Università di Pavia,Facoltà di Economia Le persone che hanno un elevato livello di padronanza personale sono acutamente consapevoli della loro ignoranza … nel profondo esse hanno fiducia in se stesse. Un paradosso? Solo per quelli che non vedono che “il viaggio è la ricompensa” (Senge, 2006, p. 151). Aula Foscolo Palazzo Centrale All stable processes we shall predict. All unstable processes we shall control (John von Neumann)

Nel precedente Modulo 1 ho ricordato le nozioni fondamentali del Systems Thinking per fornire un linguaggio semplice ed efficace. In questo Modulo 2a presento la logica del controllo e due semplici Sistemi di Controllo mono leva e mono obiettivo: controllo audio e controllo temperatura. Il Modulo comprende i paragrafi da 1.6 a 1.9. Finalità di questo Modulo 2

3 Controllo di una variabile Controllare una variabile Y t [ output o effetto ] significa “fare in modo” che essa: tramite una “ successione di aggiustamenti ” nel tempo, arrivi ad assumere un valore Y*, che rappresenta un obiettivo da conseguire, oppure un vincolo o un limite o uno standard da mantenere, pur in presenza di disturbi esterni non controllabili: D. La distinzione tra vincoli, limiti e obiettivi non sempre è netta; per questo, salvo che non sia specificato chiaramente, il segno “ * ”, apposto a una variabile Y t, assumerà, d’ora in avanti, il significato di obiettivo del controllo di quella variabile, goal o traiettoria. Par. 1.6

4 La leva di controllo e il tasso g Per “aggiustare” i valori della Y t, verso l’obiettivo Y*, occorre agire su un’altra variabile X t, che definiamo variabile d’azione [ input o causa ], o leva di controllo, la quale è connessa alla Y t da un legame causale semplice. La misura secondo la quale X t agisce sulla Y t ( X causa la Y ) è definita dal: tasso d’azione g y oppure g(Y/X), così che risulti: Y t = [ X t × g y ] + D t essendo D t la variabile che indica i disturbi esterni.

5 La distanza, o Errore La distanza, o Errore Il controllo richiede il calcolo di una terza variabile : lo scarto dall’obiettivo (differenza, scostamento, deviazione, distanza, ecc.) Δ(Y) = E(Y) = Y* - Y [oppure: Δ(Y*) = Y – Y* ]. definito anche errore da eliminare. La logica del controllo è semplice: attribuire a X t una successione di valori che annullino E(Y) = Δ(Y). Quali valori? Per calcolarli occorre conoscere un tasso di reazione h x o anche h(X/Y), che indica la misura secondo la quale E(Y) agisce sulla leva X t, per ottenere il nuovo valore X t+1, tale che: X t+1 = X t + [ E(Y) × h x ] o, anche, in forma differenziale: X t+1 - X t = [ E(Y) × h x ] Per un controllo simmetrico, si pone: h = 1 / g.

6 Modello canonico semplificato di Sistema di Controllo a una leva Variabile da controllare = Y Variabile d’azione = X Obiettivo = Y* Scostamento o Scarto o Errore E(Y/X) = Y*–Y s oss B D = Disturbo esterno Tasso di azione g(Y/X) Tasso di reazione h(X/Y ) Pag. 52

7 La distanza come variabile fondamentale Ecco come Wiener descrive la funzione della “ distanza ” cioè dello scostamento, o errore : Supponiamo che io debba prendere una matita. Per fare questo devo muovere certi muscoli. Nessuno di noi, eccetto qualche esperto anatomista, sa tuttavia quali siano questi muscoli [...] Ciò che noi vogliamo consapevolmente fare è solo prendere la matita. Una volta presa questa decisione, il movimento procede in modo tale che – per così dire – “quanto manca alla presa della matita” decresca progressivamente. Questa parte dell’azione non si svolge a livello di piena consapevolezza [...]. Vediamo dunque che per un’azione efficace sul mondo esterno, non solo è essenziale possedere buoni organi motori, ma occorre che l’attività di tali organi sia adeguatamente segnalata a scopo di controllo al sistema nervoso centrale, e che i rilevamenti degli organi di controllo si combinino appropriatamente con le altre informazioni in arrivo dagli organi sensoriali per determinare un’uscita motoria regolata (Wiener, 1968, p. 30). Pag. 51

