a partire da determinate condizioni iniziali, un esperimento e losservazione del verificarsi di qualche accadimento che, se si ripete lesperimento nelle identiche condizioni iniziali, il risultato dovrebbe essere nella realta gli esperimenti, di precisione, non sono mai perfettamente riproducibili aleatorio un esperimento si definisce aleatorio se il verificarsi di un risultato non è prevedibile a partire dalla conoscenza delle leggi fisiche e delle condizioni iniziali riproducibile a piacimento (determinismo della meccanica classica ) porta ad un particolare stato delle cose finali Esperimenti aleatori valutazione delle possibilità che un fenomeno aleatorio ha di accadere da notare che, al contrario della meccanica classica, la meccanica quantistica e una teoria intrinsecamente probabilistica probabilita la probabilita e la

nacque nellambito dei giochi dazzardo e storicamente e la prima definizione di probabilita definizione classica (aprioristica) di probabilta: ma presuppone che gli eventi siano equiprobabili definizione frequentistica di probabilita : a) presuppone che le prove siano ripetibili a piacimento c) anche effettuando un numero infinito di prove non e garantito che si pervenga al risultato corretto b) non si possono effettuare un numero infinito di prove ma definizione introdotta, e molto usata, in ambito scientifico

Probabilita soggettiva nellignoranza dei fatti la probabilita esprime il nostro grado di fiducia sulla verosimiglianza di una affermazione la definizione soggettiva di probabilita e basata sulla nozione di gioco equo e sulla di speranza di vincita ritenere una affermazione probabilmente vera all80% significa essere disposti a scommettere 8 contro 2 sulla sua validita

Definizione assiomatica di probabilita: assiomi di Kolmogorov :

Eventi indipendenti: due eventi sono incompatibili quando se levento (A e B) non puo avvenire attenzione a non confondere i concetti di indipendenza ed incompatibilita Probabilita condizionale: e P (A e B ) = 0 se si hain altri termini, se avviene A non puo avvenire B e viceversa (A e B) e levento vuoto due eventi sono indipendenti se o Eventi incompatibili ( mutuamente escludentesi): equivalentemente

al poligono di tiro {Evento A} = centro al primo colpo {Evento B} = biglietto con numero pari i due eventi sono indipendenti tra loro quindi dagli assioni di Kolmogorov Esercizio Un tiratore ha probabilita di fare centro al primo colpo. percio : numero pari Se prende l autobus per recarsi di ricevere un biglietto dellautobus con un quale sara la probabilita totale oppure di fare centro al primo colpo ?

Teorema della probabilita assoluta esempio: nel lancio del dadoS = {1,2,3,4,5,6} a i = esce la faccia i per i = 1,6 chiaramente gli a i costituiscono una partizione di S se levento B fosse : {esce un numero pari} partizione gli eventi a i costituiscono una partizione di S se B e un qualsiasi evento dello spazio S se P(B) = P(1)P(pari/1) + P(2)P(pari/2) + … + P(6)P(pari/6) = 1\ /6 1 + … + 1/6 1 =... 3/6 = 1/2 e

Teorema di Bayes ovvero per definizione di probabilita condizionatae da sostituendo questo valore dinella relazione che definisce la probabilita condizionata si ottiene: relazione nota come teorema di Bayes

quale sarebbe la probabilita che sia stato prodotto dalla macchina F 1 ? Due macchine fresatrici, F 1 e F 2, di una fabbrica della produzione di componenti meccanici di precisione.La macchina F 1 e operata manualmente e produce l 1 % di scarti,mentre la macchina F 2 e automatica, e produce il 5 % di scarti. I pezzi prodotti dalle due fresatrici vengono mescolati tra loro e, un controllo di qualita a campionamento casuale viene effettuato Quale sara la probabilita che un pezzo scelto a caso sia di scarto ? sc = { pezzo di scarto } F 1 = { pezzo prodotto dalla fresatrice F 1 } F 2 = { pezzo prodotto dalla fresatrice F 2 } secondo il teorema della probabilta totalese B e un qualsiasi evento dello spazio degli eventi e chiaro che F 1 ed F 2 costituito dall insieme dei componenti meccanici al termine di ogni giornata, ossiain questo caso Se il pezzo campionato coprono rispettivamente il 10% ed il 90% a caso risultasse difettoso sullintera produzione. costituiscono una delle possibili partizioni dello spazio degli eventi prodotti al termine di una giornata lavorativa secondo i dati forniti nel problema si ha : pf = { pezzo perfetto } gli eventi sono e e

per rispondere alla seconda domanda al denominatore ritroviamo la probabilita totalepari al 4.6% come precedentemente calcolato possiamo farlo avvalendoci del teorema di Bayes dobbiamo calcolare che in questo caso diviene inoltre sappiamo chee chequindi e analogamente

si puo intuire meglio limportanza del teorema di Bayes se vi sono piu possibili cause C 1, C 2, …. C n che possono produrre lo stesso effetto E, ci si domanda quale sara la probabilita che il verificarsi di E utilizzando il teorema di Bayes: esempio : la diagnosi del medico di famiglia dato che si e presentato levento E, sia dovuto alla causa i -esima ragionando in termini di causa ed effetto

Una malattia rara colpisce lun per mille della popolazione. messo a punto un test che, nel 5% di persone sane Se una persona si sottopone al test quale e la probabilita che sia Esempio di applicazione del teorema di Bayes : M = {malato} S = {sano} T P = {test positivo} per il teorema di Bayes: lo rivela in 97 casi su 100 ( percentuale di falsi allarmi = 5%). ( efficienza del test = 97% ). in caso di effettiva presenza della malattia, Pero il test risulta positivo anche davvero malata ? e lesito risulta positivo in conclusione e Per diagnosticarla viene ma la probabilita a cui si e realmente interessati e la probabilita e molto bassa per sapere se si e davvero malati occorrera effettuare altri tipi il test e inutile ! ma allora di indagine … dove M in questo caso e la possibile causa e T p e leffetto

la probabilita di essere davvero malati se il test non servirebbe a molto aumentare soltanto lefficienza del test produce anche qualche falso allarme anche se la si portasse al 100% (test infallibile) questo perche nonostante il test sia di un falso positivo molto rara dato che la malattia e molto rara forse e perche e inefficiente ? continuerebbe ad essere molto bassa, e piu probabile che si sia trattato e attenzione: efficientissimo, piuttosto che di un vero caso di malattia risultasse positivo in generale, in qualunque ambito in cui si presenti una decisione predittiva binaria errore di primo tipo In statistica questo errore del test è detto errore di primo tipo (positivo o falso allarme un falso positivo indica la scelta a torto di "positivo", ovvero un falso allarme.negativo), secondo tipofalsi negativi è quello di secondo tipo, che genera falsi negativi. esempio del giudice l'altro possibile errore e contemporaneamente riducendo la percentuale di falsi allarmi In conclusione si potrebbe realmente migliorare la validita del testsolo aumentandone lefficienza in effetti

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