleno perché a angoli diversi si oppongono lati diversi Se non ti avessi dato la lunghezza di AB, avresti potuto classificare il triangolo rispetto agli angoli? si, no Perché? ..................... rispetto ai lati? si, no Perché? ........................ ( Segna con una crocetta la risposta giusta). Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Completa successivamente la seconda tabella. Completa la prima tabella che segue e disegna i sette triangoli m,n,p,q,r,s,t che in essa compaiono. Per ognuno di essi disegna il lato AB di 6cm. Determina l’ampiezza dell’angolo di vertice C con un calcolo, poi controlla, usando il goniometro, se il calcolo che hai fatto è corretto. ( I disegni richiesti e il controllo dell’ampiezza dell’angolo di vertice C servono anche per verificare se l’allievo sa usare il goniometro in modo corretto). Completa successivamente la seconda tabella. Invece di dare la tabella si potrebbe proporre agli allievi di classificare i triangoli ottenuti con un diagramma di Eulero-Venn o con un diagramma ad albero oppure con una tabella costruita però da loro. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

il triangolo ABC rispetto ABC A B C? agli angoli è ai lati è m 70 60 1°Problema : Conoscendo, in un triangolo, l’ampiezza di due angoli è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? triangolo misura ampiezza in gradi dell’angolo  il triangolo ABC rispetto ABC A B C? agli angoli è ai lati è   m 70 60 50 acutangolo scaleno   n 40 100 ottusangolo isoscele p 20 90 rettangolo   q isosc. equil.   r 45   s 30 110   t 80 triangolo misura ampiezza in gradi dell’angolo  il triangolo ABC rispetto ABC A B C ? agli angoli è ai lati è   m 70 60   n 40 100 p 20   q   r 45   s 30   t 80 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

triangolo acutangolo rettangolo ottusangolo scaleno m p s isoscele 1°Problema : Conoscendo, in un triangolo, l’ampiezza di due angoli è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? Seconda eventuale tabella triangolo acutangolo rettangolo ottusangolo scaleno m p s isoscele equilatero q non equil. t r n A questo punto si pone agli allievi la seguente domanda: Se non ti avessi dato la lunghezza del lato AB avresti potuto disegnare i sette triangoli? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Un allievo dice immediatamente di “no” perché, giustifica, “mancherebbe il lato su cui appoggiare i due angoli da disegnare”. Altri allievi sono incerti, altri, pochi, sono convinti che la lunghezza di AB può essere scelta a piacere perché affermano “cambia la grandezza del triangolo ma non le sue qualità rispetto ai lati e agli angoli, perché non cambiano gli angoli”. Si propone di scegliere per il lato AB la lunghezza che si vuole, ma una diversa dall’altra, ridisegnare i sette triangoli e osservare che cosa succede. Si possono dividere gli allievi in tre gruppi e ogni gruppo sceglie per il lato AB una lunghezza a piacere ( diversa da 6cm). Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

4cm ￫ giallo , 8cm ￫ rosso, 10cm ￫ azzurro. Come era prevedibile gli allievi scelgono numeri naturali, precisamente: 4cm, 8cm, 10cm . Naturalmente ogni gruppo e non ogni allievo, disegna, con la misura scelta, i sette triangoli in triplice copia. I disegni vengono fatti fare su fogli colorati: 4cm ￫ giallo , 8cm ￫ rosso, 10cm ￫ azzurro. Finito il disegno si osservano i 28 triangoli ottenuti ( compresi i sette triangoli iniziali con il lato di 6cm e tracciati su carta bianca) e si chiede agli allievi di mettere assieme, uno per ogni colore, “ quelli che, secondo loro, si assomigliano ” anche se non sono “grandi uguali”. La scelta non presenta difficoltà. Dicono gli allievi: “Abbiamo messo assieme quelli che, grandi o piccoli, hanno la stessa forma”. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Consideriamo il triangolo ottusangolo scaleno con gli angoli ampi 30° e 40° e vediamo i disegni corrispondenti alle quattro lunghezze del lato AB: 4cm, 6cm, 8cm e 10cm (i disegni non sono in scala). Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Si dispongono i triangoli in modo che si corrispondano in una omotetia. Il centro dell’omotetia può essere esterno alle figure, sul loro contorno o interno ad esse. Dall’omotetia si passa alla similitudine applicando ad ogni triangolo una isometria a piacere. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Conclusione: “ Quando di un triangolo conosciamo l’ampiezza di due angoli possiamo determinare l’ampiezza del terzo angolo e quindi possiamo classificare tale triangolo sia rispetto agli angoli, sia rispetto ai lati. Se vogliamo disegnarlo ne troviamo tantissimi perché possiamo scegliere la lunghezza di un lato a piacere. Questi triangoli che disegniamo hanno però tutti la stessa forma, ognuno è l’ingrandimento o il rimpicciolimento di un altro: si dice che sono triangoli simili .” “Se vogliamo disegnare tutti lo stesso triangolo dobbiamo fissare l’ampiezza di due angoli e scegliere tutti la stessa lunghezza per il lato su cui appoggiano i due angoli ” . Alla scuola secondaria si può passare a considerare sia i criteri di congruenza che quelli di similitudine tra triangoli e a studiare la similitudine tra poligoni. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

2°Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? triang. lunghezza in cm di ogni lato ampiezza, in gradi di ogni angolo il triangolo ABC rispetto  ABC AB BC AC A B C ai lati è agli angoli è  e 6,5  f 6 8 10 g 4,2 5,6 7  h  i 4 8,5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

2°Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? Anche per la risoluzione di questo problema siamo partiti da un caso particolare. Di un triangolo ABC sai che i lati AB, BC, AC sono lunghi rispettivamente 7cm, 5cm, 6cm . Disegna il triangolo, usando righello e compasso, e classificalo sia rispetto ai lati che rispetto agli angoli. Rispetto ai lati il triangolo è scaleno. Rispetto agli angoli è acutangolo Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

