Moto di una particella che incontra una barriera finita di potenziale se se oppure consideriamo il caso in cui l’energia totale della particella sia inferiore al potenziale V0 ossia E < V0 non sono inizialmente presenti onde regressive oltre la barriera quindi non c’e’ termine del tipo G’e-ikx vi sono quindi cinque coefficienti da determinare con le quattro condizioni di continuita’ della funzione e della sua derivata prima nei punti x = 0 ed x = L piu’ la condizione di normalizzazione le condizioni di continuita’ della funzione d’onda e della sua derivata prima in x = 0 forniscono e ossia da risolvendo per A si ottiene in definitiva sfruttando le altre due condizioni di continuita’ ossia e si ottiene e

risolvendo per C e D si ottiene esprimendo A in funzione di F ossia dove e e sfruttando la relazione il rapporto e’ detto coefficiente di trasmissione T riesce dal punto di vista classico nessuna trasmissione e’ possibile oltre la barriera di potenziale in quanto essendo E < V0 l’energia cinetica risulterebbe negativa all’interno della barriera dal punto di vista quantistico viceversa la particella possiede proprieta’ ondulatorie quindi una parte dell’onda di probabilita’ viene sempre trasmessa oltre la barriera di potenziale l’effetto e’ tanto piu’ marcato quanto e’ piccola la massa della particella e quanto piu’ la sua energia totale E e’ grande e si approssima a V0

se si introduce il parametro adimensionale il coefficiente di trasmissione si puo’ scrivere come in conclusione

Barriere di potenziale, effetto tunnel e il decadimento alfa Determinare quale sia la probabilita’ di trasmissione se la sua energia e’ di 0.04 eV. E se fosse di 0.06 eV ? Un elettrone incontra una barriera di larghezza L = 15 nm e di altezza U0 = 0.1 eV . per una barriera di potenziale di altezza U0 e larghezza L si ha : entro la barriera la funzione d’onda e’ proporzionale ad e-ax, scritto anche come e-x/d dove d e’ la lunghezza di penetrazione e : se la larghezza della barriera L e’ molto maggiore della lunghezza di penetrazione d si parla di barriere “larghe” . In questi casi la probabilita’ di effetto tunnel sara’ molto piccola in altri termini si parla di barriere larghe quando : in presenza di barriere larghe vale l’approssimazione :

infatti : e dato che quindi il coefficiente di trasmissione potra’ essere riscritto come: in presenza di barriere larghe : percio’ il termine e le costanti potranno essere trascurate rispetto a quindi si ha che da notare la dipendenza esponenziale del coefficiente di tramissione :

verifichiamo che sussistano nel problema dato le condizioni di barriera larga: per un elettrone di energia E = 0.04 eV posto in fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV profonda 15 nm : per un elettrone di energia E = 0.06 eV posto in fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV profonda 15 nm : in conclusione la barriera e’ comunque di molto piu’ ampia della profondita’ di penetrazione dell’ elettrone dunque si potra’ in entrambi i casi usare l’approssimazione per barriere larghe . da notare come, a causa della dipendenza esponenziale, la probabilita’ di tunnelling dipenda in modo cruciale dall’energia della particella. Nell’esempio la probabilita’ varia di molti ordini di grandezza, mentre l’energia della particella e’ variata del 50%

se per una barriera larga si ha che con per una successione di barriere tutte uguali poste una dopo l’altra si puo’ ottenere (trascurando la riflessione da ogni barriera) l’ espressione approssimata : se la barriera e’ generica, U sara’ una funzione di x e potremo pensare di dividere la barriera in tante barriere successive di profondita’ Dx tutte uguali poste una dopo l’altra Sempre trascurando la riflessione da ogni barriera si ha : al limite si puo’ pensare di rendere Dx infinitesimo, facendo attenzione che le condizioni per avere una barriera larga rimangano valide ovvero :

Decadimento alfa Uranio 238 : 92 protoni e 146 neutroni Torio 234 : 90 protoni e 144 neutroni + He 2

Un nucleo atomico pesante puo’ essere pensato come composto di molte particelle alfa legate da forze attrattive nucleari, dunque effettive solo quando le particelle sono a breve distanza una dall’altra. finche’ si trova all’interno del nucleo una qualsiasi particella alfa costituente risente di forze attrattive che si possono pensare derivate da un potenziale costante la cui estensione oltre il diametro nucleare , pari a qualche unita’ in termini di fermi, si esaurisce molto in fretta oltre il raggio nucleare r0. l’andamento del potenziale puo’ quindi essere schematizzato come : -U0 U(r) r r0 r1 E R0 ~ 10-12 m E ~ 5 MeV a distanze maggiori di r0 e’ presente il potenziale dovuto alla repulsione coulombiana tra nucleo e particella alfa. di conseguenza una particella alfa si trova in un punto di massimo potenziale quando e’ a distanza pari al raggio nucleare r0 . Una stima per l’atomo di torio 234 porta ad un valore di circa 35 MeV il valore del massimo del potenziale. Per superare questa barriera coulombiana una particella alfa intrappolata all’interno del nucleo dovrebbe possedere una energia di almeno 35 MeV e quindi se la si trova a grande distanza dal nucleo con energia E ci si aspetterebbe classicamente che abbia energia > 35 MeV Mentre le particelle alfa vengono emesse con energie sempre inferiori a 10 MeV !

dove Z’ e’ la carica del nucleo dopo la disintegrazione I limiti di integrazione vanno da r0 al valore r1 distanza alla quale il potenziale uguagliera’ l’energia E della particella alfa emessa nella disintegrazione se l’energia e’ espressa in MeV ed r0 in unita’ di 10-15 si ha :

la frequenza di decadimento , il cosiddetto “rate” si puo’ stimare dalla relazione : dove la velocita’ della particella e’ assunta essere (2E/m)1/2 questa epressione vale per una singola particella alfa, ma andrebbe ricalcolata applicando un fattore moltiplicativo valutato pensando che un nucleo puo’ essere immaginato come fatto di tante particelle alfa strettamente legate vi possono quindi essere molte particelle alfa che simultaneamente tentano di superare la barriera. per ottenere la vita media basta ricordare che il rate e’ inversamente proporzionale alla vita media

Nucleo a emettitore Energia della particella a (MeV) Vita media t del decadimento a Po 212 8.8 4.4 10-7 sec Rn 220 6.3 79 sec Ra 224 5.7 5.3 giorni Ra 226 4.8 2300 anni U 238 4.3 6.5 109 anni