Definizione di probabilità, calcolo combinatorio, Sessione Live 2 Definizione di probabilità, calcolo combinatorio, indipendenza, th. Di Bayes, variabili aleatorie e momenti. SL2 - Dr Marta Giorgetti

Un esperimento consiste nel lancio di due monete. Descrivete: Esercizio 1: testo Un esperimento consiste nel lancio di due monete. Descrivete: 1) lo spazio degli eventi elementari Ω associato all'esperimento; 2) la classe degli eventi A; 3) l'evento E=``si ottiene almeno una volta testa''; 4) rappresentare Ω ed E con un diagramma di Venn. SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 1: soluzione punto 1 1) Lo spazio Ω è composto dagli eventi elementari : ω_1={(T,T)}= testa in entrambi i lanci ω_2={(T,C)}= testa nel primo lancio, croce nel secondo ω3={(C,T)}= croce nel primo lancio, testa nel secondo ω_4={(C,C)}= croce in entrambi i lanci SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 1: soluzione punto 2 2) Poiché Ω è finito, la classe degli eventi può essere la classe di tutti i sottoinsiemi di Ω; quindi A comprende tutti i sottoinsiemi di Ω formati da un solo elemento, tutti i sottoinsiemi di due elementi, tutti quelli di tre, l'insieme Ω (evento certo), e l'insieme (evento impossibile). Provate a scriverlo ! SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 1: soluzione punto 3 e 4 3) Abbiamo che E={ω_1, ω _2, ω _3}. 4) SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 2: testo e soluzione Presso la cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Qual è la probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? SOLUZIONE A=``il primo boero contiene il buono'', B=``il secondo boero contiene il buono''. La probabilità cercata è P(A∩B), cioè la probabilità che entrambi i boeri contengano il buono: P(A ∩B)=P(A)P(B|A)=2/30*1/29=0.0023 SL2 - Dr Marta Giorgetti

calcolare la probabilità che le 5 carte siano tutte di cuori; Esercizio 3: testo Si consideri un mazzo di 26 carte costituito dalle 13 carte di cuori e dalle 13 di fiori. Si scelgono a caso 5 carte senza reimmissione: calcolare la probabilità che le 5 carte siano tutte di cuori; calcolare la probabilità che le 5 carte siano tutte dello stesso seme. calcolare la probabilità che 3 carte siano di un seme e 2 dell'altro SL2 - Dr Marta Giorgetti

2. prima il seme era fissato, ora no. Che differenza c‘è? Esercizio 3: soluzione 1. Il mazzo è diviso per semi, con 13 carte per seme; si pescano 5 carte da 26, quindi: 2. prima il seme era fissato, ora no. Che differenza c‘è? 3. di nuovo, i semi non sono fissati... SL2 - Dr Marta Giorgetti

Peschiamo (in blocco) due carte da un mazzo di carte napoletane. Esercizio 4: testo Peschiamo (in blocco) due carte da un mazzo di carte napoletane. Qual è la probabilità che la seconda carta pescata sia di bastoni? Qual è la probabilità che la prima carta pescata fosse di bastoni se è di bastoni la seconda? SL2 - Dr Marta Giorgetti

