Risultati della equazione di Dirac Equazione di Dirac in presenza di campi e.m Elementi di teoria dei campi: prima e seconda quantizzazione Quantizzazione del campo bosonico e fermionico Formulazione lagrangiana: le lagrangiane dei campi fondamentali

Risultati dell’ equazione di Dirac L’equazione si rivelò di grande successo per diversi motivi: 1) Predice in modo del tutto naturale lo spin dell’ elettrone senza bisogno di introdurlo artificialmente 2) Predice l'esistenza delle particelle a energia negativa, interpretabili come antiparticelle a energia positiva, scoperte poi sperimentalmente 2) Predice il valore del momento magnetico dell’ elettrone poi misurato sperimentalmente (rapporto giromagnetico) 3) Predice la struttura fine dello spettro energetico dell’ atomo di idrogeno 4) L’accoppiamento con il campo e.m. permette di predire le sezioni d’urto relativistiche di Klein-Nishina della diffusione Compton fotone-elettrone ( e   e), di Møller della diffusione elettrone-elettrone o positrone-positrone ( e- e-  e- e- o e+ e+  e+e+ ), la diffusione coulombiana di elettroni nel campo dei nuclei e degli elettroni e l’emissione di fotoni da parte di elettroni nel campo e.m. coulombiano della materia.

Interazione con il campo e.m. L’equazione di Dirac fin qui descritta si applica a particelle fermioniche libere. Essa deve quindi essere modificata in presenza di campi e.m. esterni per includere l’interazione fermione-campo e.m. L’accoppiamento minimale tra la particella e il campo e.m. viene realizzata sostituendo nella equazione al quadrimpulso p : o anche, equivalentemente ( p = (E; p )  i   = i (/ t; - ) ): Con tale sostituzione l’equazione di Dirac per particella libera: si trasforma nell’equazione di Dirac in presenza di un campo e.m.:

La seconda quantizzazione La prima quantizzazione (meccanica quantistica non relativistica) permette di descrivere il comportamento di una particella libera o in interazione con un potenziale, ma non è in grado di risolvere il problema della interazione tra essa ed altre particelle e in particolare la diffusione nel corso della quale una particella può scomparire dando luogo ad altre particelle. Al contrario, sappiamo dalla relazione energia-massa di Einstein, che una particella può decadere in altre due di massa minore oppure che due particelle possono combinarsi a darne una di massa maggiore o infine che due particelle possono annichilarsi producendo fotoni. Si presenta dunque la necessità di dare una nuova descrizione, nella quale la funzione d'onda non descrive la particella ma un campo (fermionico, bosonico) che si realizza attraverso le particelle, che diventano quindi modi (quanti) del campo stesso. Le equazioni fin qui studiate (di Klein-Gordon, di Dirac) verranno reinterpretate come equazioni di un campo bosonico o di un campo fermionico.

SISTEMA DI PUNTI CLASSICO MECCANICA CLASSICA SISTEMA DI PUNTI CLASSICO CAMPO CLASSICO Distribuzione discreta Distribuzione continua Numero finito di gradi di libertà N  Numero infinito di gradi di libertà Variabili canonicamente coniugate Campi canonicamente coniugati Lagrangiana: Densità lagrangiana: Azione: Azione: Dal principio di minima azione si ricavano le equazioni del moto: Eq. Eulero-Lagrange

Prima quantizzazione=quantizzazione di un sistema classico SISTEMA DI PUNTI CLASSICO SISTEMA DI PUNTI QUANTISTICO Distribuzione discreta Distribuzione discreta Numero finito di gradi di libertà Numero finito di gradi di libertà Variabili canonicamente coniugate Operatori canonicamente coniugati Condizioni di quantizzazione Particella localizzata nello spazio con impulso definito Equazioni del moto descrivono la posizione e l' impulso della particella in ogni istante Particella è descritta da una funzione d’onda, il cui modulo quadro fornisce la probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio-tempo Numero di particelle = fissato

MECCANICA QUANTISTICA PRIMA QUANTIZZAZIONE SECONDA QUANTIZZAZIONE Distribuzione discreta Distribuzione continua Numero finito di gradi di libertà Numero infinito di gradi di libertà Operatori canonicamente coniugati Campi (operatori) canonicamente coniugati Condizioni di prima quantizzazione Condizioni di seconda quantizzazione (1) Funzione d’onda che descrive la particella, il cui modulo quadro fornisce la probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio-tempo Campo (fermionico, bosonico, e.m.) è un operatore che agisce tramite operatori che creano e annichilano particelle Particella = modo di realizzazione, quanto del campo Numero di particelle = fissato Numero di particelle = variabile

