CALCOLO LETTERALE I PRODOTTI NOTEVOLI ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE CALCOLO LETTERALE I PRODOTTI NOTEVOLI a cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco

Cosa sono i prodotti notevoli? Sono particolari prodotti o potenze di polinomi, che si sviluppano secondo formule facilmente memorizzabili. I più comuni sono: il quadrato di un binomio, la differenza di due quadrati, il quadrato di un trinomio, il cubo di un binomio

Quadrato di un binomio Si può presentare nelle due forme: (a+b)2 e

Sviluppo del quadrato di un binomio Applichiamo la regola della moltiplicazione di polinomi: (a+b)2= (a+b)· (a+b)= a2+ab+ba+b2= sommando i monomi simili, otteniamo =a2+2ab+b2

Formula del quadrato di un binomio Senza effettuare ogni volta tutti i passaggi si può memorizzare la formula finale del quadrato di un binomio: (a+b)2= a2+2ab+b2

Quindi: Il quadrato di un binomio è uguale alla somma del quadrato del primo termine (a2) più il quadrato del secondo (b2) termine più il doppio prodotto dei due termini (+2ab). (a+b)2= a2+2ab+b2

Della formula del quadrato di un binomio si può dare anche una interpretazione geometrica: costruiamo un quadrato di lato a+b: la sua area vale A= (a+b)·(a+b)=(a+b)2 a b

il quadrato è scomponibile nelle figure seguenti: un quadrato di area a2 due rettangoli di area ab e un quadrato di area b2 a2 ab b2 a2 ab ab b2

Anche dall’interpretazione geometrica si può quindi vedere che lo sviluppo di (a+b)2 non è dato solo dalla somma dei due termini a2 e b2, ma anche dal doppio prodotto 2ab a2 ab b2 ab

Cosa cambia per (a-b)2 ? Nel caso di (a-b)2 cambia solo il segno del doppio prodotto (-2ab), per cui otteniamo: (a-b)2= a2 –2ab+b2

Quadrato di un trinomio Un altro prodotto notevole è il quadrato di un trinomio: (a+b+c)2

Per ottenere la formula del quadrato di un trinomio si applica la regola del prodotto di polinomi: (a+b+c)2= (a+b+c)(a+b+c)= = a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2= semplificando i monomi simili si ottiene: = a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc

costruiamo un quadrato di lato a+b+c e scomponiamolo come in figura: Anche per la formula del quadrato del trinomio si può dare una giustificazione geometrica: costruiamo un quadrato di lato a+b+c e scomponiamolo come in figura: a2 ab ac a b ab b2 bc c ac bc c2

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc L’area del quadrato di lato a+b+c è pari a (a+b+c)2 ma, come si vede dalla figura, è anche uguale alla somma delle aree dei quadrati e dei rettangoli in cui è stato scomposto e cioè a: (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc che è la formula del quadrato di un trinomio a2 ab + + b2 + c2 ab ac bc + + ac bc

Differenza di quadrati Consideriamo il prodotto (a+b)(a-b) e applichiamo la regola del prodotto di polinomi: (a+b)(a-b)= a2-ab+ba-b2 = semplifichiamo i due monomi simili: = a2-b2

questa è la formula della differenza di due quadrati quindi la formula finale è: (a+b) (a-b) = a2-b2 questa è la formula della differenza di due quadrati

Esempi: (2x+3y)(2x-3y)= 4x2-9y2 (a3+5b2)(a3-5b2)=a6-25b4

Cubo del binomio ovvero (a-b)3 Un altro prodotto notevole che si incontra è il cubo del binomio: (a+b)3 ovvero (a-b)3

Consideriamo il cubo del binomio come prodotto del quadrato del binomio per il binomio stesso: (a+b)3= (a+b)2(a+b) applichiamo la formula del quadrato del binomio: (a+b)2(a+b)= (a2+2ab+b2)(a+b) applichiamo ora la regola del prodotto di polinomi: (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+b2a+b3= e sommando i monomi simili (dello stesso colore) otteniamo: =a3+3a2b+3ab2+b3

Formula del cubo di un binomio Quindi lo sviluppo del cubo di un binomio è: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 e analogamente: (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3