Metodi di Ricostruzione in Fisica Subnucleare Corso di Metodologie Informatiche Avanzate Per la Fisica Nucleare e Subnucleare A.A. 2009/2010 III Lezione, 11/11/09 Silvia Arcelli

Sommario della scorsa lezione: Metodi di riconoscimento di traccia (pattern recognition): Metodi Globali → Template Matching, MST, Fuzzy Radon (Hough) Transform, Neural Networks Metodi Locali: il track following Silvia Arcelli

In questa lezione: Track Fitting: Track Fit - generalità Track Model: Parametrizzazione della traccia Effetti del materiale Kalman Filter: un metodo recursivo di track finding e fitting simultaneo Silvia Arcelli

Track Fitting Dopo il track finding, si vuole estrarre dal set di misure associate alla traccia suoi parametri (origine, direzioni e impulso/carica al piano di riferimento). Il LSM (Minimizzazione del 2 ) è il metodo generalmente adottato : Vettore dei parametri di traccia Misura i-esima di posizione Incertezza sulla misura i-esima Valore previsto della misura i-esima sulla base del track Model, in funzione dei parametri della traccia Silvia Arcelli

Track Fitting Notazione Matriciale: Condizione di minimo : con diagonale: incertezze non correlate misure gaussiane Condizione di minimo : F è la matrice delle derivate: Si assume inoltre Silvia Arcelli

Track Fitting Se il track model è lineare (N.B: nei parametri!) allora e: Per dim. vedere ad esempio: “Data Analysis Techniques for High Energy Physiscs”, R. Fruhwirth et al, p.232, (Cambridge Univ. Press) Silvia Arcelli

Track Fitting Vantaggi di avere un Track Model Lineare: Soluzione esplicita Se gli errori di misura sono gaussiani, gli errori sui parametri sono gaussiani (i parametri di traccia sono una funzione lineare delle misure) Il LSM fornisce un estimatore non biassato ed efficiente, cioè di minima varianza Test Statistics: 2, pulls (validazione dei candidati di traccia) Silvia Arcelli

Track Fitting Un esempio banale di fit globale con track model lineare: traccia in un piano in assenza di campo magnetico: Track model: (zr=0) Applicando: Si arriva alle note formule di regressione lineare Silvia Arcelli

Track Model-Equazioni del Moto Moto di una particella carica in un campo magnetico statico B(x): Poichè Si può eliminare la dipendenza esplicita dal tempo esprimendo l’equazione in funzione della distanza lungo la traiettoria, s=ct. Se B é uniforme, la soluzione (analitica) é un’elica cilindrica. Se il campo è significativamente non uniforme, occorre risolvere l’equazione utilizzando metodi numerici. Silvia Arcelli

Track Model-Equazioni del Moto Principali configurazioni di campo magnetico negli esperimenti: Deflessione in xy (ρ) Deflessione in yz Campo uniforme lungo z (asse dei fasci), simmetria cilindrica, piani di misura a R=cost (Geometria a Collider) Campo uniforme lungo x, rivelatore planare con layer (xy) lungo z (Geometria a Bersaglio Fisso) Silvia Arcelli

Track Model-Elica Cilindrica Equazione parametrica dell’elica cilindrica (B lungo z): B Sei parametri (tre equazioni differenziali del secondo ordine...). Silvia Arcelli

Track Model-Elica Cilindrica λ é il “dip angle”: x0,y0,z0 sono le coordinate a s=0 La proiezione in xy è un cerchio: RH é il raggio dell’elica è legato alla pendenza della tangente alla circonferenza a s=0, H H Silvia Arcelli

Track Model-Parametri della traccia Tuttavia, una volta fissata una superficie di riferimento (ad esempio, in R o in z), la traiettoria è descritta da solo cinque parametri indipendenti (scelta del pivot). Simmetria cilindrica (collider), riferimento: cilindro raggio R quanto più prossimo al vertice di interazione : Punto impatto direzioni impulso Silvia Arcelli

Track Model-Parametri della traccia Simmetria planare (Bersaglio fisso): il riferimento è in genere un piano a z=cost (vicino al vertice) Punto impatto direzioni momento In assenza di campo magnetico, la traiettoria è una retta e sono ovviamente necessari solo quattro parametri (l’impulso è indefinito) Silvia Arcelli

Track Fitting L’elica cilindrica non è lineare nei parametri di traccia, ma se si sceglie la parametrizzazione in modo opportuno, di fatto “localmente” è lineare con una buona approssimazione. Per localmente si intende che le distanze entro cui assumo che il track model sia lineare sono piccole rispetto al raggio dell’elica. In questo caso le proprietà del track model lineare sono in gran parte preservate. Silvia Arcelli