Campo bosonico Le equazioni che abbiamo studiato, di Klein-Gordon e Dirac, saranno interpretate come equazioni non di una particella ma di un campo bosonico o fermionico. Prendiamo l’equazione del campo di Klein-Gordon (valida per un campo bosonico): ) Φ m ( 2 = + Una generica soluzione dell’equazione può essere sviluppata in serie di Fourier su una base di onde piane (N.B.  è un operatore) : † Si può dimostrare che le regole di commutazione (1) dei campi viste prima si traducono per gli operatori a e a†,che agiscono nello spazio degli impulsi, nelle regole seguenti (non lo dimostriamo): † † † a†(k) è l’operatore di creazione (Ricordate l’oscillatore armonico quantistico)

In meccanica quantistica relativistica, il campo non è più come il campo classico, cioè uno strumento per descrivere l’interazione tra due particelle (pensate ad es. al campo elettrico, che viene creato da una carica elettrica e permea tutto lo spazio dando cosi origine alla forza elettrica repulsiva o attrattiva con un’altra carica). Il campo in meccanica quantistica relativistica è un operatore che agisce sul sistema creando o annichilando particelle fermioniche o bosoniche (a seconda del campo descritto). Questo formalismo permette non solo di descrivere la comparsa e la scomparsa di particelle (come succede in una diffusione o in un decadimento), ma anche di trattare sistemi a molte particelle, scomponendoli in stati di particella singola con un certo numero di occupazione.

Lo stato di vuoto è definito come quello stato con 0 particelle in ogni livello k e cioè: | 0 > = | 0, 0, 0 , 0, ... > Lo stato a una particella nel livello k-esimo è ottenuto applicando allo stato di vuoto l’operatore di creazione a† (k) che crea una particella nel livello k-esimo: | 0, 0, 1 , 0, ... > = a† (k) | 0, 0, 0 , 0, ... >  k-esimo livello Lo stato a due o più particelle nel livello k-esimo è ottenuto applicando più volte allo stato di vuoto l’operatore di creazione a† (k): | 0, 0, 3 , 0, ... >  a†(k) a† (k) a† (k) | 0, 0, 0 , 0, ... > = = (a†(k))3 | 0, 0, 0 , 0, ... >

In generale lo stato | n1, n2,. , nk, In generale lo stato | n1, n2, ... , nk, ... > contiene n1 particelle nel livello 1, n2 nel livello 2 etc. per un totale di N =  ni particelle ed è ottenuto nel modo seguente: | n1, n2, ... , nk, ... > = (a†(1)) n1 (a†(2)) n2 ... (a†(nk)) nk | 0, 0, 0 , 0, ... > Analogamente l’operatore a(k) distrugge una particella nel livello k-esimo: | n1, n2-1, ... , nk, ... > = a(2) | n1, n2, ... , nk, ... >

Campo fermionico Considerazioni analoghe a quelle fatte per il campo bosonico scalare dell’equazione di Klein-Gordon possono essere fatte per il campo fermionico dell’equazione di Dirac. Nel caso fermionico, nel quale abbiamo due stati di particella a energia positiva e due di particella a energia negativa (o di antiparticella a energia positiva), i campi dovranno contenere due tipi di operatori differenti: † † dove: †

Riassumendo: † †

Le regole di anticommutazione tra gli operatori di creazione e distruzione sono le seguenti: † Due fermioni NON possono trovarsi esattamente nello stesso stato. Il numero di occupazione del livello dello stato k-esimo potrà essere o 0 o 1: nk = 0, 1, mentre il numero di occupazione per il campo bosonico poteva essere qualunque: nk = 0, 1, 2, ...

Campo elettromagnetico Infine per il campo e.m. la scomposizione del campo A ci fornisce: Le regole di anticommutazione tra gli operatori di creazione e distruzione sono le seguenti:

Formulazione lagrangiana Abbiamo detto che imponendo alla densità lagrangiana di un campo: il principio di minima azione: si perviene alle equazioni di Eulero-Lagrange, che altro non sono che le equazioni del campo stesso:

  LAGRANGIANA DEL CAMPO DI KLEIN-GORDON Possiamo dimostrare che la lagrangiana del campo bosonico di K-G può essere cosi espressa: Del fatto che la (1) sia la lagrangiana del campo di K.-G. diamo una dimostrazione a posteriori, mostrando che le equazioni di Eulero-Lagrange sono proprio l'equazione di K.-G. per particella libera: Applichiamo ad essa le eq. di Eulero-Lagrange:   L’equazione di Eulero-Lagrange del campo di K.-G. diventa allora: EQ. DI KLEIN-GORDON

