dispersione di una distribuzione Statistica Descrittiva dispersione di una distribuzione Obiettivi della lezione: Media   Mediana, Moda Asimmetria, kurtosi Quantili e percentili devianza varianza deviazione standard intervallo interquartile

dispersione di una distribuzione Ore di frequenza Usando SOLO le medie possiamo ingannarci nel confrontare i caratteri di due gruppi di individui.   sonno Maschi Femmine 1 3 2 6 7 4 8 5 11 9 10 - 12 13 14 15 Diamo un'occhiata alla distribuzione di frequenza della durata di sonno indotto da un anestetico in un campione di 40+40 pazienti. Ad esempio , sappiamo che le donne sono notoriamente diverse dagli uomini sotto molti aspetti

dispersione di una distribuzione Il periodo medio di sonno per le donne risulta di 5 ore così come per gli uomini Se ci soffermiamo solo sulle medie potremmo concludere che le donne hanno una durata di sonno uguale a quello dei maschi. Per facilitare i confronti riportiamo i dati in grafico.

calcolo della media e della varianza ( dati in classi ) Nell'esempio della lunghezza dei neonati: xi f(xi) xi f(xi) 45.0 2 90.0 -5.375 28.891 57.781 2025.00 4050.00 46.5 5 232.5 -3.875 15.016 75.078 2162.25 10811.25 48.0 7 336.0 -2.375 5.641 39.484 2304.00 16128.00 49.5 14 693.0 -0.875 0.766 10.719 2450.25 34303.50 51.0 16 816.0 0.625 0.391 6.250 2601.00 41616.00 52.5 9 472.5 2.125 4.516 40.641 2756.25 24806.25 54.0 270.0 3.625 13.141 65.703 2916.00 14580.00 55.5 1 5.125 26.266 3080.25 57.0 6.625 43.890 3249.00 60 3022.5 365.812 152624.25 Media = 3022.5/60 = 50.375 D = (45.0-50.375)2 2 + (46.5-50.375)25+...+ (57.0-50.375)2 1 = 365.812 D = 152624.25 - (3022.5)2/60 = 152624.25 - 152258.44 = 365.813 Var= 365.812/59 =6.2 Deviazione standard = 2.49

Istogramma dei dati esempio della lunghezza dei neonati:

Torniamo all’esempio del sonno xi f(xi) 1 4 -4 64 2 9 18 36 -3 81 3 10 30 90 -2 40 15 16 60 240 -1 5 25 80 400 6 11 66 396 7 49 35 245 20 8 24 192 27 162 32 100 121 12 144 13 169 14 196 225 Σ 2620 620 Media = 400/80 = 5 Devianza= 620 ; Varianza=Devianza/(N-1)= 620/79 = 7.848 Deviazione standard= 2.801

Media 5 Varianza 7.848101 dev. Stand. 2.801446 asimm. 1.456178 Kurtosi 2.897833 Mediana 5 quartile 1 3 quartile 3 6

Dato un insieme di n valori: scarto semplice medio Dato un insieme di n valori: detta la loro media aritmetica e i valori assoluti degli scarti, si chiama scarto semplice medio (assoluto) la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti semplici di ciascun dato x dalla media aritmetica

la varianza Si definisce varianza di una distribuzione statistica la media aritmetica dei quadrati degli scarti dalla media. Si definisce scarto quadratico medio la radice quadrata della varianza.

la deviazione standard Per i dati singoli => Questo numero rappresenta una misura della deviazione dei valori dalla media. Esso ci dice come i valori tendano a disperdersi intorno alla loro media: se la deviazione standard è piccola, indica un fitto addensamento dei valori intorno alla loro media; se è grande indica la presenza di valori molto lontani dalla media. Per i dati raggruppati in classe =>

Stima della Deviazione standard stima in un campione => Per dati raggruppati in classe => dove

Deviazione standard

l'intervallo interquartile Un indice di dispersione di uso comune è l'intervallo interquartile, dato dalla differenza tra 3° e 1° quartile (cioè tra 75° e 25° centile): tale intervallo contiene la metà dei valori inclusi nel campione, indipendentemente dalla forma della distribuzione della variabile.

