Controllare le proiezioni Corso Di Programmazione Grafica Controllare le proiezioni Daniele Marini

2 tipi principali Proiezioni parallele: Proiezioni prospettiche Centro di proiezione all’infinito Proiettori ortogonali oppure Proiettori obliqui Proiezioni multiple (più viste) Proiezioni a una sola vista Assonometrie Cavaliera o Cabinet Proiezioni prospettiche Centro di proiezionie a distanza finita Un solo punto di fuga: prospettiva centrale 2 o 3 punti di fuga: prospettiva accidentale

Frames Il frame è un contesto di: Consideriamo questi due frame: sistema di riferimento e trasformazioni geometriche associate Consideriamo questi due frame: World frame, nel quale si descrivono e rappresentano gli oggetti modellati Camera frame, nel quale si definisce il sistema di riferimento necessario alla creazione della proiezione

Sistemi di riferimento World frame Camera frame

Camera frame Quasi tutti gli ambienti e le librerie adottano la metafora della macchina fotografica: la formazione dell’immagine piana a partire dal modello 3D avviene con un principio di proiezione simile a quello della fotografia L’obiettivo non è modellato (foro stenopeico) Il sistema di riferimento del camera frame si assume fisso: Origine in basso a sinistra del fotogramma X crescente a destra Y crescente in verticale Z entrante o uscente dalla macchina fotografica

Prospettiva canonica Camera frame orientato come il world frame Asse ottico coincidente con asse z, entrante nell’obiettivo Piano di proiezione coincidente con il piano x,y Per portare una scena nella configurazione canonica è necessaria una catena di trasformazioni da applicare conoscendo i parametri principali

Proiezione generica - I parametri di controllo PRP Projection Reference Point o COP Center of Projection View Plane VPN View Plane Normal VUP View UP DOP Direction of Projection (per le proiezioni parallele) VRP View Reference Point CW center of the window

Orientare il piano di proiezione

Definire la viewport e la window

Definire il centro di proiezione (COP)

Se la proiezione è parallela

Proiezioni parallele Si azzera la componente z Tutta la difficoltà della proiezione parallela consiste nell’orientare correttamente il modello rispetto al piano di proiezione

Trasformazioni normalizzate Dati VPN, VUP si ottiene la view orientation matrix V La forma della V è: V=TR T è la traslazione nel VRP, R è una rotazione opportuna per orientare la view rispetto alla configurazione canonica Con queste trasformazioni ci si porta nella configurazione canonica

Costruzione della matrice di orientamento di vista V Definiamo posizione e orientamento della proiezione nel riferimento world Supponiamo di avere (in 4d): VRP(x,y,z,1) VPN (nx,ny,nz,1) VUP (vup_x, vup_y, vup_z,0) punto all’infinito

Costruzione della matrice V Poniamo l’origine in VRP, VPN sarà la direzione dell’asse z, da VUP ricaviamo la direzione y, la direzione x si ricava per prodotto vettore tra z e y Traslazione in VRP con T(-x,-y-z,1) Per la rotazione R: per trovare la direzione y il vettore relativo v deve essere ortogonale a n: n.v=0

Costruzione della matrice V v è la proiezione di vup sul piano identificato da n, quindi è combinazione lienare di n e vup: v=an+bvup Ponendo b=1 (vettori normalizzati) si ricava a=-(vup.n/n.n) da cui: v=vup- (vup.n/n.n) Il terzo asse z si ottiene per prodotto: u=vxn

Costruzione della matrice V Normalizzando tutti i vettori u’,v’,n’, la matrice di rotazione seguente Orienta un vettore in u’,v’,n’ rispetto al riferimento originale, quindi trasponiamo per compiere la rotazione desiderata

Costruzione della matrice V Finalmente la matrice V si ottiene moltiplicando la R per la traslazione T

Matrice canonica di proiezione parallela ortogonale

Funzioni di OpenGL - proiezione parallela ortogonale glOrtho(xmin, xmax, ymin, ymax, near, far); Definisce un view volume, rispetto al quale si fa il clipping, near e far possono essere anche negativi: non c’e’ divisione per 0

Parallela ortogonale -2 La configurazione prevede di essere in condizioni canoniche per l’orientamento, inoltre: Traslare l’origine del view volume nell’origine del view volume canonico Riscalare il view volume per normalizzarlo in -1,1 zmax = far zmin = near completata la trasformazione si può chiamare la glOrtho Le coordinate trasformate sono nel riferimento NDC normalized devices coordinates

Parallela ortogonale - 3 glOrtho(xmin, xmax, ymin, ymax, near, far); traslazione al centro del view volume scalatura

Proiezioni parallele oblique ,  Angoli del fascio di proiettori con la normale al piano di proiezione y DOP normale x z

Proiezioni parallele oblique - 2 orientare la direzione di proiezione in modo che sia parallela a z, con trasformazione di shear controllata dagli angoli ,  rinormalizzare il view volume con scala e traslazione (come sopra) proiettare con la matrice ortografica

Trasformazione di shear e proiezione parallela obliqua

Proiezione parallela generica Deformare il volume con shear per condursi a ortogonale Ricondursi alla configurazione canonica; normalizzazione Convertire il volume di vista in una configurazione standard: costruzione della matrice di proiezione: opera in “window coordinates” (comprendono z) Proiettare il volume deformato Il volume canonico per la proiezione parallela è normalizzato in -1,+1