Sia l'evento B_i=``la i-esima carte pescata è di bastoni'', con i=1,2. Esercizio 4: soluzione Sia l'evento B_i=``la i-esima carte pescata è di bastoni'', con i=1,2. Si calcola facilmente la probabilità che la prima carta pescata sia di bastoni: P(B_1)=10/40=0.25 Non sappiamo subito, al contrario, calcolare la probabilità che la seconda sia di bastoni: in prima battuta risponderemmo infatti dipende: dipende dal risultato della prima estrazione. Se la prima carta è di bastoni, allora la probabilità che lo sia anche la seconda è P(B_2|B_1)=9/39 e, allo stesso modo P(B_2|B_1c)=10/39. Possiamo allora calcolare la probabilità richiesta con la legge delle probabilità totali, ottenendo 2) SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 5: testo e soluzione E’ noto che i gemelli possono essere dei veri gemelli, e in questo caso sono dello stesso sesso, o degli pseudo-gemelli, e in tal caso è 1/2 la probabilità che siano dello stesso sesso. Sia p la probabilità che due gemelli siano veri gemelli. Determinare la probabilità che due gemelli siano veri gemelli sapendo che sono dello stesso sesso; probabilità che due gemelli siano di sesso diverso? SVOLGIMENTO Siano gli eventi V=``i due gemelli sono veri gemelli‘ S=``i due gemelli sono dello stesso sesso'‘ 1) 2) SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 6: testo e soluzione Si effettuano due estrazioni con reimmissione da un'urna che contiene 100 palline numerate da 1 a 100. Siano A_1=``la prima pallina estratta è pari'', A_2=``la seconda pallina estratta è pari'', B=``una sola pallina estratta è pari''. Gli eventi A_1, A_2 sono indipendenti. E gli eventi A_2, B? E A_1, B? I tre eventi A_1, A_2, B sono indipendenti? SVOLGIMENTO Le possibili coppie di risultati delle due estrazioni dall'urna sono Poiché le estrazioni sono effettuate con reimmissione e nell'urna vi è un ugual numero di pari e dispari (50) allora tutte le coppie hanno uguale probabilità uguale ad 1/4. Inoltre: SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 6: soluzione Ma pertanto gli eventi A_1, A_2, B sono indipendenti a coppie ma non ndipendenti SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 7: esempio affidabilità Sia un sistema idraulico fatto da due condotte che portano acqua da un punto A ad un punto B. Supponiamo che la condotta 1 non sia interrotta con probabilità p_1, e la condotta 2 non sia interrotta con probabilità p_2. Qual è la probabilità che l'acqua possa arrivare da A a B? SL2 - Dr Marta Giorgetti

R_1=“la condotta 1 non è interrotta”, Esercizio 7: soluzione Siano gli eventi R_1=“la condotta 1 non è interrotta”, R_2=“la condotta 2 non è interrotta”. Se R_1, R_2 fossero incompatibili, P(R_1 ∩ R_2)=0, ma non è ragionevole che lo siano. E’ invece ragionevole pensare che siano indipendenti, cioé P(R_1 ∩ R_2)=P(R_1)P(R_2). SL2 - Dr Marta Giorgetti

Caso a: condotte in parallelo. Esercizio 7: soluzione Caso a: condotte in parallelo. Si va da A a B se è vero l'evento R_1∩R_2. Per la legge di De Morgan vale Caso b: condotte in serie mantenendo l'ipotesi di indipendenza, perché l'acqua possa arrivare da A a B, dovrebbe in ogni caso valere che Dal momento che la probabilità che l'acqua arrivi è minore se le condotte sono in serie SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 8: testo e svolgimento Nella ditta XYZ ogni pratica viene sbrogliata da un impiegato e deve essere vista dal capo ufficio; gli impiegati sono 5 ed il capo ufficio è 1. Per motivi di lavoro, però, ogni impiegato è presente in sede solo il 60% del tempo, mentre il capo ufficio è presente l'80% del tempo. Calcolare l'affidabilità del sistema. SVOLGIMENTO La probabilità richiesta è in realtà la probabilità che una pratica venga conclusa. Gli impiegati rappresentano un sistema di 5 elementi in parallelo, ognuno con affidabilità a_l=0.6; nel complesso, quindi, essi rappresentano un elemento di affidabilità SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 8: svolgimento Tutto il sistema ufficio si riduce al grafico da cui si ricava (a_C= affidabilità del capo ufficio=0.8) SL2 - Dr Marta Giorgetti

