Teoria degli algoritmi e della computabilità Seconda giornata: progettare un algoritmo corretto, efficiente, e possibilmente ottimo! Guido Proietti Email: guido.proietti@univaq.it URL: www.di.univaq.it/~proietti/index_personal

Complessità computazionale (o temporale) di un algoritmo e di un problema Definizione Un algoritmo A ha una complessità computazionale O(f(n)) su istanze di dimensione n se T(n)=O(f(n)) Definizione (upper bound di un problema) Un problema Π ha una complessità computazionale o upper bound O(f(n)) se esiste un algoritmo che risolve Π la cui complessità computazionale è O(f(n))

La classe Time Ora che abbiamo definito i concetti di dimensione dell’istanza, modello di calcolo e notazione asintotica ‘’O’’, possiamo introdurre la classe Time: Data un’istanza di dimensione n, e data una qualunque funzione f(n), chiamiamo Time(f(n)) l’insieme dei problemi che possono essere risolti sulla RAM in tempo O(f(n)).

Esempi Il problema della ricerca, ovvero di verificare se un certo elemento è presente in un dato insieme di dimensione n, appartiene a Time(n): basta scorrere tutti gli elementi e verificarne la presenza Lo stesso problema, nel caso in cui gli elementi fossero ordinati, si può dimostrare che appartiene a Time(log n). Esercizio per casa: Riuscite a progettare un algoritmo con tale complessità temporale? NOTA: Time(1) denota i problemi che possono essere risolti in tempo costante, indipendentemente dalla dimensione dell’istanza (sono quindi problemi banali)

La classe P La classe P è la classe dei problemi decidibili in tempo polinomiale nella dimensione n dell’istanza di ingresso: P = Uc≥0 Time(nc)

La classe ExpTime La classe ExpTime è la classe dei problemi decidibili in tempo esponenziale nella dimensione n dell’istanza di ingresso, ovvero in O(ap(n)), dove a>1 è una costante e p(n) è un polinomio in n; più formalmente, si può scrivere: ExpTime=Uc≥0Time(2(nc)) Chiaramente, P ⊑ ExpTime Si può dimostrare che l’inclusione è propria, cioè esistono problemi in ExpTime che non appartengono a P: uno di questi problemi è quello di verificare se un certo algoritmo si arresta in al più k passi, con k fissato.

Un altro problema in ExpTime: SAT Data un’espressione booleana in forma normale congiuntiva, cioè la congiunzione (operatore logico AND) di un insieme di clausole, in cui ogni clausola è la disgiunzione (operatore logico OR) di un certo insieme di variabili che possono assumere valore TRUE o FALSE, il problema della soddisfacibilità (SAT) richiede di verificare se esiste una assegnazione di valori di verità alle variabili che rende l’espressione TRUE. È facile convincersi che SAT appartiene ad ExpTime, in quanto può essere risolto provando le 2n possibili assegnazioni di verità alle n variabili. Ma la vera domanda è: SAT appartiene a P? Sembra incredibile, ma non siamo in grado di dare una risposta a questa semplice domanda, anche se si congettura che la risposta sia NO.

Non determinismo Negli algoritmi visti finora ogni passo è determinato univocamente dallo stato della computazione; vengono quindi detti deterministici. Tale ipotesi dipende dal modello di calcolo che abbiamo adottato. Supponiamo ora di avere un modello di calcolo (apparentemente) più potente, ovvero una macchina non deterministica che ci consenta, ad ogni passo dell’esecuzione di un algoritmo, di proseguire la computazione lungo un numero finito di esecuzioni multiple. Si noti che stiamo parlando di un modello di calcolo astratto, che non esiste nella realtà! Un algoritmo non deterministico è un algoritmo che ha il potere, ad ogni istante della computazione non deterministica, di indovinare l’esecuzione giusta lungo cui proseguire per arrivare alla risoluzione del problema.

Esempio Come potrebbe funzionare un algoritmo non deterministico per SAT? Indovina ad ogni passo il valore giusto da assegnare ad una variabile (TRUE o FALSE) La computazione sarà descritta da un albero binario, dove le ramificazioni corrispondono alle scelte non deterministiche (la computazione deterministica è invece descritta da una catena) – Quindi se la formula è soddisfacibile, esiste almeno un cammino che porta a una foglia con valore TRUE. Si noti che tale cammino è lungo n

La classe NP Data una qualunque funzione f(n), chiamiamo NTime(f(n)) l’insiemi dei problemi che possono essere decisi da un algoritmo non deterministico in tempo O(f(n)) La classe NP è la classe dei problemi decidibili in tempo polinomiale non deterministico nella dimensione n dell’istanza di ingresso: NP = Uc≥0 NTime(nc) SAT appartiene a NTime(n), e quindi SAT appartiene a NP