Proiezione prospettica centrale - Calcolo analitico y P(x,y,z) P(xv,yv) Centro di proiezione z x Piano di proiezione

... in sezione ... P(x,y,z) yv Centro di proiezione Piano di proiezione y/yv = z/d yv = y/(z/d) x/xv = z/d xv = x/(z/d)

Matrice canonica di trasformazione prospettica

Dalle coordinate omogenee allo spazio 3D

Prospettiva: Angolo di visione e frustum

Prospettiva: Funzioni di OpenGL glFrustum(xmin, xmax, ymin, ymax, near, far); gluPerspective(fovy, aspect, near, far); Aspect = larghezza/altezza della window Fovy:angolo di apertura verticale

Prospettiva generica Metodo della projection normalization Creare la matrice di normalizzazione Deformare lo spazio Proiettare in modo ortografico

Prospettiva generica (cont) Si suppone di proiettare in modo canonico con la distanza del centro di proiezione d=-1 lungo l’asse z Se non siamo in queste condizioni si rototrasla il sistema e si applica una trasformazione di shear la matrice Mpersp canonica è:

Prospettiva generica (cont) Siano l,r,t,b,n,f i 6 parametri che definiscono il frustum di visione OGL per operare la proiezione costruisce la matrice: In questo schema 0<n<f, quindi il frustum di visione viene traslato nelle z positive

Altri schemi Lo schema illustrato è tipico delle librerie PHIGS, GKS 3D OpenGl offre anche un altro approccio: lookAt Nei simulatori di volo si adotta lo schema “roll, pitch, yaw” - “rollio, beccheggio, imbardata”

LookAt E’ un metodo più diretto e più naturale: la camera è localizzata in un punto e (eypoint - o punto di vista) specificato nel world frame La camera è orientata nella direzione individuata dal vettore congiungente e con il punto a (at point - punto osservato) I punti e ed a individuano il VRP e la VPN Gli ultimi tre parametri identificano il VUP gluLookAt(eyex, eyey, eyez, aty, atx, atz, upx, upy, upz);

Trasformazione di vista - LookAt e=(ex,ey,ez) a=(ax,ay,az) up=upx,upy,upz) ftemp=(a-e) f=ftemp/||ftemp||)

Stereo e profondità percepita La stereovisualizzazione rafforza gli indizi di profondità Nella immagini 2D: Prospettiva Dimensioni relative Dettagli Occlusioni Luci e ombre Velocità relativa

Profondità 3D Disparità binoculare Accomodazione Convergenza Questi tre indizi devono essere coerenti tra loro

Stereo coppie Proiettando stereo coppie si produce disparità interoculare Questo indizio è in conflitto con l’accomodamento perché la messa a fuoco avviene su un medesimo piano Il conflitto di accomodamento si è verificato essere tollerabile se la distanza di separazione massima sul piano immagine resta entro un intervallo di 1/30 della distanza dal piano immagine

Visione “al di là dello schermo” Nello schema l’oggetto appare dietro lo schermo; i punti generati dalle due proiezioni sono sul lato relativo all’occhio corrispondente Parallasse positiva; massima parallasse per il punto all’infinito; è pari alla distanza interoculare

Visione “al di qua dello schermo” Parallasse negativa Parallasse pari alla distanza interoculare quando il punto si trova a metà della distanza dal piano di proiezione

Visione “sul piano schermo” Si ha parallasse nulla e il punto viene proiettato senza disparità sul piano immagine

Tecniche di calcolo della stereo proiezione: toe-in scorretta Toe in: due proiezioni prospettiche da due punti separati dalla distanza interoculare (circa 65 mm) Introduce anche una parallasse verticale fastidiosa

Tecniche di calcolo della stereo proiezione: off-axis corretta Due proiezioni con assi tra loro paralleli; richiede un trimming dell’immagine per considerare solo la parte comune

Confronto Il metodo toe-in introduce una parallasse verticale; si implementa facilmente e tutte le librerie grafiche lo supportano Il metodo off-axis non produce parallasse verticale; non tutte le librerie lo supportano. OpenGl sì!

Parametri Il grado di effetto stereo dipende dalla distanza del centro di proiezione dal piano e dalla separazione In generale un buon effetto non faticoso richiede separazione pari a 1/20 della distanza dal piano Inoltre occorre evitare che la parallasse superi la distanza interoculare

Angolo di parallasse q = 2 atan(DX / 2d)

Trimming Per calcolare il trimming nel metodo off-axis d = e.w / [2f0 tan(a/2)]  dove: e distanza interoculare w larghezza immagine fo lunghezza focale (a parallasse 0) a angolo apertura desiderato

Trimming Dopo il trimming l’angolo di apertura effettivo è: a’ = 2 atan([(w+ d) tan(a/2)]/w) Notare che OpenGL usa un angol di apertura verticale non orizzontale, occorre calcolarselo!

Stereo e OpenGL Con OGL per creare una coppia stereo si usano le funzioni glFrustum. Se si usasse gluLookAt si applicherebbe il metodo toe-in Nella cartella doc trovate una presentazione ben fatta sul calcolo dello stereo con codice di esempio OGL: Calculating Stereo Pairs.pdf