RESISTENZA A FATICA Indice argomenti Introduzione Modalità di rottura a fatica Cicli di prova e di lavoro – Nomenclatura e definizioni Prove e macchine di prova Prove di fatica e raccolta risultati Curve S-N Capacità di resistenza e tensione di lavoro effettive Effetti di riduzione della resistenza Effetti di amplificazione delle tensioni (Effetto d’intaglio) Relazioni tra il limite di fatica ed altre proprietà del materiale Diagrammi di resistenza a fatica Verifica di resistenza per stati di sollecitazione composta Danno cumulativo

Introduzione Considerazioni generali Un componente meccanico assoggettato a carico variabile, Dopo un certo numero di cicli di sollecitazione, può manifestare Cedimento anche se il livello medio della tensione risulta inferiore A quello corrispondente alla rottura statica Tale fenomeno va sotto il nome di FATICA Fasi principali Innesco Propagazione Rottura

Modalità di rottura a fatica Slipband e zone di frattura Slipband visibili in superficie di un provino privo di singolarità assoggettato a carico alternato

Modalità di rottura a fatica Casistica

Cicli di prova e di lavoro Definizioni e notazioni Ciclo affaticante, ciclo di tensione o ciclo di fatica è la parte di funzione tensione-tempo che si ripete identicamente e periodicamente Con riferimento principalmente a cicli di tipo sinusoidale, in quanto segue si utilizzeranno le notazioni indicate. smax sollecitazione massima a cui è sottoposto il provino smin sollecitazione minima a cui è sottoposto il provino R = smin /smax coefficiente di asimmetria del ciclo sm = (smax + smin)/2 sollecitazione media o precarico sa = (smax - smin)/ 2 ampiezza della variazione della sollecitazione 2sa elongazione della sollecitazione smax = sm + sa e smin = sm - sa N numero di cicli finali di fatica n numero del ciclo generico a cui si sta lavorando

Cicli di prova e di lavoro Notazioni sA ampiezza del limite di resistenza a fatica sD limite a fatica: massimo valore di tensione per cui il provino resiste ad un numero indefinito di cicli (oppure ad numero di cicli convenuto) Risulta sD = sm ± sA sA(N) ampiezza di resistenza a fatica per una durata o vita di N milioni di cicli sD(N) resistenza a fatica per una vita di N milioni di cicli sfr limite di fatica nel caso di flessione rotante simmetrica (srb rotating bending) stc limite di fatica per sollecitazione di tipo trazione-compressione stp limite di fatica nel caso di sollecitazione pulsante srt limite di fatica nel caso di torsione variabile

Cicli di prova Nomenclatura Al fine di una uificazione e di una semplificazione delle prove, Dell’interpretazione, della ripetibilità e della comprensibilità dei risultati usualmente si applicano carichi ciclicamente variabili ed in particolare variabili sinusoidalmente. Ciclo alterno simmetrico smax = - smin con R = -1 e sm = 0 Ciclo alterno asimmetrico smax > 0 e smin < 0 con R < 0 e sm = 0 Ciclo dallo zero o dall'origine smax > 0 e smin = 0 con R = 0 e sm = smax /2 oppure smax = 0 e smin < 0 con R = e sm= smin /2 Ciclo pulsante smax> 0 e smin > 0 con 1> R > 0 e sm = 0

Cicli di prova Diagrammi

Prove di fatica Macchine di prova – Trazione-compressione

Prove di fatica Schema di macchina di prova

Prove di fatica Macchine di prova – Flessione rotante

Prove di fatica Flessione Alternata sN sF Provino Bielletta Sforzo Normale Momento Flettente

Prove di fatica Flessione Rotante sF(wt) Provino Rotante r y a -sFMax y = r sin a = r sin wt Momento Flettente sF(wt) = (y/r) sFMax= sFMax sin wt

Prove di fatica e raccolta risultati Curve di Woehler o curve S-N sa Curva tracciata per un Assegnato valore della Tensione media sm

Prove di fatica e raccolta risultati Curve di Woehler per differenti materiali sa = c N-k

Prove di fatica e raccolta risultati Curve di Woehler in coordinate logaritmiche log sa log sa = log c – klogN log sA log N

Prove di fatica e raccolta risultati Considerazioni Probabilistiche 1 Dalle prove di fatica si traggono risultati in termini relazione tra il livello di tensione indotto nel provino e la corrispondente durata dello stesso. Come per tutte le prove, anche la caratterizzazione del comportamento dei materiali sotto carichi variabili necessita di esperienze condotte su numerosi provini ed i risultati devono essere trattati con metodi statistici.

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla teoria della Probabilità A tal proposito si ricorda che, considerando come evento A, nel nostro caso la rottura, il risultato di un esperimento, nel nostro caso la prova, se si indica con X il numero totale di esperimenti ed XA il numero di volte che si verifica l’evento A la frequenza relativa che accada l’evento A si definisce come rapporto XA/ X e la probabilità con il limite .