Gerarchia delle classi P è incluso in NP oppure no? Ovviamente sì: un algoritmo deterministico è un caso particolare di un algoritmo non deterministico, in cui però le computazioni non si ramificano L’inclusione è propria? Non si sa, e questo è uno dei 6 problemi matematici aperti la cui risoluzione vi farà vincere 1 Milione di Dollari! (si veda Wikipedia)

Gerarchia delle classi (2) NP è incluso in ExpTime oppure no? Ovviamente sì: un algoritmo non deterministico può essere ‘’simulato’’ da un algoritmo deterministico che esplora una dopo l’altra tutte le computazioni ramificate in tempo esponenziale L’inclusione è propria? Non si sa…

Gerarchia delle classi (3) Quindi abbiamo P ⊑ NP ⊑ ExpTime, con P ≠ ExpTime Si congettura che tutte le inclusioni siano proprie In NP c’è una classe molto speciale di problemi che sicuramente non apparterrebbero a P se fosse NP ≠ P: i problemi NP-completi Si può dimostrare che SAT è NP-completo (più precisamente, è stato il primo problema per cui si è provata la NP-completezza [Stephen Cook, 1971])

Gerarchia delle classi Decidibili ExpTime (ARRESTO(k)) P (ricerca) NP NP-completi (SAT) Congettura P ≠ NP

Altri famosi problemi NP-completi Commesso viaggiatore Dati un grafo completo G con pesi w sugli archi ed un intero k, verificare se esiste un ciclo in G di peso al più k che attraversa ogni vertice una ed una sola volta Colorazione Dati un grafo G ed un intero k, verificare se è possibile colorare i vertici di G con al più k colori tali che due vertici adiacenti non siano dello stesso colore

Altri famosi problemi NP-completi (2) Somme di sottoinsiemi Dati un insieme S di numeri naturali ed un intero t, verificare se esiste un sottoinsieme di S i cui elementi sommano esattamente a t Zaino Dati un intero k, uno zaino di capacità c, e n oggetti di dimensioni s1, …., sn cui sono associati profitti p1, …., pn, bisogna verificare se esiste un sottoinsieme degli oggetti di dimensione ≤c che garantisca profitto ≥k

Progettare un algoritmo Vogliamo ora progettare algoritmi (per problemi calcolabili!) che: Producano correttamente il risultato desiderato Siano efficienti in termini di tempo di esecuzione ed occupazione di memoria

Le quattro proprietà fondamentali di un algoritmo (oltre l’efficienza) La sequenza di istruzioni deve essere finita Essa deve portare ad un risultato corretto Le istruzioni devono essere eseguibili materialmente Le istruzioni non devono essere ambigue

Algoritmi e strutture dati Concetto di algoritmo è inscindibile da quello di dato Da un punto di vista computazionale, un algoritmo è una procedura che prende dei dati in input e, dopo averli elaborati, restituisce dei dati in output  I dati devo essere organizzati e strutturati in modo tale che la procedura che li elabora sia “efficiente”

Analisi di algoritmi Correttezza: dimostrare formalmente che un algoritmo è corretto Complessità: Stimare la quantità di risorse (tempo e memoria) necessarie all’algoritmo stimare il più grande input gestibile in tempi ragionevoli confrontare due algoritmi diversi ottimizzare le parti “critiche”

Notazione asintotica W f(n) = W(g(n)) se  due costanti c>0 e n0≥0 tali che f(n) ≥ c g(n) per ogni n ≥ n0 n0 n f(n) = W( g(n) ) f(n) c g(n)

Esempi Sia f(n) = 2n2 - 5n; vogliamo dimostrare che f(n)= W(n2). f(n)/n2 = (2n2 - 5n)/n2 = 2 - 5/n ma 2 - 5/n ≥ 1 per n ≥ 5 quindi basta scegliere c=1 e n0=5 e avremo che 2n2 - 5n ≥ 1n2 per n ≥ n0=5. f(n) = W(n) (c=1, n0=2) f(n) = W(log n) (c=1, n0=2) Invece, f(n)  (n3)

Legame con il concetto di limite

Notazione asintotica Q f(n) = Q(g(n)) se  tre costanti c1,c2>0 e n0≥0 tali che c1 g(n) ≤ f(n) ≤ c2 g(n) per ogni n ≥ n0 n0 n f(n) = Q( g(n) ) f(n) c1 g(n) c2 g(n)