Richiami di teoria 1: media e varianza di una v.a. Media di una v.a. o Valore atteso: sia X una v.a. (dotata di punti di massa xj e legge pX(x) se discreta, di funzione di densità fX(x) se continua). La media, o valore atteso, E[X], è data da: a patto che queste quantità esistano; Varianza di una v.a.: sia X una v.a. di media X; la varianza di X, indicata con 2X, o Var(X) è data da: se queste quantità sono definite. SL2 - Dr Marta Giorgetti

Richiami di teoria 2: mediana, quantili e percentili Data la funzione di ripartizione FX di una v.a. X la mediana è il minimo valore m tale che Analogamente si dice quantile q-esimo (0<q<1) della FX di una v.a. X il minimo valore q tale che Se q viene espresso con una percentuale invece che con un numero q, viene definito 100q-esimo percentile. SL2 - Dr Marta Giorgetti

Richiami di teoria 3: momenti Data una v.a. X, il suo momento di ordine k, ’k è definito come media della sua potenza k-esima (se esiste): Analogamente il momento centrale di ordine k, k è definito come La funzione generatrice dei momenti di X è il valore atteso, se esiste, della v.a. (trasformata di Laplace); quindi: SL2 - Dr Marta Giorgetti

Quale tra E[X] ed E[Y] pensate sia più grande? Perché? Esercizio 1: testo Quattro autobus portano 148 studenti allo stadio di football; gli autobus portano rispettivamente 40, 33, 25 e 50 studenti. Scegliamo a caso uno degli studenti, e denotiamo con X il numero degli studenti che hanno viaggiato sull’autobus dello studente scelto a caso. Scegliamo a caso ora uno dei conducenti dei bus e denotiamo con Y il numero degli studenti che hanno viaggiato sul suo autobus. Quale tra E[X] ed E[Y] pensate sia più grande? Perché? Si calcolino E[X] ed E[Y] SL2 - Dr Marta Giorgetti

Che valori può assumere la variabile X? Esercizio 1- Soluzione A voi: proposte? Che valori può assumere la variabile X? Quindi siamo capaci di calcolare la sua media: Un discorso analogo vale per Y: SL2 - Dr Marta Giorgetti

Sono quindi in grado di calcolare anche la media di Y: Esercizio 1- Soluzione Sono quindi in grado di calcolare anche la media di Y: Le due variabili assumono valori identici ma con differenti probabilità. SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 2: testo e soluzione del punti 1 Sia X una variabile aleatoria tale per cui E(X)=1, e Var(X)=5. Si calcoli: E [(2+X)2]; Var(4+3X); SVOLGIMENTO Calcoliamo la media: Ci manca E[X2], ma possiamo ottenerlo con la formula Si ottiene perciò SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 2: testo e soluzione del punto2 E la varianza, sarà SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 3: testo Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono 5. Sia X la v.a. che conta il numero di assi contenuti nelle 5 carte. Dire quali sono le determinazioni di X ed indicare la sua funzione di densità discreta. SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 3- Soluzione Tra le 5 carte pescate si possono presentare 0, 1, 2, 3 oppure 4 assi. Con quale probabilità? SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 3- Soluzione Tali probabilità rappresentano la densità discreta della variabile X. Si possono allora disegnare i grafici della densità discreta pX(x) e della funzione di ripartizione FX(x): SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 4: testo e soluzione Sia F(x) una funzione di ripartizione; dire se sono vere o false le seguenti: F V SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esempio Si tirano due dadi indipendenti e non truccati, e si denota con la lettera X la v.a. definita dalla loro somma. Ricaviamo la densità discreta di X: X assume tutti i valori interi da 2 a 12, con probabilità specificate dalle equazioni precedenti; poiché X deve necessariamente assumere uno di questi valori, segue che se varrà che SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 5: testo e soluzione Sia , dove IA(t) è la funzione indicatrice dell’insieme A, la f.d.r. di una v.a. X : Considerando che il grafico di FX(t) è il seguente, dire quali delle seguenti sono vere e quali false: V F SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 6: testo Una v.a. continua ha densità Determinare la costante di normalizzazione k, e poi calcolare Calcolare inoltre il valore atteso e la mediana di X. SL2 - Dr Marta Giorgetti

k deve essere tale che perciò Esercizio 6- Soluzione k deve essere tale che perciò Inoltre SL2 - Dr Marta Giorgetti