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità D’altra parte se, x è una variabile continua associata ad un evento, viene definita la funzione p(x) che esprime la densità di probabilità che x cada nell’intervallo x1, x2 come

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità Modello di Gauss La funzione p(x) sopra definita può assumere diverse forme che sono caratteristiche del fenomeno che si vuole modellare. Quella che meglio esprime la densità di probabilità con riferimento alle prove di caratterizzazione dei materiali è quella introdotta da Gauss

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità che viene anche chiamata distribuzione normale ed ha l’andamento mostrato in figura successiva. In essa la variabile x esprime, in questo caso, i cicli avanti rottura N e l’ordinata rappresenta il numero di provini rotti, ovvero il numero di provini rotti rapportato a tutti i provini in esame, per un assegnato livello di tensione corrispondente al numero di cicli compreso nell’intervallo (Ñ, Ñ + dN).

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità Curva di Gauss Curva di densità di probabilità per un assegnato livello di tensione (sa, sm) Curva di Gauss: la variabile x, in questo caso, è il numero di cicli avanti rottura, l’ordinata e il numero di provini rotti in un intervallo dN

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: media La curva di distribuzione fornisce, tra l’altro, il valor medio, che risulta, per la gaussiana, essere anche in corrispondenza dell’asse di simmetria del diagramma, espresso dalla relazione

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: varianza e deviazione standard considerando poi il secondo ordine si ottiene il valor medio del quadrato della variabile espresso da per cui è possibile definire la varianza s2 E di conseguenza la sua radice quadrata indicata come deviazione standard s

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: cumulativa Poiché la funzione densità di probabilità rappresenta, come prima detto, nel caso in esame, la probabilità che un provino si rompa con una durata compresa tra Ñ ed Ñ + dN si può aggiungere alla definizione quella della funzione cumulativa che esprime la probabilità che accada un evento per valori della variabile associata x compresi tra -∞ e quello corrente x ottenendo la funzione cumulativa

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: cumulativa

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità Nel nostro caso, ad esempio, associando x al numero di cicli, essa può esprimere la probabilità che, ad un assegnato livello di tensione, la rottura si verifichi tra il numero di cicli compreso tra -∞ ed Ñ. Considerando quanto detto, se ci si pone al valor medio la probabilità che un provino si rompa in corrispondenza di numeri di cicli compresi tra -∞ ed Ñm è

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità Nel caso di variabili discrete al posto della curva di densità di probabilità ci si si riferisce all’istogramma ottenuto suddividendo l’asse delle ascisse in intervalli Dx e riportando sulle ordinate il corrispondente numero di eventi, o meglio la frequenza relativa degli stessi, e le relazioni sopra ricordate vanno interpretate di conseguenza.

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità Istogramma Numero provini rotti rapportato al numero di provini del campione Probabilità di rottura nell’ intervallo Ni, Nj Ni Nj numero di cicli N avanti rottura Curva di densità di probabilità: l’ascissa x rappresenta il numero di cicli avanti rottura e l’ordinata è la probabilità di rottura

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: istogramma Curva di Gauss con ascisse logaritmiche (Lognormale): la variabile x è il logaritmo del numero di cicli avanti rottura logN, l’ordinata e il numero di provini rotti in un intervallo dN

Prove di fatica e raccolta risultati Determinazione del limite di fatica – Procedura generale La procedura di raccolta dei risultati pertanto può essere articolata come segue: si suddivide l’ascissa che rappresenta il numero di cicli in intervalli DN; si definisce un’ampiezza di tensione sa, per un assegnato valore di sm, e si procede nelle prove registrando di volta in volta il numero di cicli; si riporta in corrispondenza di ciascun intervallo il numero di provini rotti rapportato al numero totale di provini sottoposti alla prova (frequenza dell’evento rottura) costruendo l’istogramma nelle coordinate N (ovvero log N); - poichè a ciascun intervallo corrisponde una probabilità di rottura (al valore medio corrisponde la probabilità del 50%) si possono tracciare le curve di Wöhler relative alla probabilità prescelta.

Prove di fatica e raccolta risultati Determinazione del limite di fatica - Woehler logsa Log N

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase - Procedura Applicando le formulazioni che forniscono la stima della media tenendo conto delle coordinate logaritmiche si ha il valor medio del numero di cicli a seguito di m esperimenti desumibile dalla relazione ovvero

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase - Procedura e la deviazione standard

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Diagramma Riassuntivo

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Tabella riassuntiva

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Calcolo Standard

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Calcolo Semplificato 1

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Calcolo Semplificato 2

Capacità di resistenza e tensione di lavoro effettive Considerazioni generali Nota: La valutazione del coefficiente di sicurezza va effettuata con l’introduzione di fattori riduttivi della resistenza a fatica del materiale e moltiplicativi della tensione nominale di lavoro atti a tener conto di effetti che alterano la capacità di resistenza di riferimento o la tensione valutata.