Relazioni tra O, Ω e Θ

Caso migliore di un algoritmo Sia tempo(I) il tempo di esecuzione di un algoritmo sull’istanza I Tbest(n) = min istanze I di dimensione n {tempo(I)} Intuitivamente, Tbest(n) è il tempo di esecuzione sulle istanze di ingresso che comportano meno lavoro per l’algoritmo

Caso medio di un algoritmo Sia P(I) la probabilità di occorrenza del- l’istanza I Tavg(n) = ∑ istanze I di dimensione n {P(I) tempo(I) } Intuitivamente, Tavg(n) è il tempo di esecuzione nel caso medio, ovvero sulle istanze di ingresso “tipiche” per il problema Richiede di conoscere una distribuzione di probabilità sulle istanze

Il problema dell’ordinamento Dato un insieme S di n elementi presi da un dominio totalmente ordinato, ordinare S Esempi: ordinare una lista di nomi alfabeticamente, o un insieme di numeri, o un insieme di compiti d’esame in base al cognome dello studente Subroutine in molti problemi È possibile effettuare ricerche in array ordinati in tempo O(log n) (ricerca binaria)

Il problema dell’ordinamento (non decrescente) Input: una sequenza di n numeri (reali) <a1,a2,…,an> (NOTA: la dimensione dell’input è n) Output: una permutazione {1,2,…,n}  {i1,i2,…,in}, ovvero un riarrangiamento <ai1, ai2,…, ain> della sequenza di input in modo tale che ai1  ai2 … ain

SelectionSort Approccio incrementale: assumendo che i primi k elementi siano ordinati, estende l’ordinamento ai primi k+1 elementi scegliendo il minimo degli n-k elementi non ancora ordinati e mettendolo in posizione k+1

NOTA: Assumiamo che il primo elemento dell’array sia in A[1] SelectionSort (A) for k=1 to n-1 do m = k for j=k+1 to n do if (A[j] < A[m]) then m=j scambia A[m] con A[k] NOTA: Assumiamo che il primo elemento dell’array sia in A[1] linea 2: m mantiene l’indice dell’array in cui si trova il minimo corrente linee 3-4: ricerca del minimo fra gli elementi A[k],…,A[n] (m viene aggiornato con l’indice dell’array in cui si trova il minimo corrente) linea 5: il minimo è spostato in posizione k

Correttezza Si dimostra facendo vedere che alla fine del generico passo k (k=1,…, n-1) si ha: (i) i primi k elementi sono ordinati e (ii) contengono i k elementi più piccoli dell’array Induzione su k: k=1: Alla prima iterazione viene semplicemente selezionato l’elemento minimo dell’array  (i) e (ii) banalmente verificate. k>1. All’inizio del passo k i primi k-1 elementi sono ordinati e sono i k-1 elementi più piccoli nell’array (ipotesi induttiva). Allora la tesi segue dal fatto che l’algoritmo seleziona il minimo dai restanti n-k elementi e lo mette in posizione k. Infatti: (ii) i primi k elementi restano i minimi nell’array (i) l’elemento in posizione k non è mai più piccolo dei primi k-1 elementi

Complessità temporale SelectionSort (A) for k=1 to n-1 do m = k for j=k+1 to n do if (A[j] < A[m]) then m=j scambia A[m] con A[k] 1 assegnamento n-k confronti (operaz. dominante) il tutto eseguito per k=1,…, n-1 1 scambio (3 assegnamenti) n-1 n-1 T(n) =  [1+(n-k)+1]=2(n-1)+ k =2(n-1)+n·(n-1)/2 = (n2) k=1 k=1 Si noti che T(n) è PROPRIO UGUALE ad un polinomio di 2º grado in n, e quindi la notazione Θ è perfettamente ESPRESSIVA del valore di T(n) T(n) = Tbest(n) = Tavg(n) = (n2)

InsertionSort Approccio incrementale: assumendo che i primi k elementi siano ordinati, estende l’ordinamento ai primi k+1 elementi, inserendo l’elemento in posizione k+1-esima nella giusta posizione rispetto ai primi k elementi

Linea 2: elemento x=A[k+1] da inserire nella posizione che gli compete InsertionSort (A) for k=1 to n-1 do x = A[k+1] for j=1 to k+1 do if (A[j] > x) then break if (j < k+1) then for t=k downto j do A[t+1]= A[t] A[j]=x Linea 2: elemento x=A[k+1] da inserire nella posizione che gli compete Linee 3 e 4: individuano la posizione j in cui va messo x Linee 5 e 6: se la posizione j è diversa da k+1, si fa spazio per inserire x, “shiftando” tutti gli elementi da j a k verso destra