 LAGRANGIANA DEL CAMPO E.M. NEL VUOTO La lagrangiana del campo e.m. nel vuoto può essere cosi espressa: Applichiamo infatti ad essa le eq. di Eulero-Lagrange:  L’equazione di Eulero-Lagrange del campo e.m. libero diventa allora: EQ. DI MAXWELL NEL VUOTO

EQ. DI MAXWELL IN PRESENZA DI SORGENTI LAGRANGIANA DEL CAMPO E.M. IN PRESENZA DI SORGENTI La lagrangiana del campo e.m. in presenza di sorgenti, descritte dalla quadricorrente j può essere cosi espressa: e le equazioni di Eulero-Lagrange diventano: EQ. DI MAXWELL IN PRESENZA DI SORGENTI

EQ. DI DIRAC PER PARTICELLA LIBERA LAGRANGIANA DEL CAMPO DI DIRAC LIBERO La lagrangiana del campo di Dirac può essere cosi espressa: Del fatto che la (1) sia la lagrangiana del campo di Dirac si può dare una dimostrazione a posteriori, mostrando che le equazioni di Eulero-Lagrange che si ottengono a partire dalla lagrangiana (1) sono proprio l'equazione di Dirac per il campo y di particella libera (noi non lo dimostriamo) e per il campo y: EQ. DI DIRAC PER PARTICELLA LIBERA

EQ. DI DIRAC IN INTERAZIONE CON UN CAMPO E.M. LAGRANGIANA DEL CAMPO DI DIRAC IN INTERAZIONE COL CAMPO E.M. La lagrangiana del campo di Dirac in interazione con il campo e.m. può essere cosi espressa: Applichiamo infatti ad essa le eq. di Eulero-Lagrange si può dimostrare (non lo facciamo) che si ottiene l' equazione: EQ. DI DIRAC IN INTERAZIONE CON UN CAMPO E.M.

LAGRANGIANA DI Q.E.D. Per ottenere la lagrangiana completa della quanto-elettrodinamica (QED) dobbiamo aggiungervi la lagrangiana del campo e.m.: Nel termine è contenuta l’interazione tra la quadricorrente del campo fermionico: e il campo e.m. Am. Il vertice dell'interazione tra fermioni e fotoni sarà quindi dato dall'interazione di due campi fermionici e un campo e.m. cioè da due fermioni (o un fermione e un anti-fermione) e un fotone.  e- e+ vertice

Lagrangiane dei campi fondamentali Matrice S (cenni) Diagrammi di Feynman (cenni)

Matrice S (cenni) Prendiamo l’interazione seguente: 1 + 2  3 + 4 in cui le particelle 1 e 2 spariscono creando le particelle 3 e 4. La matrice S descrive la probabilità che tale interazione avvenga, connettendo lo stato iniziale di due particelle libere 1 e 2 allo stato finale di due particelle libere 3 e 4: < F | S | I > = < (t=) | S |  (t=-) >= < 1 2 | S | 3 4 > Il diagramma di Feynman è un modo grafico di rappresentare un determinato processo e presenta al tempo stesso diversi vantaggi: 1) la visualizzazione grafica dell’interazione; 2) l’associazione rigorosa ad ogni elemento del grafico di una quantità matematica che consente di calcolare direttamente l’ampiezza di probabilità (gambe esterne = particelle iniziali e finali; vertici = costanti di accoppiamento; gambe interne = propagatori = particelle scambiate nell’interazione)

Regole per costruire un grafico di Feynman ELEMENTI FONDAMENTALI Spazio-tempo: ogni punto del foglio rappresenta un “evento”, cioè un puntodello spazio-tempo (tempo in ascissa e spazio in ordinata) tempo spazio xP tP P=(xP, tP)  Linee: uniscono tra loro punti dello spazio-tempo, rappresentano particelle reali o virtuali, possono essere bosoni o fermioni, esterne o interne Vertici: sono i punti dello spazio-tempo in cui avviene l’interazione; in essi deve esserci conservazione di energia, impulso e carica elettrica e numero fermionico N.B. Poichè l'interazione minimale campo fermionico - campo e.m. è descritta dal termine visto prima , ciò significa che in un vertice potranno interagire due campi fermionici e un campo e.m. cioè due fermioni (o fermione-antifermione) e un fotone rispettando le suddette leggi di conservazione.

