Gli algoritmi del minimo percorso Valerio Cutini a.a. 2013 / 2014 Università degli Studi di Pisa insegnamento di Tecnica Urbanistica Corso di laurea triennale in Ing. Edile Ingegneria del Territorio Corso di laurea magistrale in Ing. Idraulica,Trasporti e Territorio Lezione n° 3. Gli algoritmi del minimo percorso 1 1

Il problema del minimo percorso valerio cutini a.a. 2013-2014 Il problema della determinazione del più breve percorso fra due punti di un sistema insediativo è fondamentale nella modellistica territoriale Al fine di evitare che si operi per tentativi, sono stati introdotti metodi rigorosi per risolvere la questione Tali metodi hanno una logica iterativa, ed hanno in comune alcune caratteristiche: sono oggettivi e ripetibili forniscono i risultati nel minor numero possibile di passaggi ogni singolo passaggio è determinato univocamente dal precedente e determina univocamente il successivo ogni singolo passaggio determina un avvicinamento alla soluzione del problema 2 2

Il problema del minimo percorso valerio cutini a.a. 2013-2014 I metodi per la determinazione del più breve percorso fra due punti di un sistema insediativo sono detti algoritmi del minimo percorso (shortest path algorithms) Le loro caratteristiche di iteratività li rendono agevolmente applicabili mediante software specifici Per la comprensione del loro funzionamento, è utile schematizzare un sistema insediativo mediante l’uso di grafi 3 3

I grafi valerio cutini a.a. 2013-2014 I grafi sono un metodo di rappresentazione di un sistema, particolarmente utile ad evidenziare le relazioni fra i suoi singoli elementi Un grafo è composto da nodi e da archi un nodo (node, vertex) rappresenta un punto dello spazio un arco (edge, line) rappresenta la relazione di collegamento diretto (se esitente) fra due nodi 4 4

i/j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 - I grafi valerio cutini a.a. 2013-2014 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 m 2 m 4 m 5 m 1 m 5 5

I grafi valerio cutini a.a. 2013-2014 Un grafo si dice connesso se per ogni coppia di nodi (v, w) c’è un percorso che li unisce Un grafo si dice orientato se la relazione di connessione non è simmetrica, ovvero se esiste almeno una coppia di nodi (v,w) tali che il percorso che li unisce P (v, w) ≠ P (w, v) In un grafo, i singoli nodi possono essere nodi di origine (source vertices) o di destinazione (sink vertices) di percorsi Negli algoritmi del minimo percorso, utilizzeremo grafi connessi e non orientati 6 6

Gli algoritmi del minimo percorso valerio cutini a.a. 2013-2014 Due qualità sono richieste ad un algoritmo del minimo percorso fornire risultati completi ed esaustivi fornire risultati con il minor numero di passaggi Queste due qualità raramente coesistono esistono metodi speditivi, ma chhe forniscono risultati parziali ed incompleti esistono metodi che forniscono risultati esaustivi, a prezzo di un elevato numero di passaggi In particolare, gli SPA si dividono in due famiglie quelli che determinano il percorso più breve da un nodo a tutti gli altri (single-source) quelli che determinano il percorso più breve fra tutte le possibili coppie di nodi (all pairs) 7 7

Gli algoritmi single-source: l’algoritmo di Dijkstra valerio cutini a.a. 2013-2014 E.W. Dijkstra L’algoritmo di Dijkstra è il più noto e usato degli algoritmi che determinano il minimo percorso da un unico nodo i, assunto come origine 8 8

Gli algoritmi single-source: l’algoritmo di Dijkstra valerio cutini a.a. 2013-2014 La logica dei passaggi dell’algoritmo è la seguente: Si assegna per ogni dij un valore di tentativo, ponendo: per i=j, dij = 0 per i≠j, se esiste un collegamento diretto l0, dij = l0 per i≠j, se non esiste un collegamento diretto, dij = ∞ Fra tutti i collegamenti dij, si individua il minimo valore dik, e lo si trasforma in valore definitivo Si assume il nodo k come nodo perno (pivot) e lo si interpone in tutti i collegamenti dij, sostituendo il valore della misura risultante, nel caso sia minore della precedente. Ovvero: se dik+dkj < dijk-1, dijk = dik+dkj se dik+dkj ≥ dijk-1, dijk = dijk-1 Si procede, fino a che tutti i valori dei collegamenti non sono diventati definitivi 9 9

Gli algoritmi all-pairs: l’algoritmo di Floyd valerio cutini a.a. 2013-2014 Robert W. Floyd L’algoritmo di Floyd è il più noto e usato degli algoritmi che determinano il minimo percorso di connessione fra tutte le possibili coppie i, j di nodi di un grafo 10 10

Gli algoritmi all-pairs: l’algoritmo di Floyd valerio cutini a.a. 2013-2014 La logica dei passaggi dell’algoritmo è la seguente: Si costruisce la matrice dei collegamenti dij, ponendo: per i=j, dij = 0 per i≠j, se esiste un collegamento diretto l0, dij = l0 per i≠j, se non esiste un collegamento diretto, dij = ∞ Alla k-esima iterazione, si interpone il nodo k fra i e j, sostituendo il valore della misura risultante, nel caso sia più breve della precedente. Ovvero: se dik+dkj < dijk-1, dijk = dik+dkj se dik+dkj ≥ dijk-1, dijk = dijk-1 Si procede per n iterazioni (n matrici), fino a che tutti i nodi k non sono stati interposti 11 11