Correttezza Si dimostra facendo vedere che alla fine del generico passo k (k=1,…, n-1) i primi k+1 elementi sono ordinati (si noti la differenza con il Selection Sort, in cui invece dovevamo far vedere anche che erano i più piccoli) Induzione su k: k=1: banale: si riordinano A[1] e A[2]; k>1: All’inizio del passo k i primi k elementi sono ordinati (ipotesi induttiva). Allora la tesi segue dal fatto che l’algoritmo inserisce A[k+1] nella giusta posizione rispetto alla sequenza A[1],…,A[k]

Complessità temporale InsertionSort (A) for k=1 to n-1 do x = A[k+1] for j=1 to k+1 do if (A[j] > x) then break if (j < k+1) then for t=k downto j do A[t+1]= A[t] A[j]=x 1 assegnamento il tutto eseguito per k=1,…, n-1 j*≤k+1 confronti k+1 oper. k+1–j* assegnamenti n-1 T(n) = (n)+ (k+1) =  (n2) k=1 T(n) = Tbest(n) = Tavg(n) = (n2) Possiamo fare meglio?

Una variante dell’IS più efficiente InsertionSort2 (A) for k=1 to n-1 do x = A[k+1] j = k while j > 0 e A[j] > x do A[j+1] = A[j] j= j-1 A[j+1]=x il tutto eseguito per k=1,…, n-1 tk ≤ 2k assegnam. n-1 n-1 T(n)=(n)+ tk ≤ (n)+ 2k = (n)+n·(n-1) = (n2)  T(n) = O(n2) k=1 k=1 Si noti che T(n) è AL PIÙ UGUALE ad un polinomio di 2º grado in n, e quindi la notazione O è perfettamente ESPRESSIVA del valore di T(n)

Caso migliore, peggiore, e medio di InsertionSort2 array già ordinato in ordine crescente  tk = 0  Tbest(n) = (n) (costo del ciclo for esterno) Caso peggiore array ordinato in ordine decrescente  tk = 2k  T(n) =  2k = (n2) Caso medio L’elemento in posizione k+1 ha la medesima probabilità di essere inserito in ciascuna delle k posizioni che lo precedono  la sua posizione attesa è k/2  il valore atteso di tk = k  Tavg(n) =  k = (n2)  n-1 k=1 n-1 k=1

« Se qualcosa può andar male, lo farà. » Legge di Murphy? « Se qualcosa può andar male, lo farà. » In realtà, negli algoritmi il caso medio costa spesso come il caso peggiore (asintoticamente), in quanto le strutture di controllo fondamentali degli algoritmi sono i cicli, e spesso il caso medio implica l’esecuzione della metà delle istruzioni di un ciclo, senza quindi avere un abbattimento asintotico della complessità.

Riepilogo Caso migliore Caso medio Caso peggiore Selection Sort Θ(n2) Insertion Sort 1 Θ(n2) Θ(n2) Θ(n2) Insertion Sort 2 Θ(n) Θ(n2) Θ(n2)

Complessità spaziale Ricordiamo che oltre alla complessità temporale dobbiamo valutare anche la complessità spaziale di un algoritmo, ovvero lo spazio di memoria necessario per ospitare le strutture di dati utilizzate dall’algoritmo. La complessità spaziale del Selection Sort e dell’Insertion Sort è Θ(n) Nota: Se la complessità spaziale di un certo algoritmo è Θ(g(n)), e se tale algoritmo “ispeziona” l’intera memoria occupata, allora la complessità temporale dell’algoritmo è (g(n)), ovviamente.

Conseguenze per il problema dell’ordinamento La complessità spaziale di qualsiasi algoritmo che risolve il problema dell’ordinamento è (n) (dimensione input) …ma qualsiasi algoritmo che risolve il problema dell’ordinamento deve ispezionare tutti i dati in ingresso, e quindi ha complessità temporale T(n)=(n)  Tutti gli algoritmi che risolveranno il problema dell’ordinamento avranno una complessità temporale (n)

Delimitazioni inferiori (lower bound) Definizione Un algoritmo A ha complessità computazionale (g(n)) su istanze di dimensione n se T(n)=(g(n)) (significa che numero di passi elementari necessari per eseguire A nel caso peggiore è (g(n)), e quindi non è detto che debbano essere necessari per ogni istanza di dimensione n: istanze facili potrebbero richiedere meno risorse!) Definizione (lower bound o complessità intrinseca di un problema) Un problema P ha una delimitazione inferiore alla complessità computazionale (g(n)) se ogni algoritmo che risolve P ha complessità computazionale (g(n)).