Calcoliamo il valore atteso: Esercizio 6- Soluzione Calcoliamo il valore atteso: Poiché X è continua, la mediana è il valore m tale che . Per si ha: e perciò la mediana deve soddisfare SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 7: testo Sia X una v.a. con densità Calcolare la funzione generatrice dei momenti di X ed impiegarla per determinarne il valore atteso e la varianza. Verificare poi il risultato con il calcolo diretto. SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizio 7- Soluzione La funzione generatrice dei momenti di X è data da da cui SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizi per voi La funzione è una funzione di densità? Se lo è, calcolatene la corrispondente funzione di ripartizione. Determinare la mediana ed il terzo quartile delle variabili aleatorie definite dalle seguenti funzioni di densità: Determinare il k-esimo quantile mp ( con ) in funzione di p, per la variabile aleatoria di densità Sapendo che calcolare SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizi da risolvere Per migliorare il rendimento dell'ufficio il proprietario della XYZ promuove un impiegato al ruolo di vice-capo ufficio: senza modificare il suo lavoro esterno, quando si trova in sede può vistare le pratiche sbrigate dagli altri impiegati. Risulta conveniente questa modifica dell'organico? [sì] SL2 - Dr Marta Giorgetti

Mostrate che dati due eventi A e B vale Esercizi da risolvere Mostrate che dati due eventi A e B vale Si supponga di osservare la quotazione di due titoli X ed Y all'inizio ed alla fine del mese. Siano A e B rispettivamente gli eventi ``la quotazione di X ha registrato un rialzo (nel mese)'', e ``la quotazione di Y ha registrato un rialzo (nel mese)''. Sapendo che Valutare la probabilità SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizi da risolvere 3. E’ più probabile ottenere un "6" in tre lanci di un dado equilibrato oppure due "6" in sei lanci? [Sol: un 6 in 3 lanci] Sia M l'evento "il paziente è ammalato", + e - gli eventi "il test è positivo", "il test è negativo". Siano inoltre P(M)=0.01, P(+|M)=0.99, P(-|Mc)=0.04. Determinare P(M|+). [Sol: 0.2] SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizi da risolvere 5) Un sistema è composto da n macchine che lavorano in parallelo. Si supponga con probabilità p che una specifica macchina si guasti nell'intervallo [0,T] non dipenda dalla macchina presa in considerazione e che le rotture siano indipendenti. Determinare la probabilità che una prefissata macchina sia guasta al tempo T, nell'ipotesi che il sistema sia in funzione a quell'istante. 6) Un mazzo da 36 carte è diviso in due mazzi da 18 carte ciascuno. Qual è la probabilità che i due mazzi abbiano lo stesso numero disemi rossi e neri? [Sol: 0.26] SL2 - Dr Marta Giorgetti

Esercizi da risolvere 7) L'urna I contiene due palline bianche e una nera; l'urna II contiene una pallina bianche e cinque nere. Una pallina viene estratta dall'urna I e, senza guardarla, posta nell'urna II. Una pallina viene estratta dell'urna II ed è bianca. Qual è la probabilità chela pallina trasferita sia stata bianca? [Sol: 4/5] 8) Tre addetti, indipendentemente l'uno dall'altro sono intenti a decifrare un messaggio cifrato. Le loro probabilità di riuscire a farlo sono rispettivamente 1/10, 1/3, 1/2. Qual è la probabilità che il messaggio venga decifrato? [Sol: 7/10] SL2 - Dr Marta Giorgetti