Track Fitting Quindi, in presenza di track model ~lineare, ci si riconduce ad un problema piuttosto semplice, con una soluzione esplicita: Inversione di matrici di dimensione uguale al numero massimo di parametri di traccia (n=5). Come cambia quando includo l’effetto dei materiali (Scattering Multiplo, perdita di Energia,...)? (5 x 1) ( N x N), diagonale (N x 1) (5 x N) (N x 5) Silvia Arcelli

Track Model-Effetti del Materiale Multiple Scattering: non cambia il valore assoluto dell’impulso, ma influenza la direzione della particella. In media, su molti scattering elementari ci si aspetta una deviazione nulla. Non si applica una correzione esplicita alla descrizione parametrica della traiettoria (f) Nel fit di traccia , si introducono ulteriori incertezze sulla posizione della traccia sull’i-esimo layer di misura, correlate tra le misure nei differenti layer. Questo implica la comparsa di termini non diagonali nella matrice di covarianza V delle misure (altrimenti assunte indipendenti) Silvia Arcelli

Multiple Scattering Direzione di volo della particella Elementi diagonali della Matrice di Covarianza: Silvia Arcelli

Multiple Scattering Direzione di volo della particella Elementi off-diagonal della Matrice di Covarianza: Silvia Arcelli

Multiple Scattering Questi termini sono significativi? Pioni con impulso 1 GeV/c: X0 MS Si (300 μm) 9.4 cm 0.8 10-3 Argon (1m) 110 m 1 10-3 Se consideriamo un rivelatore a silicio con layer di spessore 300 μm, e una distanza da layer a layer di 10 cm, l’incertezza indotta dal MS per pioni da 1 GeV/c a incidenza normale è ~80 μm, confrontabile con la precisione del rivelatore. Silvia Arcelli

Multiple Scattering Scala come 1/p, contributo dominante per particelle di basso impulso! Lo spessore effettivo d aumenta con l’angolazione della traccia rispetto al piano del materiale Atlas Pixel Detector “Material Budget” Silvia Arcelli

Multiple Scattering Un altro metodo a volte usato per tener conto nel fit del MS è quello dei “Break-Points”: in pratica, si introducono nel fit di traccia altri parametri liberi (angoli) in corrispondenza delle superfici di scattering: Numero di parametri extra = numero di superfici di scattering, per N elevato è impraticabile. La sua applicazione sono i casi in cui si ha un numero limitato di superfici (attive o passive) in cui ci aspetta un forte effetto di MS. Silvia Arcelli

Perdita di Energia Perdita di energia per ionizzazione : non cambia la direzione, ma l’impulso. In seguito ad una perdita di energia in uno strato d di materiale, la curvatura aumenta: IP Nel fit di traccia: Correzione a C su ogni layer di materiale In genere si trascurano le fluttuazioni sulla dE/dx (non si modifica la matrice di covarianza). Silvia Arcelli

Perdita di Energia Quanto è grande questo effetto, per MIP? Per Pioni con impulso 1 GeV/c: densità (g cm-3) dE (MeV) Si (300 μm) 2.33 0.14 Argon (1m) 1.8 10-3 0.36 E’ molto piccolo, relativamente all’impulso iniziale. Per MIP la correzione può essere rilevante se nel volume di tracking la traccia attraversa uno strato significativo di materiale passivo denso. In particolare, nel tracking di muoni. Silvia Arcelli

Perdita di Energia La perdita di energia è significativamente maggiore per particelle di impulso più basso, e pesanti. Ad esempio: Protoni con impulso 0.2 GeV/c (=0.2) In Si (300 μm): 1 MeV. Correzione dello ~0.5% su ogni layer. N.B. Per applicarla correttamente dovrei conoscere la massa! Silvia Arcelli

Track Model-Effetti del Materiale In entrambi i casi, MS e dE/dx, la trattazione degli effetti del materiale nel fit dipende 1) dai parametri della traccia (angoli di incidenza, impulso) e 2) dalla massa (che è in genere ignota, a questo livello). Si può adottare una procedura iterativa (prima stima dei parametri senza correzione, si calcola la correzione, si ripete il fit, e così via fino alla convergenza). Si esegue il fit con diverse ipotesi di massa (π,k,p,...) che possono essere ulteriormente discriminate utilizzando l’ informazione di PID del tracking (se presente) Silvia Arcelli

Track Model-Effetti del Materiale In generale, la trattazione degli effetti di materiale in un fit di traccia globale è complessa e pesante dal punto di vista computazionale. In particolare, la matrice V non è più diagonale, e questo comporta l’inversione di matrici N x N, (N il numero di misure), operazione che scala come N3 Inoltre, il risultato del fit corrisponde alla miglior stima dei parametri della traccia alla superficie di riferimento, e la traiettoria estrapolata non segue in dettaglio la traiettoria reale della traccia (MS). Silvia Arcelli