Ottimalità di un algoritmo Definizione Dato un problema P con complessità intrinseca (g(n)), un algoritmo che risolve P è ottimo (in termini di complessità asintotica, ovvero a meno di costanti moltiplicative e di termini additivi/sottrattivi di “magnitudine” inferiore) se ha complessità computazionale O(g(n)).

Quindi, per il problema dell’ordinamento… Upper bound temporale: O(n2) Insertion Sort, Selection Sort Lower bound temporale: (n) “banale”: dimensione dell’input Abbiamo un gap lineare tra upper bound e lower bound! Possiamo fare meglio, ovvero abbassare l’upper bound e/o innalzare il lower bound ?

Ordinamento per confronti Dati due elementi ai ed aj, per determinarne l’ordinamento relativo effettuiamo una delle seguenti operazioni di confronto: ai  aj ; ai  aj ; ai  aj ; ai  aj ; ai  aj Non si possono esaminare i valori degli elementi o ottenere informazioni sul loro ordine in altro modo. Notare: Tutti gli algoritmi di ordinamento considerati fino ad ora sono algoritmi di ordinamento per confronto.

Lower bound W(n log n) per l’ordinamento Consideriamo un generico algoritmo A, che ordina eseguendo solo confronti: dimostreremo che A esegue (nel caso peggiore) W(n log n) confronti Un generico algoritmo di ordinamento per confronti lavora nel modo seguente: Confronta due elementi ai ed aj (ad esempio effettua il test ai  aj); A seconda del risultato, riordina e/o decide il confronto successivo da eseguire.  Un algoritmo di ordinamento per confronti può essere descritto in modo astratto usando un albero di decisione, nel quale i nodi interni rappresentano i confronti, mentre le foglie rappresentano gli output prodotti

Albero di decisione Descrive le diverse sequenze di confronti che A esegue su un’istanza <a1,a2,…,an> di lunghezza n; i movimenti dei dati e tutti gli altri aspetti dell’algoritmo vengono ignorati Nodo interno (non foglia): i:j (modella il confronto tra ai e aj) Nodo foglia: i1,i2,…,in (modella una risposta (output) dell’algoritmo, ovvero una permutazione <ai1,ai2,…,ain> degli elementi) L’albero di decisione è associato ad un algoritmo e alla dimensione n dell’istanza

Esempio È proprio l’Insertion Sort 2! Input <a1,a2,a3> Riconoscete l’algoritmo associato?      È proprio l’Insertion Sort 2! Esercizio per casa: costruire l’albero di decisione per il SS su una sequenza di 3 elementi.

Proprietà Per una particolare istanza, i confronti eseguiti da A su quella istanza rappresentano un cammino radice – foglia L’algoritmo segue un cammino diverso a seconda delle caratteristiche dell’input Caso peggiore: cammino più lungo Caso migliore: cammino più breve Il numero di confronti nel caso peggiore è pari all’altezza dell’albero di decisione (ovvero alla lunghezza, in termini di numero di archi, del più lungo cammino radice-foglia)

h(k) ≥1+h(k/2) ≥ (hp induttiva) 1+log2(k/2) Altezza in funzione delle foglie Lemma: Un albero strettamente binario (ovvero, in cui ogni nodo interno ha esattamente due figli) con k foglie ha altezza h(k)  log2 k. Dim: Dimostrazione per induzione su k: Caso base k=1 (albero-nodo ): banale h(k)=0≥ log21=0 Caso k>1: supposto vero per k-1 foglie, dimostriamolo per k; poiché la radice ha 2 figli, uno dei due suoi sottoalberi deve contenere almeno la metà (parte intera sup.) delle foglie, e quindi h(k) ≥1+h(k/2) ≥ (hp induttiva) 1+log2(k/2) =1+log2k-log22=log2k. QED

Il lower bound W(n log n) Consideriamo l’albero di decisione di un qualsiasi algoritmo che risolve il problema dell’ordinamento di n elementi Tale albero deve avere almeno n! foglie: infatti, se l’algoritmo è corretto, deve contemplare tutti i possibili output, ovvero le n! permutazioni della sequenza di n elementi in input Dal lemma precedente, avremo che l’altezza h(n) dell’albero di decisione sarà: h(n)  log2(#foglie)  log2(n!) > log2 (n/e)n = = n log2 (n/e) = Formula di Stirling: n!  (2pn)1/2 ·(n/e)n > (n/e)n = n log2 n – n log2 e = = W(n log n) QED