campo scalare attraverso l’operatore gradiente Potenziale vettore un campo vettoriale conservativo puo’ sempre essere derivato da un opportuno campo scalare attraverso l’operatore gradiente un campo vettoriale solenoidale puo’ sempre essere derivato da un opportuno campo vettoriale attraverso l’operatore rotore infatti se e’ un campo solenoidale allora ovunque e in conseguenza di cio’ sara’ sempre possibile trovare un campo vettoriale tale per cui si abbia applicando l’operatore divergenza ad ambo i membri della si ottiene ma la divergenza del rotore di un campo vettoriale e’ identicamente nulla quindi se il campo w fosse solenoidale si otterrebbe in effetti una identita’ ( 0 = 0 )

in analogia con il potenziale scalare j il campo A viene detto “ potenziale vettore” mentre il potenziale scalare era definito a meno di una costante additiva il potenziale vettore e’ determinabile a meno del gradiente di una funzione scalare infatti se dato che il rotore del gradiente di un qualsiasi campo scalare e’ identicamente nullo una scelta che si puo’ fare per determinare univocamente il potenziale vettore, ma non e’ l’unica possibile, e’ quella di imporre che anche A sia solenoidale

in questo caso applicando l’ operatore rotore ad ambo i membri della relazione si ha e usando l’uguaglianza notevole si ottiene l’imposizione che A sia solenoidale “ gauge di Coulomb” implica che in conclusione si ha

in coordinate cartesiane l’operatore agisce su di una funzione scalare l’ equazione vettoriale si riconduce a tre equazioni scalari

Potenziale vettore magnetico secondo le equazioni dell’elettrotecnica e dunque il campo magnetico non e’ conservativo, ma e’ solenoidale quindi potra’ essere derivato da un opportuno potenziale vettore magnetico ossia se si impone la gauge di Coulomb per A ossia che si ha ma quindi

in elettrostatica se si impone al potenziale di annullarsi all’infinito, insieme alle sue derivate prime parziali, e’ possibile dimostrare che la soluzione dell’equazione di Poisson assume la forma: x,y,z si estendono al volume t entro cui e’ diffusa la carica elettrica sorgente del campo P(x,y,z) P’(x’,y’,z’) r x’,y’,z’ sono le coordinate del generico punto dello spazio P’ in cui si desidera calcolare il potenziale

formalmente bastera’ sostituire per ottenere come soluzione della equazione l’espressione e analogamente e