ESTENSIONI SEMPLICI e TEOREMA DELL’ELEMENTO PRIMITIVO

Estensioni semplici: proprietà Teorema Dell’ Elemento Primitivo: obiettivo provare che ogni estensione di grado finito è semplice.

Estensioni di campi DEFINIZIONE Un ampliamento o un’ estensione di un campo F è un qualunque campo K che contenga F. Il campo R dei reali è un’estensione di Q. Il campo dei complessi C è un ampliamento di R e Q.

Dato un campo F ed una sua estensione K , vediamo come è possibile costruire degli ampliamenti intermedi tra K ed F. Sia S un sottoinsieme di K. Indicheremo con F(S) l’intersezione di tutti i sottocampi di K contenenti F ed S, ovvero il più piccolo sottocampo contenente F ed S. Si dice che il campo F(S) è stato ottenuto aggiungendo il sottoinsieme S.

Se si dice che è un’estensione semplice del campo . Chi sono esattamente gli elementi di ? PROPOSIZIONE Sia un’estensione di e sia . Allora

DIMOSTRAZIONE Poniamo Pertanto dato che è un campo che contiene ed . Vale anche l’inclusione inversa, , poiché gli elementi di devono stare in qualunque campo contenente ed .

ESEMPI DI ESTENSIONI SEMPLICI 1) Sia e . Risulta

2) Sia ed . Risulta Poiché , le espressioni in si possono ridurre nel seguente modo

sono entrambi elementi di . Quindi gli elementi di Ma e sono entrambi elementi di . Quindi gli elementi di possono scriversi tutti nella forma con

Osserviamo che il diverso comportamento delle due In definitiva Osserviamo che il diverso comportamento delle due estensioni dipende dalla natura dell’elemento che si sta aggiungendo. DEFINIZIONE Sia un campo e un’ estensione di . Un elemento si dice algebrico su se esiste un polinomio non nullo tale che

Un elemento si dice trascendente su se non è algebrico. Se ed gli elementi di algebrici su si chiamano numeri algebrici . Inoltre, possiamo pensare ogni campo come spazio vettoriale su un suo qualsiasi sottocampo .

DEFINIZIONE Dato un campo ed una sua estensione si definisce grado dell’estensione sul campo , e si indica con , la dimensione di come spazio vettoriale su . Un’estensione di un campo si dice finita se il suo grado è finito. Si dice infinita in caso contrario. TEOREMA Dati un’estensione di un campo ed un elemento , è algebrico se e solo se è un’ estensione finita.

Ora, sia . Costruiamo l’estensione e calcoliamo il suo grado su . Aggiungeremo prima , ottenendo l’estensione , e poi aggiungeremo l’elemento a .

è algebrico su , di grado 2, dato che il suo polinomio minimo è . Ora aggiungiamo a . Il polinomio è irriducibile su . Pertanto l’estensione ha grado 2 su . In definitiva

e una base di su è , una base di Dato che una base di su è e una base di su è , una base di su è data da e

TEOREMA algebrici su formano un sottocampo di . DIMOSTRAZIONE Sia un’estensione di . Allora gli elementi di algebrici su formano un sottocampo di . DIMOSTRAZIONE Basta provare che, se e sono algebrici su , lo sono anche Sia di grado e di grado .Allora Consideriamo

Essendo algebrico di grado su , esso sarà Ne segue che Ora, appartengono tutti ad , cioè stanno tutti in , che è un’estensione finita di . Ne segue che sono tutti algebrici su .

L’ insieme di tutti i numeri algebrici su costituisce il campo dei numeri algebrici ed è un’estensione di in cui ogni elemento è algebrico e quindi tuttavia risulta Supponiamo per assurdo che sia . proviamo che esiste un elemento algebrico su e di grado maggiore di . Prendendo è radice del polinomio .

Dunque tale polinomio è il polinomio minimo per , che ha grado n+1. Risulta allora Questo contraddice il fatto che .

Osserviamo che . Notiamo anche che e sono elementi di e quindi Inoltre Ne segue che cioè

Teorema dell’Elemento Primitivo Sia un campo di caratteristica zero oppure finito e sia un’estensione di grado finito di . Allora esiste tale che Un tale elemento prende il nome di elemento primitivo .

DIMOSTRAZIONE Se è un campo finito , è un’estensione di grado finito di . Allora è un campo finito e quindi il gruppo è ciclico. Se è un generatore di tale gruppo, ogni elemento non nullo di è potenza di per cui ed è un’estensione semplice di . Sia, quindi, infinito e supponiamo n=2. E’ sufficiente provare che se allora per un opportuno .

dimensione di su è finita, abbiamo che è un’estensione algebrica di . Siano . Osserviamo che, poiché la dimensione di su è finita, abbiamo che è un’estensione algebrica di . Quindi, in particolare, e sono algebrici su . Siano e i polinomi minimi rispettivamente di e su e sia il campo di spezzamento di su . Allora esistono e tali che

Inoltre, sono a due a due distinte come anche , poiché i polinomi e sono irriducibili su un campo di caratteristica zero. Ora, essendo una radice di coincide con una delle radici , ed essendo una radice di coincide con una delle radici . Senza perdere di generalità, assumiamo e . L’idea è di trovare un elemento tale che

Come scegliamo un elemento arbitrario dell’insieme Questo insieme è non vuoto poiché è infinito, invece l’insieme che si sottrae a è finito. Per come è scelto vale

cioè . Poniamo . Ovviamente così per dimostrare che basta provare l’altra inclusione, cioè (*) Poniamo . Sia il polinomio minimo di su . Vogliamo dimostrare che è lineare.

Infatti, se proviamo ciò e quindi . Vale , pertanto in . Poniamo . Vale quindi in . Pertanto ogni radice di è radice sia di che di . Ora le radici di sono , inoltre

se si ha Ne segue che è l’unica radice comune di ed . Pertanto è l’unica radice di . Segue che è potenza del polinomio . Però e sono a due a due distinte. Ne che segue dunque .

Da ciò segue che anche . Così abbiamo provato che e e quindi che . Da (*), per induzione su n si ottiene che se allora esiste tale che Allora vale la tesi, perchè, essendo finita, esistono tali che .

Abbiamo così provato che ogni estensione finita di un campo di caratteristica zero è semplice. ESEMPIO Sia e siano con

Per c=1 la condizione è soddisfatta per i=1,2 e j=2,3. Applicando il teorema segue che

Donatella Passabì