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Linee esterne: rappresentano le particelle reali entranti e uscenti nella reazione, cioè le particelle rivelabili; se sono entranti, si propagano libere fino a un punto in cui avviene l’interazione (vertice); se sono uscenti, si propagano a partire dal vertice in cui sono prodotte. e-  e-  e+ vertice e+ Alla linea esterna è associato un operatore di creazione o distruzione di una particella (fermionica o bosonica) con un certo quadrimpulso.

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Linee interne: rappresentano le particelle virtuali (cioè non rivelabili) che mediano l’interazione; uniscono il vertice nel quale interagiscono le particelle iniziali e il vertice nel quale vengono prodotte le particelle finali.  e- e- e+ e+ Alla linea interna è associato un’espressione matematica detta propagatore, che è caratteristica del tipo di particella scambiata (propagatore fermionico o bosonico).

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Elettrone e positrone: sono rappresentati da linee orientate che rappresentano il verso di propagazione nel tempo. Se la freccia è orientata come la freccia del tempo, allora la linea rappresenta un elettrone, altrimenti rappresenta un positrone. Una freccia elettronica non può mai scomparire in un vertice: sarebbe come se scomparisse un’ unità di numero fermionico (ricorda che un elettrone non può scomparire). Pertanto in qualunque vertice deve esserci una continuità della freccia della linea fermionica. e- e+

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Fotone: il fotone è rappresentato con una linea ondulata. Può essere una particella reale iniziale o finale oppure una particella virtuale mediatrice delle forze e.m. Nel grafico vediamo un fotone che parte dal punto x1 al tempo t1 e arriva nel punto x2 al tempo t2, cioè si propaga nello spazio- tempo dal punto (x1, t1) al punto (x2, t2). 

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Bosoni W± e Z0 : sono i mediatori delle interazioni deboli. Anch’essi, come il fotone sono rappresentati da linee ondulate. Attenzione: mentre lo Z0 si comporta esattamente come un fotone pesante, cioè lascia inalterata la carica elettrica della particella che lo emette, al contrario il W+ o il W- si portano via un’unità di carica elettrica (positiva o negativa). nm (ne) nm (ne) e- e- ne e- Z0 Z0 W+

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Prendiamo ad esempio un elettrone che emette un fotone per interagire con un’altra particella. Esso rimarrà sempre un elettrone. Pertanto nello spazio-tempo avremo una freccia che si propaga da sinistra verso destra. e e’  t Prendiamo invece un’ annichilazione e+ e- dalla quale viene prodotto un fotone. In tal caso avremo una freccia diretta verso i tempi crescenti (e-) e una diretta verso i tempi decrescenti (e+), in modo che nel vertice di emissione del fotone vi sarà continuità della freccia fermionica. e-  e+

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Prendiamo invece un’interazione tra un fotone e un elettrone, come avviene ad esempio nella diffusione Compton nella quale un fotone incide su un elettrone e ne viene assorbito. Anche in tal caso abbiamo continuità della linea fermionica nel vertice di interazione. e- e- 

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Vertice: il vertice rappresenta il punto dello spazio-tempo nel quale ha luogo l’interazione. In esso convergono tre linee, di cui due rappresentano particelle reali e la terza rappresenta la particella virtuale che serve a mediare l’interazione. Al vertice è associata una costante di accoppiamento che quantifica l’intensità dell’interazione. Ad esempio, nel caso dell’interazione e.m. questa costante è  = 1/137, la costante di struttura fine. e e’  

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Con alcune semplici regolette è pertanto possibile calcolare l’ampiezza di probabilità di un processo, tracciando i diagrammi di Feynman attraverso cui si può realizzare tale processo e associando ai vari elementi del diagramma la loro espressione matematica. Vediamo qualche esempio di reazione.

Grafici di Feynman DIFFUSIONE COMPTON  e   e Un elettrone reale emette un fotone reale in P, trasformandosi in elettrone virtuale e quindi ridiventa reale assorbendo un fotone reale in Q. Questo se:  e- Q(x2,t2) t P(x1,t1) t2 > t1 e- ’ Altrimenti, un fotone reale emette un elettrone reale e un antielettrone virtuale in Q, e quest’ ultimo interagisce con un elettrone reale in P emettendo un fotone reale. Questo se: t1 > t2  e- Q(x2,t2) t P(x1,t1) e- ’