Tensione affaticante effettiva Effetti di riduzione della resistenza su provini o componenti privi di singolarità Numerosi effetti contribuiscono ad alterare il limite di fatica determinato su provini normalizzati anche se privi di singolarità. Di tali effetti si tiene conto attraverso coefficienti che influiscono sul valore della tensione al limite di fatica. I valori dei coefficienti sono reperibili in letteratura o vanno accertati per casi specifici. I principali aspetti di cui si può tener conto sono: Effetto del tipo di carico - coefficiente CL Effetto delle dimensioni - coefficiente CD Effetto della finitura superficiale - coefficiente CS Effetto della forma della sezione - coefficiente Cq Effetto dell’ anisotropia delle proprietà a fatica - coefficiente Ca

Effetti di riduzione della resistenza Effetto del tipo di carico La resistenza a fatica in un componente meccanico privo di singolarità sD, prendendo in considerazione gli effetti prima indicati a partire da valori noti in casi specifici, può essere ottenuta con relazioni, con riferimento al tipo di carico: sD = srb CL CD CS Cq Ca ; rotating bending sD = srt CL CD CS Cq Ca ; CL = 0.58 =1/ reversed torsion sD = stc CD CS Cq Ca ; CL = 1 traction compression

Effetti di riduzione della resistenza Effetto delle dimensioni

Effetti di riduzione della resistenza Effetto della finitura superficiale

Effetti di riduzione della resistenza Effetto della forma della sezione Effetto dell’anisotropia delle proprietà a fatica Fattori Cq e Ca Tipo sezione Flessione rotante Torsione alternata Trazione Compressione Circolare 1 Quadrata 0.9 Rettangolare 0.8 0,9

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio esempi di singolarità

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio piastra tesa con foro ellittico Tensione teorica st Tensione teorica st Fattore Teorico d’intaglio Kt Arid P

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra con foro circolare

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra con foro circolare

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio diagrammi di KT per piastre tese con foro circolare

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra con foro ellittico e rettangolare

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra con foro quadro variamente orientato

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra con intagli laterali

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra con intagli multpli

Effetti di amplificazione delle tensioni Tensioni modificate dall’Effetto d’Intaglio in un albero con intaglio circonferenziale variamente sollecitato

Effetti di amplificazione delle tensioni Tensioni modificate dall’Effetto d’Intaglio in un albero con passaggio di sezione raccordato

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio diagrammi di KT per albero in torsione e in flessione

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio fattore di forma, fattore effettivo e sensibilità all’intaglio

Relazioni tra limite di fatica ed altre proprietà del materiale Tipologie di relazioni di letteratura Per acciai al carbonio ricotto s rb = 0,45 s r + 8,4 MPa Per acciai al carbonio rinvenuto s rb = 0,515 s r -24 MPa Per acciai legati rinvenuti s rb = 0,38 s r + 94 MPa Per acciai tipo austenitico altamente legati s rb= 0,485 s r Se adesso si considerano altri tipi di carichi Per leghe di acciaio s tc = 0,3 s r + 83 MPa s rt = 0,274 s r + 9,6 MPa tc sollecitazione di trazione compressione rb sollecitazione di flessione rotante rt sollecitazione di torsione rotante.

Relazioni tra limite di fatica ed altre proprietà del materiale

Diagrammi di resistenza a fatica Effetto della tensione media

Diagrammi di resistenza a fatica Costruzione del diagramma nel piano (sm,sa )

Diagrammi di resistenza a fatica Rappresentazioni nel piano (sm, smax smin)

Diagrammi di resistenza a fatica Relazioni analitiche Formula generale Smith Goodman Soderberg Gerber

Diagrammi di resistenza a fatica Rappresentazione delle relazioni analitiche 1 – Goodman 2 – Soderberg 3 – Gerber 4 - Smith

Diagrammi di resistenza a fatica Costruzione del diagramma di Goodman

Diagrammi di resistenza a fatica Grado di sicurezza sm, smax smin)

Diagrammi di resistenza a fatica Diagramma di Goodman per diversi tipi di sollecitazioni

Verifiche di resistenza per sollecitazioni composte Criterio di Gough-Pollard Per stati di sollecitazione biassiale, dove smax tmax sono le sollecitazioni applicate e saf e taf sono le sollecitazioni limite, si può ritenere valida la relazione

Verifiche di resistenza per sollecitazioni composte Criterio di Gough-Pollard Sollecitazione di confronto

Danno cumulativo Danneggiamento lineare – Formulazione di Miner Un elemento di macchina sottoposto ad un’assegnata sollecitazione per un numero di cicli ni inferiore alla corrispondente durata in numero di cicli Ni subisce comunque un danno che si accumula. Miner e Palmgren ipotizzarono che il danno progredisce in modo lineare con i cicli e per diversi tipi di sollecitazione "Danno cumulativo lineare”

Danno cumulativo Danneggiamento lineare – Rappresentazioni

Danno cumulativo Danneggiamento lineare – Sollecitazioni diverse Formula generale Pari danno Numero di cicli a pari danno con sollecitazione diversa

Danno cumulativo Danneggiamento lineare – Sollecitazioni diverse