Probabilità e tassi Giambattista Salinari Dipartimento di Statistica di Firenze

Eventi Tutte le informazioni Prob. Eventi NON- rinnovabili Prob. Eventi rinnovabili Alcune informazioni mancanti Tassi eventi NON- rinnovabili (I categoria) Tassi eventi Rinnovabili (II categoria)

Probabilità Quando tutti gli aspetti del fenomeno ci sono noti...

s c s c Gx = Generazione femminile al tempo x Traiettorie incomplete nell’intervallo [x, x+3]. Traiettorie complete nell’intervallo [x, x+3]; Struttura della popolazione Stato civile: sposato/nubile Vogliamo definire la probabilità di primo matrimonio nell’intervallo temporale [x, x+1] Celibe Sposato p_x

s c s c Primo tentativo (molto sbagliato) Probabilità del sottoinsieme di individui sposati all’età x+1 Probabilità della Generazione all’età x se Probabilità di Sx+1 condizionata a Gx. Probabilità di appartenere a Sx+1 se si appartiene a Gx Errori: 1)Non si tiene conto che alcuni individui escono nell’intervallo [x, x+1] 2)Non si tiene conto del fatto che alcuni individui erano già sposati all’età x

s c s c Secondo tentativo (sbagliato) Probabilità di essere sposato all’età x+1 se si sopravvive all’intervallo [x, x+1] Errore: 1)Non si tiene conto del fatto che alcuni individui erano già sposati all’età x

s c s c Terzo tentativo (giusto) Equivalente a La nuzialità nell’intervallo [x, x+1] è stata così depurata dai fenomeni perturbatori dovuti alla mortalità e alla nuzialità pregressa. Probabilità di essere sposato all’età x+1, se si è celibi all’età x e si sopravvive nell’intervallo [x, x+1]

Un piccolo aggiustamento Poiché Gx+1 è un sottoinsieme di Gx allora: Ma allora la formula: Può essere riscritta :

Consideriamo il caso di un evento rinnovabile Numero di figli avuti nell’intervallo [x, x+1] In questo caso NON si deve depurare il fenomeno dalla fecondità pregressa, perché la fecondità pregressa non impedisce la fecondità attuale. Dunque:

Molto spesso mancano le informazioni... Nel caso di eventi NON- rinnovabili... s c s c Conosciamo: Ignoriamo: Non possiamo calcolare:

Molto spesso mancano le informazioni... Nel caso di eventi rinnovabili Conosciamo: Ignoriamo: Non possiamo calcolare: Numero di bambini avuti fra x e x+1

Tassi Quando alcuni aspetti del processo sono ignoti...

Consideriamo il caso di un evento rinnovabile Numero di figli avuti nell’intervallo [x, x+1] Da un punto di vista ideale.. = Stima sotto ipotesi di omogeneità:

Molto spesso però mancano le informazioni... Nel caso di eventi rinnovabili Conosciamo: Ignoriamo: Non possiamo stimare: Numero di bambini avuti fra x e x+1

Se Nessun indivduo esce d’osservazione 1 0 Dunque ancora per l’ipotesi di omogeneità: Numero di bambini nati fra x e x+1 Allora..

Se Alcuni individui escono d’osservazione Numero di bambini nati fra x e x+1 Allora.. Dunque: Dobbiamo introdurre delle nuove ipotesi!

Nacite da soprav. X+1 = Prob. di avere un figlio in [x, x+1] Numero soprav. X+1 per Assunzione di omogeneità 1 Nascite in [x,x+1] Nascite da soprav. x+1 Nscite da NON soprav. x+1 Una certa frazione = + di Per definizione Nascite da NON soprav. x+1 = Prob. di avere un figlio Prima di uscire dalla pop. Dalle NON soprav. x+1 Assunzione di omogeneità 2

Per  =2  equidistribuzione (Nell’insieme delle donne che escono (Ux) metà degli eventi nascita si producono prima dell’uscita) Sotto l’ipotesi di equidistribuzione un tasso specifico di fecondità è dato dal numero di eventi in rapporto alla popolazione media.

Nuzialità( classe degli eventi NON rinnovabili) s c s c Se si conosce solo la distrib. della pop. per età, sesso e stato civile : Probabilità teorica Se si conosce anche la distribuzione delle uscite e degli ingressi per età, sesso e stato civile:

Mortalità Probabilità teorica Probabilità empirica Se i decessi non sono classificti per luogo d’origine

Prob. teoriche Prob. empiriche (ipotesi di omogeneità; tutte le inform. Disp.

Tassi (ipotesi di omogeneità + ipoesi sulla distribuzione degli eventi perturbatori nel corso di [x, x+1] Non si conosce l’anno di nascita del deceduto Non si conosce il numero di nascite da donne sopravv. Non si conosce il numero di matrimoni di donne sopravv.

Classificazione dei tassi Tasso di fecondità (II categoria) Tasso di nuzialità di I categoria Tasso di nuzialità di II categoria I tassi di seconda categoria si possono sommare I tassi di prima categoria non si possono sommare