Grafici di Feynman (continua) DIFFUSIONE COMPTON (continua)  e   e In realtà la sezione d’urto della diffusione Compton sarà ottenuta integrando su tutto lo spazio-tempo, cioè eseguendo la trasformata di Fourier nello spazio degli impulsi e questo ci permetterà di usare il Formalismo degli operatori di creazione e distruzione.  e’  ’ k k+p p’ k k’ p’ p- k’ p e’ e k’ p  e-

Grafici di Feynman (continua) DIFFUSIONE MØLLER ELETTRONE-ELETTRONE e- e- e- e- o e+ e+ e+ e+ e- e- Un elettrone reale di impulso p emette un fotone virtuale, trasformandosi in un elettrone reale di impulso p’. Il fotone virtuale viene assorbito da un elettrone reale di impulso k che acquista l’impulso k’. p p’  k- k’ k’ k e- e- ANNICHILAZIONE e+ e- e+ e- e- e- p  p’ Un elettrone e un positrone reali si annichilano producendo un fotone virtuale, che si rimaterializza in un elettrone e in un positrone reali. k’ k e+ e+

Ricordiamo che avevamo così sviluppato i campi  e : † † † Pertanto il termine di interazione può essere così riscritto:

Ciascuno dei quattro termini della somma corrisponde ad una precisa situazione fisica:

i quattro grafici di prima diventeranno: In particolare avendo definito di indicare nello spazio degli impulsi l'emissione di un positrone a energia positiva come l'assorbimento di un elettrone a energia negativa, cioè: e- e+ =   e+ = e-   i quattro grafici di prima diventeranno:

SCATTERING MOLLER e- e- (o e+ e+ ) I processi del primo ordine (così detti perchè vi è solo un vertice di interazione) esaminati prima non possono mai verificarsi se le tre particelle coinvolte sono tutte e tre reali, in quanto non sono soddisfatte le leggi di conservazione di energia e impulso. Essi possono verificarsi solo se si combinano tra di loro o se il fotone emesso è virtuale in quanto viene poi riassorbito da un campo esterno (come ad esempio un nucleo). Un processo del secondo ordine (cioè con due vertici di interazione) è lo "scattering" (diffusione) Møller e-e- e-e- (si può avere anche lo scattering Møller e+e+ e+e+). Per l'indistinguibilità dei due fermioni, se pi e pi' sono i quadri-impulsi delle particelle nello stato iniziale e pf e pf' quelli dello stato finale, i due diagrammi che contribuiscono alla sezione d'urto di tale scattering sono i seguenti:

Limitiamoci al primo dei due diagrammi Limitiamoci al primo dei due diagrammi. Lo stato iniziale e lo stato finale sono composti da due fermioni, pertanto essi potranno essere espressi come: | I > = b† (pi) b† (pi') | 0 > | F > = b† (pf) b† (pf') | 0 > I vertici di interazione saranno due, uno localizzato nel punto x1 dello spazio tempo e l'altro nel punto x2, e l'interazione è descritta dai seguenti due termini della lagrangiana: N.B. In un prodotto di operatori si intende che tutti gli operatori di distruzione devono essere applicati a destra e quelli di costruzione devono essere applicati a sinistra. Il prodotto di operatori ordinati nel modo suddetto è detto "prodotto normale" ed è indicato così:

L'elemento di matrice sarà dato da: Nel prodotto di più campi fermionici, quando dobbiamo invertire due campi tra loro, poichè essi anticommutano, dobbiamo introdurre un segno negativo. Ade esempio nel prodotto di quattro campi fermionici (che è il nostro caso): L'elemento di matrice sarà dato da: †

Pertanto l'elemento di matrice si ridurrà a: Le relazioni di anticommutazione degli operatori b e d permettono di eliminare tutti i termini degli integrali che non abbiano p1= pf' , p2= pi' , p3= pf, p4= pi perchè deve essere: † N.B. Il simbolo Am An sta ad indicare il propagatore del fotone, un oggetto matematico che descrive la propagazione di un fotone virtuale da un vertice all' altro. Esso è dato da (non lo dimostriamo): x1 x2 Pertanto l'elemento di matrice si ridurrà a:

Conservazione quadrimpulso totale Propagatore del fotone Questa espressione deve essere integrata su tutto lo spazio-tempo: Quadricorrente e.m. Quadricorrente e.m. Conservazione quadrimpulso totale Propagatore del fotone

In sintesi, nel grafico abbiamo sostituito al vertice superiore la quantità: al vertice inferiore la quantità: al propagatore del fotone la quantità: e abbiamo associato a ciascun vertice la costante di accoppiamento e.