Kalman Filter R.E.Kalman (“A new approach to linear filtering and prediction problems” Trans. ASME J. Basic Eng. 82 (1960), 35): metodo recursivo per stimare gli stati di un sistema dinamico sulla base ad una serie di misure. Introdotto in fisica subnucleare (1984) da P. Billoir sotto il nome di “Progressive Fit”, sviluppato ulteriormente da R.Frühwirth e M. Regler. Nel contesto del track finding, il Kalman Filter è la stima dello stato della traccia in corrispondenza di un numero finito di superfici, su cui sono eventualmente disponibili delle misure. Silvia Arcelli

Kalman Filter Metodo recursivo di track finding e fitting simultaneo Si dimostra che è equivalente ad una procedura globale di minimizzazione di 2, con le stesse proprietè del LSM Costo computazionale limitato, massima dimensione delle matrici pari a quelle del vettore dei parametri della traccia E’ in grado di fornisce la stima ottimale dei parametri della traccia in ogni punto della traiettoria Silvia Arcelli

Kalman Filter Una traccia è rappresentata da un set di parametri, che nel formalismo del Kalman Filter vengono raggruppati in quello che si definisce lo “StateVector”: Lo stato evolve su un insieme di valori, secondo una componente deterministica ed una componente stocastica. Il Kalman Filter è la procedura utilizzata per determinare lo stato della traccia in corrispondenza di un numero finito N di posizioni (i layer di misura del rivelatore), sulla base di N misure, tenendo anche conto di processi stocastici. Silvia Arcelli

Kalman Filter Il Kalman Filter è un estimatore recursivo, cioè per fornire la stima dello State Vector allo step k+1 sono necessari unicamente la stima dello State Vector allo step k, e il vettore di misura allo step k+1. Questo nell’ambito di una serie di assunzioni generali (che corrispondono sostanzialmente ad avere un modello di traccia lineare, e processi stocastici che non diano un bias sulla stima dei parametri dello State Vector) Silvia Arcelli

Kalman Filter-Assunzioni Generali Si assume che l’evoluzione del vettore di stato dal layer k al layer successivo k+1 sia descritto da una “System Equation” con definite proprietà : Dove F è una funzione lineare: Il termine descrive il “process noise”. Si assume che non sia biassato , sia gaussiano e sia caratterizzato da una definita matrice di covarianza La matrice di covarianza di è indicata con Silvia Arcelli

Kalman Filter-Assunzioni Generali F descrive la parte deterministica dell’evoluzione dello stato dal layer k al layer k+1 (è legata alle soluzione delle equazioni del moto). Se la funzione non è strettamente lineare ma è “localmente lineare”, il principio resta inalterato e il Filtro di Kalman si dice “esteso”. Il termine tiene conto della variazione stocastica dello State Vector durante la propagazione dal layer k al layer k+1 (dovuta, ad esempio, al MS). Silvia Arcelli

Kalman Filter-Assunzioni Generali Inoltre, si assume che sia possibile, dato il vettore di stato ad un certo layer k, connetterlo al vettore delle misure (coordinate) allo stesso layer attraverso la “Measurement Equation”: Anche H è una funzione lineare Il termine descrive la componente stocastica associata all’incertezza sulle misure (“measurement noise”), e si suppone che non sia biassato , sia gaussiano e che sia caratterizzato da una matrice di covarianza Si assume inoltre che il process noise e il measurement noise siano indipendenti Silvia Arcelli

Kalman Filter Lo stesso esempio usato per il formalismo del fit di traccia globale ora nel formalismo del Kalman Filter: N.B. Qui ho ignorato il process ed il measurement noise Silvia Arcelli

Kalman Filter Rispetto al formalismo del fit di traccia globale : Il modello di traccia mette in relazione due stati consecutivi (continuo cambio del piano di riferimento) Il modello di traccia deve essere lineare solo tra due layer consecutivi Il MS è trattato nella matrice Qk, che ha la dimensionalità dello State Vector Correzioni (come quella per dE/dx o piccole disuniformità di campo magnetico) si incorporano in maniera molto semplice Silvia Arcelli

Kalman Filter-Come funziona Operativamente, il Kalman Filter si articola secondo 2 processi di base ( più un terzo “opzionale”, smoother) iterati N volte: Prediction: Stima di uno stato “futuro” Filter : Stima dello stato “presente”, includendo l’informazione della misura Smoother: Stima di uno stato “passato”, in base a tutta l’informazione della traccia. Silvia Arcelli

