Stabilità per E.D.O. (I): STABILITÀ LINEARIZZATA 19-Maggio-2006 Marina Mancini

Sistema autonomo Consideriamo un sistema di equazioni ed incognite: . funzioni continue di variabili reali è definita e continua in

Sistema autonomo(2) (1) Se partiamo dalla condizione iniziale: esiste un’ unica soluzione di (1) che verifica . Definizione: Un punto dove tutte le funzioni sono uguali a zero è detto punto fisso del sistema autonomo (1).

Sistema autonomo lineare Un sistema autonomo come (1) è lineare se e solo se tutte le funzioni sono funzioni lineari omogenee di , e: , i=1…n . . (2) Il sistema (2) ha come soluzione .

Norma di una matrice Sia , allora . E soddisfa le seguenti proprietà : , , , e vettore. Inoltre vale: Se sono autovalori di t.c. Sistemi diagonalizzabili

Stabilità alla Lyapunov delle soluzioni DEFINIZIONE: Sia soluzione di (1) che soddisfa: (a) è definita per , e (b) appartiene all’insieme allora è detta stabile se: (c) t. c. ogni soluzione soddisfa (a) e (b) con ,e (d) Fissato t. c. implica

Stabilità asintotica delle soluzioni DEFINIZIONE: La soluzione di (1) è asintoticamente stabile se è stabile e t. c. implica Una soluzione che non è stabile è detta instabile.

Riduzione alle soluzioni nulle Consideriamo il sistema autonomo non lineare: (3) e sia la soluzione di (3) all’istante t, a partire dalla condizione iniziale . Un punto è un punto fisso per (3), , se: In generale sappiamo che i punti fissi di (3) sono tutte le soluzioni reali di: pertanto

Riduzione alle soluzioni nulle(2) Sia punto fisso di (3). Si consideri come nuova variabile: Il sistema dinamico ha punto fisso nell’origine poiché: CONCLUSIONE: Non è insomma restrittivo limitare l’analisi al caso di un sistema autonomo con punto fisso nell’origine. Analogamente è possibile effettuare un cambiamento di coordinate affinchè to=0

Approssimazione lineare Il processo di linearizzazione ci consente di determinare l’equivalente lineare di un sistema non lineare nell’intorno di un punto fisso. Consideriamo il sistema non lineare: con punto fisso . Il punto fisso può essere preso come punto iniziale per un’espansione in serie della funzione . Arrestando tale espansione al primo ordine si ottiene:

Approssimazione lineare(2) Dove: è l’incremento rispetto al punto fisso indica tutti i termini di ordine superiore al primo è nullo per definizione di punto fisso. è un termine lineare descrivibile, quindi, in modo matriciale: Il comportamento del sistema non lineare, in un intorno del punto fisso, può quindi essere descritto, in modo approssimato, dal sistema lineare:

Lemma di Gronwall Se e sono funzioni scalari non negative continue per è una costante non negativa e allora

Lemma di Gronwall(2) Dimostrazione Se allora la disuguaglianza data implica che: Integrando ambo i membri da a si ha:

Lemma di Gronwall(3) Ciò implica che Se il risultato vale e implica che è identicamente nulla e la disuguaglianza è banalmente soddisfatta.

Un risultato per i sistemi non lineari Consideriamo il sistema non lineare nella forma: (4) termine lineare termini di ordine superiore al I Con e soddisfa: è continua per e cioè con La condizione i. assicura la locale esistenza delle soluzioni, ii. implica quindi è soluzione di (4).

Teorema (Stabilità Linearizzata) Se è una matrice costante con polinomio caratteristico stabile e soddisfa le condizioni i. e ii. , allora la soluzione del sistema è asintoticamente stabile.

Dimostrazione Riscriviamo la definizione di stabilità per : sia soluzione di (1) che soddisfa: (a) è definita per , e (b) appartiene all’insieme allora è detta stabile se: (c) t. c. ogni soluzione soddisfa (a) e (b) con , e (d) Fissato t. c. implica

Dimostrazione(2) Innanzitutto dimostriamo che la soluzione è definita per quando è vicino a zero. Se è la matrice fondamentale del sistema t.c. , allora per ipotesi esistono due costanti positive e t.c. per . Poiché è una matrice costante, la soluzione deve soddisfare la relazione che implica La prima relazione, e quindi la seconda, è certamente valida per in ogni intervallo per cui se prendiamo

Dimostrazione(3) Dalla condizione ii. segue che t.c. implica . Se prendiamo allora, per la continuità di , esiste t.c. per . Pertanto per . Per il Lemma di Gronwall si ha: Ma e sono arbitrari, quindi scegliamo t.c. e t.c. implica per .

Dimostrazione(4) Poiché è definita per , possiamo prolungare la soluzione , che esiste localmente in ogni punto , intervallo dopo intervallo, preservando la condizione . Pertanto, ogni soluzione con , è definita per e soddisfa . Ma può essere piccolo a nostra scelta, ciò implica che è stabile, e implica che è asintoticamente stabile. CONCLUSIONE: La stabilità asintotica delle traiettorie dei sistemi lineari è preservata.

Osservazione Osserviamo che questo risultato vale anche nel caso dei sistemi non autonomi non lineari che assumono la seguente forma: soddisfa: è continua per , e uniformemente rispetto a .

Esempio Consideriamo il sistema: Dove ad-bc≠0, sono continue e con Per il teorema precedente si ha:

Esempio(2) Se le radici del polinomio caratteristico di hanno parte reale negativa, allora (0,0) è un punto fisso asintoticamente stabile del sistema non lineare .