Teorema di Carnot se TR è una trasformazione ciclica reversibile è sempre possibile riportare sistema ed ambiente nello stato iniziale in altri termini esistera’ sempre una trasformazione TR’ che inverte i flussi di calore e lavoro mentre se TIR è una trasformazione ciclica irreversibile non è possibile riportare sistema ed Q2 T2 T1 Q1 L ambiente nello stato iniziale o, detto in altri termini, non esiste una trasformazione TIR’ che semplicemente invertendo i flussi di calore e lavoro riporti sistema ed ambiente nello stato iniziale in particolare il secondo +Q2 -Q1 +L -Q2 +Q1 -L principio, nella forma dell’enunciato di Clausius, Q2 T2 T1 Q1 L Q2’ Q1’ data una trasformazione termodinamica il secondo principio viete sostanzialmente le due situazioni dette. Con questa sola limitazione potrebbe apparire impossibile procedere potrebbe cioè apparire impossibile capire quanto valgano nel corso di una trasformazione le quantita Q1 e Q2. Non è cosi attraverso una serie di considerazioni è possibile spremere questo valore. Cosa è una trasformazione reversibile? E’ una trasformazione che ammette l’inversa cioè richiede che e che ossia che consideriamo ora due trasformazioni cicliche +Q2 -Q1 +L -Q2 ‘ +Q1 ‘ -L una generica (reversibile o irreversibile) T ed una reversibile TR

e supponiamo che entrambe le due trasformazioni Q2 T2 T1 Q1 L Q1’ L’ cicliche prelevino la stessa quantità Q2 di calore dal serbatoio a temperatura superiore il rendimento delle trasformazioni vale e dato che TR è reversibile esiste la trasformazione ciclica Q2 T2 T1 Q1’ L’ TR’ che inverte i flussi di calore possiamo allora considerare le trasformazioni cicliche T e TR’ che assieme formano una trasformazione ciclica che scambia calore con un solo serbatoio affinchè sia soddisfatto il secondo principio (Kelvin Plank) si deve T2 T1 Q2 Q1 L Q1’ L’ avere per cui L-L’ ne consegue che Q1’-Q1 ossia il rendimento di una generica trasformazione ciclica è sempre minore o uguale a quello di una trasformazione ciclica reversibile

consideriamo due trasformazioni cicliche reversibili TR1 e TR2 con rendimenti pensando TR1 come trasformazione ciclica generica e TR2 come trasformazione ciclica reversibile, dato che in generale , si deve avere pensando TR2 come trasformazione ciclica generica e TR1 come trasformazione ciclica reversibile, dato che in generale , si deve avere percio’ l’unica possibilita’ è che TR1 e TR2 abbiano lo stesso rendimento dunque: le trasformazioni cicliche reversibili hanno tutte lo stesso rendimento e visto che le trasformazioni cicliche reversibili hanno tutte lo stesso rendimento e dato che per una generica trasformazione ciclica si ha ne consegue che le trasformazioni cicliche irreversibili hanno sempre un rendimento inferiore alle trasformazioni cicliche reversibili

in conclusione il teorema di Carnot afferma che : 1) tutte le trasformazioni cicliche reversibili hanno lo stesso rendimento 2) il rendimento di una qualsiasi trasformazione ciclica irreversibile che operi tra due sorgenti di calore poste a due determinate temperature è sempre inferiore a quello di una trasformazione ciclica reversibile che operi con sorgenti di calore poste alle stesse due temperature il teorema di Carnot rende possibile il calcolo teorico del rendimento di una trasformazione ciclica reversibile tra due serbatoi e cio’ è possibile perché le trasformazioni cicliche tra due serbatoi sono necessariamente costituite da due trasformazioni isoterme a diversa temperatura e da due trasformazioni adiabatiche

dalla sostanza che compone il sistema termodinamico e visto che tutte le trasformazioni cicliche reversibili tra due serbatoi hanno lo stesso rendimento indipendentemente dalla sostanza che compone il sistema termodinamico eseguendo il calcolo nel caso di un gas rarefatto che effettui una trasformazione ciclica tra due serbatoi costituita da due isoterme a diversa temperatura e da due adiabatiche e che evolva attraverso stati di equilibrio le cui coordinate soddisfano l’equazione di stato si deve ottenere un risultato di validità generale Siamo costretti a servirci di isoterme in quanto lo scambio di calore avviene con sorgetnti di temperatura che per definizione non modificano mai lal oro temperatura . Quaindi lo scambio di calore con sorgenti e’ nesessariamente un processo isotermo Il teorema di Carnot pone una base fondamentale per il calcolo dei rendimenti delle trasformazioni cicliche reversibili. Per comprendere come questo sia possibile bisogna in primo luogo osservare che essendo il rendimento delle trasformazioni cicliche reversibili sempre lo stesso possiamo eseguire il calcolo su quella che preferiamo e sicuramente una trasformazione ciclica reversibile di un gas rarefatto è la più conveniente. Naturalmente dobbiamo capire cosa comporti la richiesta di reversibilità della trasformazione. Dal punto di vista fisico significa che esiste una trasformazione che riporta sistema ed ambiente nella situazione iniziale dal punto di vista matematico significa che dobbiamo eseguire un calcolo il cui risultato del calcolo non dipende dal verso della trasformazione. Se consideriamo un gas perfetto che esegue una trasformazione quasi statica ed utilizziamo per ogni stato della trasformazione l’equazione di stato questo requisito è garantito. Si tratterà allora di un gas perfetto che acquista calore ad una temperatura definita T2 (trasformazione isoterma) e lo cede a temperatura definita T2 e che nella parte rimanente della trasformazione non scambia calore (trasformazione adiabatica). E’ il ciclo di Carnot : una trasformazione ciclica reversibile con scambi di calore a due temperature. Inoltre il rendimento di questo ciclo sara’ il massimo possibile in quanto durante le adiabatiche non vi e’ scambio di calore e quindi l’efficienza sara’ la massima possibile. Ogni altra trasformazione che colleghi le due isoterme comportera’ lo scambio di una certa quantita’ di calore che non potra’ mai essere ritrasformata integralmente in lavoro e quindi sara’ meno efficiente dsell’adiabatica

