L’infinito l’infinito in matematica Il numerabile  o Il continuo C

Intorno al Introduzione Fin dai tempi di Zenone i filosofi avevano parlato dell’infinito sia in teologia sia in matematica, ma nessuno prima dei matematici della seconda metà del XIX sec. era stato in grado di dire esattamente di cosa si stesse parlando. Nelle discussioni sull’infinito gli esempi più frequentemente citati erano quelli di una potenza illimitata o di grandezze indefinitamente grandi. Solo raramente l’attenzione era stata rivolta come nel caso di Galileo o di Bolzano sugli infiniti elementi di un insieme come i numeri naturali, i punti di un segmento ecc.. Nel 1872 per primo Dedekind intuì una proprietà universale degli insiemi infiniti:“un insieme è infinito quando è simile a una propria parte, altrimenti è finito” Intorno al 1880 George Cantor fece la prima grande scoperta nell’ambito della teoria degli insiemi infiniti. Per descrivere la sua scoperta dobbiamo prima precisare che cosa intendiamo per insieme infinito. Un insieme infinito è semplicemente un insieme che ha un numero infinito di elementi distinti.

Secondo Cantor quindi anche per gli insiemi infiniti ha senso parlare del numero degli elementi dell'insieme, o meglio è possibile affermare che due insiemi infiniti diversi hanno lo stesso numero di elementi (ovvero la stessa cardinalità) se possiamo associare uno per uno gli elementi dei due insiemi, ossia se possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca fra i due insiemi. Se ciò è possibile diciamo che i due insiemi sono “equipotenti". A tal proposito si può dimostrare che l’insieme dei numeri naturali può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri pari

Da questo esempio si evince una proprietà paradossale degli insiemi infiniti: “un insieme infinito può essere equipotente con uno dei suoi sottoinsiemi” ed ancora “ un insieme è infinito se e solo se è equipotente con un suo sottoinsieme proprio” Cantor di tale risultato era molto soddisfatto ma la sua ricerca non finiva qui…. Sarebbe stato davvero interessante dimostrare invece che non tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità.

E fu proprio questa la prima grande scoperta di Cantor nella teoria degli insiemi: con una dimostrazione basata sul suo famoso metodo diagonale egli riuscì a dimostrare che l'insieme dei numeri naturali non è equipotente con l'insieme dei punti di un segmento.

Confronto tra insiemi infiniti Esistono due tipi di infinità. Il primo tipo, l'infinità dei numeri naturali (e di ogni insieme infinito ad esso equipotente), viene detta “aleph con zero”  o e gli insiemi di cardinalità  o sono detti numerabili. Il secondo tipo di infinità è quello rappresentato da tutti i punti di un segmento e la sua cardinalità è indicata con una C gotica che sta per “continuo”. Ogni segmento, di qualunque lunghezza, ha cardinalità C La stessa cardinaliità ha ogni rettangolo nel piano, ogni cubo nello spazio e in generale ogni spazio illimitato a n dimensioni, comunque grande sia n.

La non numerabilità di R L 'insieme R dei numeri reali non è numerabile. Per dimostrarlo, procediamo per assurdo considerando il sottoinsieme R' di R costituito dai numeri compresi tra 0 e 1, supponendo che esso sia numerabile. Facciamo allora un' enumerazione degli elementi di R ' in questo modo: 1) 0, a11 a12 a13 a14..... 2) 0, a21 a22 a23 a24..... 3) 0, a31 a32 a33 a34...... Ciò posto, consideriamo il numero reale s = 0, b1 b2 b3... la cui rappresentazione decimale è ottenuta così se è aii = 9, allora è bi = o, altrimenti bi = aii + 1.

la cardinalità di R è maggiore della potenza del numerabile. - il numero s così definito differisce sicuramente da 1) perchè se la prima cifra dopo la virgola è 9, allora la prima cifra dopo la virgola di s è 0, altrimenti la prima cifra dopo la virgola di s è eguale a quella di 1) aumentata di un unità; - per lo stesso motivo s differisce da 2) avendo sicuramente diversa la seconda cifra dopo la virgola. - In generale s differisce da i) per la cifra di posto i dopo la virgola. Siamo giunti a un assurdo: data un'enumerazione di elementi di R’ si può costruire un numero s che "sfugge" a tale enumerazione, perchè è diverso da tutti i numeri di R' che sono stati enumerati. Dunque R' non è numerabile e quindi, a maggior ragione, l'insieme R, di cui R' è un sottoinsieme, non è numerabile: la cardinalità di R è maggiore della potenza del numerabile.

Sia A un insieme e consideriamo l’insieme delle parti di A (ossia l’insieme di tutti i sottoinsiemi) che indichiamo con 2A. Cantor dimostrò che qualunque sia A (finito o infinito) non è mai equipotente al suo insieme delle parti, sicchè l’operazione di formare l’insieme di tutti i sottoinsiemi genera una catena infinita di insiemi infiniti crescenti e non equipotenti, In particolare se N è l’insieme dei numeri naturali si dimostra che 2N (insieme di tutti i sottoinsiemi di numeri naturali) è equipotente con il continuo (punti di un segmento) ovvero che 20 = c Ma esiste un insieme infinito la cui cardinalità è compresa tra 0 e c ?

Cantor non riuscì a trovare un insieme con tale caratteristica e suppose che tale insieme non esiste. A questa ipotesi di Cantor fu dato il nome di “ipotesi del continuo”. Furono i logici successivi a Cantor che ripresero il problema fra cui Godel e Cohen, il quale nel 1963 giunse a un risultato definitivo sulla questione posta.