2°Problema : Conoscendo, in un triangolo, le lunghezze dei tre lati è possibile classificarlo sia rispetto ai lati, sia rispetto agli angoli? triang. lunghezza in cm di ogni lato ampiezza, in gradi di ogni angolo il triangolo ABC rispetto  ABC AB BC AC A B C ai lati è agli angoli è  e 6,5 60 isosc.eq. acutangolo  f 6 8 10 scaleno g 8,5 4  h 7 isoscele  i 5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Osservazione per il docente: I disegni degli allievi sono spesso imprecisi, le misure trovate con il goniometro anche. Succede quindi che, in alcuni casi, un triangolo sia ottusangolo per alcuni, rettangolo o acutangolo per altri. Nella tabella proposta i casi in cui non vi è stato accordo sono stati, come prevedibile, il g (tr. rettangolo) e l’h ( tr. ottusangolo). Nel caso g l’imprecisione è dovuta alla presenza dei millimetri nelle lunghezze dei lati. Nel caso h al fatto che il triangolo è “quasi rettangolo”. Infatti per alcuni allievi tale triangolo era acutangolo, per altri rettangolo e per altri ancora ottusangolo. Naturalmente tali misure sono state scelte di proposito per suscitare una discussione sulle informazioni che possiamo ricavare da un disegno, tenuto conto delle inevitabili imprecisioni sia grafiche, sia dovute all’uso di strumenti di misura. A questo punto abbiamo detto che i matematici hanno scoperto“ una regola” che permette di risolvere il problema di cui ci stiamo occupando. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Quadrato della misura dei lati Invece di lavorare sulle lunghezze dei lati provate a considerare il quadrato di tali lunghezze e a confrontare il quadrato maggiore con la somma degli altri due”. (Si possono considerare tutti i triangoli disegnati) Misura dei lati in cm Quadrato della misura dei lati in cm2 5 6 7 25 36 49 8 10 64 100 4,2 5,6 17,64 31,36 4 8,5 16 72,25 ... Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Siano a,b,c ( a ≥ b ≥ c) le lunghezze dei lati di un triangolo, si ha: Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

La risposta è stata immediata: “ In geometria, il quadrato della misura di una lunghezza in centimetri che cosa rappresenta? ” La risposta è stata immediata: “ La misura, in centimetri quadrati, dell’area del quadrato il cui lato ha la lunghezza considerata”. Si passa ad una verifica grafica delle uguaglianze e disuguaglianze sopra scritte. Prima però abbiamo, come sempre, ribadito agli allievi che noi abbiamo verificato “ queste regole” in un numero finito di casi, facendo anche riferimento al disegno che è un modello impreciso, ma che i matematici hanno dimostrato che queste regole (teoremi), per i triangoli, valgono sempre. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB2 BC2 CA2 10 6 8 100 36 64 Triangolo rettangolo Misura, in cm, della lunghezza dei lati Misura, in cm2, dell’ area dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB2 BC2 CA2 10 6 8 100 36 64 100 = 36 + 64 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Si ottengono così i quattro quadrilateri congruenti m, n, s, t. Tra le numerose verifiche grafiche possibili, relative al Teorema di Pitagora, abbiamo scelta quella che ci sembrava più semplice per ragazzi di questa età Costruzione: Dal centro O di uno dei quadrati costruiti sui cateti si tracciano le parallele ai lati del quadrato costruito sull’ipotenusa. Si ottengono così i quattro quadrilateri congruenti m, n, s, t. Si dispongono assieme al quadrato q , come in figura, nel quadrato di lato AC. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Triangolo acutangolo Misura, in cm, della lunghezza dei lati Misura, in cm2, dell’ area dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB2 BC2 CA2 7 6 5 49 36 25 49 < 36 + 25 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Triangolo ottusangolo Misura, in cm, della lunghezza dei lati Misura, in cm2, dell’ area dei quadrati costruiti sui lati AB BC CA AB2 BC2 CA2 8,5 4 6 72,25 16 36 72,25 > 16 + 36 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

IL TEOREMA DI PITAGORA La prima dimostrazione di questo teorema è stata attribuita al matematico greco Pitagora di Samo (570-500 a. C.). Non si sa, però, come Pitagora abbia condotto la sua dimostrazione perchè nulla è rimasto delle sue opere. La prima dimostrazione che conosciamo fu data da Euclide (300 a. C.) nei suoi Elementi . Da quel momento molti matematici e non matematici, sono stati così attratti da questo teorema che hanno sentito il bisogno di elaborare un ingegnoso e alternativo modo per dimostrarlo. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Un po’ di lessico Il termine matematica deriva dal greco mathematikos, attribuito a Pitagora: “colui che vuole apprendere”(in modo scientifico). Il termine ipotenusa viene dal greco hupo “sotto” e teinein “tendere”: lato che è teso sotto l’angolo retto. Il termine cateto viene dal greco kàthetos, derivato da kathiénai “manda giù”, inteso come linea perpendicolare. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Teorema di Pitagora con semicirconferenze Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

“Teorema di Pitagora” con i triangoli equilateri Alla scuola media si consiglia, dopo aver dimostrato, per via algebrica o geometrica, il Teorema di Pitagora valendosi dei tre quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo, di estendere tale teorema ai seguenti casi: considerare, invece dei tre quadrati, tre poligoni simili (in particolare poligoni regolari con lo stesso numero di lati) “Teorema di Pitagora” con i triangoli equilateri Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

“Teorema di Pitagora” con i pentagoni regolari Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

Grazie e... Buon fine a.s. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013