Ciclo di Carnot e’ un ciclo termico costituito da quattro trasformazioni reversibili di un gas perfetto V p una espansione isoterma da A a B a temperatura T2 A una espansione adiabatica da B a C una compressione isoterma da C a D a temperatura T1 B una compressione adiabatica da D ad A D C da A a B viene assorbito il calore QAB T e’ costante  DU = 0 e Q = L il calore scambiato lungo l’ isoterma AB sara’ da B a C il gas non scambia calore quindi nelle trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto si ha dove : il lavoro effettuato dal gas e’

da C a D viene ceduto il calore QCD da D ad A di nuovo il gas non scambia calore quindi il lavoro subito dal gas e’ in un ciclo DU = 0  Qtot = Ltot sommando i vari contributi di calore e lavoro si ha: controllare i segni e I rapporti di volumi il rendimento del ciclo e’

le relazioni ( di Poisson ) valide lungo le adiabatiche sono dividendo membro a membro da cui quindi in questa relazione non compaiono grandezze caratteristiche del gas ma solo i valori delle temperature delle sorgenti con cui il gas sta scambiando calore il rendimento del ciclo di Carnot di un gas ideale con calore specifico costante dipende solo dalle temperature a cui avvengono gli scambi isotermi di calore

tutte le macchine reversibili a gas perfetto che operano tra le stesse sorgenti di temperatura T1 e T2 hanno lo stesso rendimento che in ogni caso e’ sempre inferiore all’unita’ in effetti per avere rendimento unitario bisognerebbe o che T2  ∞ o che T1  0 , ma sono entrambe condizioni impossibili da realizzare in conclusione: il rendimento di una trasformazione ciclica reversibile tra due serbatoi a temperatura T2 e T1 ( con T2 > T1 ) è dato dalla espressione una prima rilevante conseguenza dei risultati ottenuti consiste nella possibilità di definire una scala delle temperature indipendente dalle proprietà fisiche della sostanza termometrica e basata solo sugli scambi di calore

Temperatura termodinamica assoluta in effetti e’ impossibile utilizzare il termometro a gas al di sotto di temperature dell’ordine di 1 K a causa della liquefazione dei gas consideriamo una qualunque trasformazione termodinamica ciclica e reversibile per tale trasformazione vale la relazione Q2 T2 T1 Q1 L cio’ mostra che si può calcolare la temperatura del serbatoio T1 L Q3 T3 T Q conoscendo quella del serbatoio T2 e misurando i calori acquisiti e ceduti dal sistema Temperatura termodinamica assoluta I risultati ottenuti sono ricchi di conseguenze esplorate in modo accurato a suo tempo principalmente da William Thompson (Lord Kelvin) e Clausius intorno alla metà dell ‘800. La prima di queste consiste nella possibilità di costruire una scala delle temperature indipendente dalle proprietà fisiche della sostanza considerata (il gas ad esempio). Perché questa possibilità è interessante? Molto semplicemente perche se voi costruite un termometro a gas per misurare la temperatura questo termometro non potrà operare quando il gas cambia fase. Ad esempio al di sotto di 1 K i gas sono soggetti a liquefazione e dunque inutilizzabili. Per disporre di una scala delle temperature che si estenda su tutti i suoi valori si può ragionare come segue. Abbiamo visto che in una trasformazione reversibile tra due serbatoi vale la relazione …. si costruisce allora una scala delle temperature basata su misure di calore, certamente difficili ma effettuabili anche la dove i termometri convenzionali non arrivano. Si definisce inoltre lo zero assoluto che il terzo principio della termodinamica impedisce di raggiungere e che oggi è stato avvicinato a 10-8 K! possiamo ora costruire una scala termometrica eseguendo una trasformazione ciclica reversibile tra un serbatoio alla temperatura T3 (punto triplo dell’acqua) ed il sistema di cui vogliamo misurare la temperatura , pensato come serbatoio alla temperatura T incognita

ponendo a T3=273.16 ºK la temperatura del serbatoio alla temperatura del punto triplo e misurando il calore Q3 acquisito da questo serbatoio ed il calore Q ceduto al sistema di cui si vuole misurare la temperatura si definisce zero assoluto quella temperatura alla quale una trasformazione ciclica reversibile non cede calore

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