Kalman Filter-Come funziona Quindi, se si indica con la stima dello State Vector al layer k sulla base delle j misure nei j layer {m1,...mj}: 1) k>j : Prediction 2) k=j : Filter 3) k<j: Smoother Per “partire”, il filtro ha bisogno di un “seed” (vedi track following), che dia una stima iniziale dello State Vector: Quindi il filtro procede alternando le due operazioni 1) e 2) fino all’ultima misura che si ritiene associata alla traccia. (il track finding si fa in simultanea) Silvia Arcelli

Kalman Filter, “Prediction” Step Supponiamo di avere una stima dello State Vector al layer k sulla base delle misure {m1,..mk}, con matrice di covarianza . Equazioni del “Prediction Step”: State Vector Covariance Matrix dim(Q,F,C)= dim(x) · dim(x) ho già una stima locale dei parametri (errori MS) posso applicare correzioni (dE/dx) Silvia Arcelli

Kalman Filter, Filter Step In questa fase, si utilizza la stima dello State Vector e della sua matrice di covarianza dal Prediction Step, combinandola con una eventuale misura al layer k+1, per produrre la miglior stima dello State Vector al layer k+1, sulla base delle misure {m1,...,mk+1}. La prescrizione si deriva richiedendo che sia minima la funzione: 2 della parte “di misura” 2 della parte “di predizione” Silvia Arcelli

Kalman Filter, Filter Step Imponendo si ottengono le Equazioni di Filter, che danno la miglior stima dello stato al layer k+1, e della sua matrice di covarianza: State Vector Covariance Matrix Silvia Arcelli

Kalman Filter, “Filter” Step La miglior stima dello State Vector al layer k+1, basato sulle misure {m1,...mk+1} non è altro che la media pesata della previsione e della misura. Anche in questa fase, si fa track finding! Ho una serie di informazioni per decidere l’associazione dell’hit Posso tener conto della eventuale dipendenza degli errori di misura dai parametri della traccia Silvia Arcelli

Kalman Filter, Filter Step Usando e sostituendo, le equazioni di filter si possono anche scrivere: “Correction” “Prediction” Dove: é la “Gain Matrix” Silvia Arcelli

Kalman Filter, Filter Step La Gain Matrix K determina il peso della correzione. All’inizio del filtro: massimo guadagno nell’incorporare la misura Alla fine del filtro: incorporare nuove misure ha sempre meno impatto Silvia Arcelli

Kalman Filter, Filter Step La Stima filtrata ha tutte le proprietà ottimali di un estimatore lineare di minimi quadrati. Ad essa è associata un 2 : distribuito come una variabile di 2 a dim(mk) gradi di libertà. Il 2 globale della traccia è la somma di tutti i 2 ad ogni passo del filtro. Silvia Arcelli

Kalman Filter Il filtro procede iterando queste due operazioni fino all’ N-esimo layer, rifinendo continuamente la stima dello State Vector al layer corrente: La stima filtrata segue più da vicino la traiettoria fisica della traccia (soprattutto nello stadio iniziale) La stima all’ultimo layer è la più precisa, perchè contiene l’informazione delle misure di tutti i layer. Se si vuole la miglior stima al vertice, si inizia il filtro dal layer più esterno. Silvia Arcelli

Kalman Filter-Smoother Step Abbiamo visto che lo State Vector è più preciso all’ultimo layer di misura. Ma il Kalman Filter permette di ottenere la stima migliore, basata su tutte le N misure, a qualunque layer k={1...N}. Equazioni di Smoothing (ancora un processo recursivo): Silvia Arcelli

Kalman Filter-Smoother Step Anche alla stima “smoothed” è associato un 2, ma la loro somma non dà il 2 globale (non sono indipendenti) Utile per l’individuazione di hit di rumore (“outliers”) Lo Smoother si dimostra equivalente alla media pesata di un “Forward Filter” e di un “Backward Filter”. La traiettoria dopo lo smoothing è, appunto, più “smooth” Silvia Arcelli

Kalman Filter-Sommario Permette di fare track finding e fitting simultaneamente Perturbazioni alla traiettoria “ideale” (MS, perdita di Energia, disuniformità di campo magnetico) sono trattabili in maniera più semplice Il formalismo consente di utilizzare matrici di dimensione limitata (al massimo quella dello State Vector). Quindi il numero di operazioni scala come ~N, e non come N3. Il modello lineare di traccia deve essere valido solo “localmente” (tra step e step) Silvia Arcelli

Kalman Filter-Sommario I parametri di traccia sono stimati localmente, e seguono da vicino la traiettoria fisica della traccia, non solo l’estrapolazione delle condizioni iniziali come in un fit globale Estrapolazione ottimale dello stato della traccia ad altri device (calorimetri, sistemi di Particle-ID, rivelatori di muoni) Quando conviene usarlo? Quando sono in condizione di “continuità e prossimità” delle misure. Silvia Arcelli