Sommario della statistica descrittiva Obiettivi della lezione: media   mediana moda percentili intervallo di variazione devianza varianza deviazione standard intervallo interquartile Indice di simmetria Coefficiente di variazione

La deviazione standard è una quantità utile per effettuare confronti.  ESEMPIO: Come confrontare il vostro peso con quello di altre persone della vostra età?  Supponiamo che uno di voi pesi 4 kg oltre la media dei soggetti della sua età: ci sono molti altri, della stessa età, con un peso maggiore, oppure egli è un piccolo gigante? Bisogna conoscere la deviazione standard dei pesi dei ragazzi di quella età, prima di fare un confronto con il peso degli altri. Supponiamo che il peso medio dei ragazzi di quell'età sia 45 kg e che la deviazione standard sia 2 kg:  … allora un peso di 49 kg è sopra la media di due deviazioni standard.

Approfondimento: rivediamo alcune formule ed introduciamo le nozioni di asimmetria (skewness) e di curtosi

Principali indici statistici I grafici finora analizzati ci danno informazioni qualitative; possiamo quantificarle ricorrendo ai seguenti indici. Siano n osservazioni numeriche MODA MEDIANA MEDIA di posizione SCARTO QUADRATICO MEDIO VARIANZA RANGE INDICI di dispersione ASIMMETRIA (SKEWNESS) CURTOSI ( KURTOSIS) di forma

Indici di posizione: moda media mediana E' definita come il valore che ha la frequenza più alta. E' quel valore che corrisponde alla somma di tutti i valori diviso il numero dei valori stessi. dove: Xi = esito i-ma misura n = numero dei dati (dimensione del campione) media E' quel valore al di sotto del quale cadono la metà dei valori campionari. mediana Gli indici di posizione indicano il valore attorno al quale i dati del campione sono posizionati Mi interessa la dispersione dei dati intorno a tale valore N.B. NELLA DISTRIBUZIONE NORMALE MEDIA= MODA = MEDIANA

Indici di dispersione: xmax -xmin range (intrevallo di variazione) scarto medio assoluto media dei quadrati degli scarti varianza campionaria deviazione standard campionaria p_esimo quantile: si considera np per [ 0 ≤ p ≤1 ] Se np non è intero, considero k l’intero successivo e il p_esimo quantile è xk Se np = k è intero, il p_esimo quantile è (xk+ xk+1)/2 Q1=primo quartile =25° percentile Q2=secondo quartile =50° percentile =mediana Q3=terzo quartile =75° percentile

Deviazione Standard Diversa Media e varianza: Media uguale Deviazione Standard Diversa Media=2 Varianza=4 Media=2 Varianza=1.33

INDICE DI ASIMMETRIA (Skewness) Indici di forma INDICE DI ASIMMETRIA (Skewness) >0 coda a destra <0 coda a sinistra =0 simmetrica CURTOSI Misura il grado di ripidezza della distribuzione >3 leptocurtica =3 distribuzione normale (mesocurtica) <3 platicurtica N.B. In molti software il coefficiemte di curtosi viene confrontato con il valore 0

Indici: Schema riassuntivo di posizione media: moda: punto di max della distribuzione mediana: valore sotto al quale cadono la metà dei valori campionari. Si dispongono i dati in ordine crescente e si prende quello che occupa la posizione centrale (N dispari) o la media dei 2 valori in posizione centrale (N pari) di dispersione varianza deviazione standard range >0 coda a ds <0 coda a sin =0 simmetrica di di forma skewness (coeff. di asimmetria) curtosi: misura quanto la distribuzione è appuntita <3 poco appuntita >3 molto appuntita