Gioco-evento a cura di Andrea Capotorti AUTOMOBILI O CAPRE? Un apparente paradosso del Calcolo delle Probabilità Gioco-evento a cura di Andrea Capotorti

Gioco-evento a cura di Andrea Capotorti AUTOMOBILI O CAPRE? Un apparente paradosso del Calcolo delle Probabilità Gioco-evento a cura di Andrea Capotorti

Di cosa si tratta ? Siamo in un gioco a premi (che prende spunto da un fortunato show della TV americana chiamato "Monty Hall"), abbiamo davanti a noi tre porte: dietro una di queste c'è una Ferrari, nelle altre due... una capra. Dobbiamo scegliere una porta, e vinceremo quello che troviamo li dietro. Fatta la scelta, Monty Hall ci dice "Ne sei proprio sicuro? Puoi ancora cambiare la scelta: anzi, ti voglio aiutare e riduco le scelte a due. Ecco: dietro questa porta, c'è una capra". Così dicendo, apre una delle porte che noi non abbiamo scelto, mostrando una capra. Ammesso che vogliamo vincere l'auto, ci conviene cambiare porta, o la cosa e' indifferente? illustrazioni tratte da

La risposta "più razionale" risulta spesso quella "meno intuitiva" ed andremo a spiegare il perché ....

Molti sono portati a dire: “dato che una porta e’ stata aperta rimangono due possibilità e quindi … la probabilità diventa ½. Continuare nella scelta iniziale o cambiare e’ indifferente…” Nulla di più sbagliato !!!! Infatti il conduttore non “apre a caso” ma apre una porta sicuramente “perdente”. Questo “dettaglio” e’ fondamentale…

Infatti e’ “certo” che ALMENO una delle due porte che NON abbiamo scelto sia perdente, il fatto che questa ci venga mostrata e’ del tutto ininfluente … Infatti, quando Monty Hall propone di cambiare la scelta ci sta di fatto proponendo di scambiare la porta che avevamo scelto con le DUE non scelte (con dietro ovviamente almeno una capra) … … e’ quindi “strategicamente” conveniente CAMBIARE !!!

Spiegazione “rigorosa”(*) … Il “teorema di Bayes” del calcolo delle probabilità ci fornisce la risposta razionale del perché convenga cambiare … supponiamo infatti di aver scelto la porta no 1 e che Monty Hall ci mostri “una capra dietro quella no 2” (evento che denoteremo con C2), ci si prospettano allora le seguenti situazioni alternative (espresse da eventi): situazione conseguenza F1=“Ferrari dietro porta no 1” vinciamo se non cambiamo idea F3=“Ferrari dietro porta no 3” vinciamo se cambiamo idea (*) per semplicita' tratteremo solo la situazione di scelta casuale della porta da aprire se entrambe fossero perdenti

Teorema di Bayes In generale, se ci sono da vagliare n ipotesi H1, …, Hn “incompatibili ed esaustive” (cioè se ne può realizzare una ed una sola) alla luce di un’evidenza E (risultato di un esperimento, un’informazione aggiuntiva, etc.) il Teorema di Bayes permette di modificare la fiducia su ognuna delle ipotesi determinando la probabilità condizionata: (torna alla pagina precedente)

… la probabilità di vincere (*) se non cambiamo scelta e’ … se invece cambiamo scelta la probabilita’ di vincita(*) e’ (*) per semplicita' tratteremo solo la situazione di scelta casuale della porta da aprire se entrambe fossero perdenti

ATTENZIONE !!! Il fatto che al cambiamento di scelta si associ una probabilità di vincita maggiore non garantisce una vincita sicura nella singola prova, ma ci suggerisce la “strategia” da seguire in modo sistematico (cioè come comportamento da mantenere fisso in un certo numero di prove ripetute) .

Durante l’incontro si riproduce il gioco grazie ad un modellino di sipario realizzato dalla dott.sa Emanuela Ughi (a cui va un caloroso ringraziamento) Se non potete essere presenti potete comunque giocare da casa collegandovi a questo sito …

Un altro link utile … GRAZIE PER L'ATTENZIONE ! Se volete avere maggiori dettagli, sia da un punto di vista teorico che per riferimenti scientifico/storici che per fare delle simulazioni, potete guardare una delle tante pagine web sull’argomento, ad esempio http://digilander.libero.it/basecinque/probabil/montyhall.htm (qui riportato anche in “locale”) GRAZIE PER L'ATTENZIONE !