OGGETTI AUREI, metallici E Spirali OTTAVIO SERRA OGGETTI AUREI, metallici E Spirali Cosenza 2012

Sezione aurea secondo Euclide La sezione aurea è AS media ragione tra AB e la parte restante SB (estrema ragione). SB è sezione aurea della sezione aurea etc.

Determinare AB conoscendo la sua sezione aurea AC (Lo gnomone è il quadrato ACGF) Questa costruzione implica che si conosca il valore numerico della sezione aurea.

Rettangoli aurei

Come si dimostra che i segmenti AB e CD sono perpendicolari? Introdurre un opportuno sistema di assi cartesiani e calcolare i coefficienti angolari delle due rette. (vedi figura precedente). Vediamo ora la spirale aurea 

I rettangoli aurei convergono al punto di inter_ sezione di AB e CD, che è anche polo della spirale

Spirale aurea e numeri di Fibonacci

Nella precedente diapositiva ho nominato due cose: la spirale logaritmica e i numeri di Fibonacci. Per i numeri di Fibonacci vedi il mio articolo “Sezione aurea e successioni di Fibonacci” sull’Annuario dello Scorza o sul mio sito (Digilander.libero.it/ottavioserra0), per le spirali vedi le diapositive seguenti.

Spirale aurea triangolare

Spirale di Archimede (o a passo costante) r = b.q

Spirale logaritmica: dr=b.rdq 

Costruisco ora il rettangolo argenteo ABCD a partire dal suo gnomone APND

Nel riferimento cartesiano ABD di origine A si calcolino i coefficienti angolari di AC e BN. Vedi diapositiva precedente.

Se come gnomone si prende un rettangolo di altezza 1 e base n, si ottiene l’ennesimo rettangolo metallico, in particolare, per n=3, il rettangolo bronzeo di base (e altezza 1). Tolto lo gnomone, resta ancora un rettangolo metallico di ordine n e vale ancora la proprietà che la diagonale del rettangolo metallico è perpendicolare alla diagonale del rettangolo metallico residuo che non abbia un estremo comune con la prima.

Vediamo ora il rettangolo “DIN”. Il formato DIN della carta per stampanti deriva da “Deutsches Institute fur Normung”, Istituto tedesco di normalizzazione. Questo formato è stato introdotto nel 1922 dall’Ing. Walter Porstmann. Si parte da un rettangolo di in cui il rapporto tra il lato maggiore e il minore è

Si divide poi il foglio a metà con l’asse dei lati maggiori Si divide poi il foglio a metà con l’asse dei lati maggiori. Si ottengono ancora rettangoli “DIN”; si continua con questa iterazione ottenendo una serie A0, A1, A2, A3, A4, A5, … Verificare che se A0 è un foglio “DIN” di allora A4 ha le dimensioni 297 x 210 mm dei fogli A4 delle vostre stampanti. Vedi diapositive seguenti.

Vedi diapositiva precedente

La più bella figura aurea della geometria: il pentagono

Vediamo ora rapporti aurei in opere d’arte. Il Partenone ad Atene (Fidia)

“Flagellazione” di Piero della Francesca

La Gioconda di Leonardo

Disegno di Leonardo per il “De divina proportione” di Luca Pacioli

“Annunciazione” di Leonardo basata sul triangolo aureo

E ora alcuni disegni di spirali “auree” prese dalla natura.

Infine spirali auree emergenti dalla matematica della complessità

Le immagini seguenti sono 5 “variazioni sul tema” Le immagini seguenti sono 5 “variazioni sul tema”. Col mio programma “Frattali” ho disegnato la panoramica dell’insieme di Mandelbrot: ( x in [-2; 1], y in [-1.5; 1.5]. Poi ho isolato il “puntino” evidenziato all’interno del rettangolo bianco : un quadratino con x in [-0.74591, -0.744480] e y in [0.11196; 0.11339]. Vedi qui sotto) Il programma ha ingrandito questo minuscolo puntino come un potente microscopio: vedi le 5 diapositive seguenti. Nota la struttura a spirale.

Immagine a 16 colori; le seguenti a 256 colori.