8 Definizione. Nel Systems Thinking, un sistema di controllo è un sistema logico che consente di raggiungere o mantenere un desiderato Y*, di una data variabile Y t ( effetto, o output ) mediante variazioni in una variabile X t ( causa, o input ), calcolate in modo da annullare l’errore E(Y) = Y* - Y t, malgrado possibili disturbi esterni, D t. È facile riconoscere che un Sistema di Controllo, da un punto di vista logico, è un loop di bilanciamento che connette le variabili X, Y, D, secondo lo schema canonico: [s–o–s] Sistema di Controllo ad una leva. Definizione Pag. 50

9 Sistema ad una leva senza ritardo Audio Volume suono = Y Rotazione manopola = X s Volume desiderato= Y* Errore = E(Y) = Y* – Y o s Suono percepito: - basso se E>0 - alto se E<0 - gradevole se E=0 B s Disturbo esterno = D X = = =20 E 60-45= = = =0 Y X 0 =0 Y*=60 Tasso di azione = g Tasso di reazione = h g y =3 h x =1/3 Par. 1.8 decisione × 3 decisione +3 × 3 decisione +4 × 3 decisione -2 × 3 FINE Apprendimento, esperienza

10 Sistema ad una leva senza ritardo Temperatura acqua con miscelatore Temperatura acqua = Y s Temperatura desiderata = Y* Errore= E Y = Y* – Y o s Temperatura percepita: - fredda se E Y >0 - calda se E Y <0 - gradevole se E Y =0 B Disturbo esterno = D Apprendimento, esperienza Tasso di azione g(Y/X) Tasso di reazione h(X/Y) Rotazione miscelatore = X s X = =15 E 30-24= = =0 Y X 0 =0 Y*=30 g y =2 h x =1/2 Par. 1.9 Tempo di reazione r(X/Y) r(X/Y) = 1 decisione +5 decisione -2 × 2 FINE

11 La struttura generale dei sistemi di controllo ad una leva del tipo standard [s–o–s] senza ritardi. Modello generale di sistema di controllo a una leva Variabile da controllare = Y Variabile d’azione = X Obiettivo = Y* Scarto = S y = Y – Y* s os s B D = Disturbo esterno Tasso di azione g(Y/X) Tasso di reazione h(X/Y) thth thth t h+1 Apprendimento, esperienza MANAGER Motivazioni esterne personali GOVERNANCE Tempo di reazione r(X/Y) Pag. 51 [s–o–s]

Sono i Sistemi di Controllo nei quali la X t assume valori continui nel tempo, anche se sono tempificati per istanti discreti: t 0, t 1, ecc., producendo variazioni continue in Yt. 12 Tipi Variazione continua di X Pag. 60

13 Tipi Variazione discreta di X Sono i Sistemi di Controllo nei quali la X t assume valori discreti nel tempo, che dipendono da un passo fisso della leva che si ripete nel tempo producendo una variazione discreta in Y t fino a quando non ha raggiunto Y*. Pag. 60 manopola/decibel 5Y t=0 =0 tolleranza max in decibel tempo di reazione 1Y* =50 passo fisso delle manop.5 tolleranza di precisione in decibel 0

14 Una variabile fondamentale Il tempo di reazione Il tempo di reazione r x è una variabile decisionale che stabilisce di quando decade l’errore, per unità di tempo, per ogni azione sulla X. È più facile – ma del tutto equivalente – definire tempo di reazione r x come la variazione di X per unità di tempo. In pratica: Se, per un dato E(Y) la X deve variare, per es. di 60, allora: con r x = 1, X varia di 60, con r x = 2, X varia di 30, con r x = 3, X varia di 20, ecc. Un tempo di reazione è molto importante per il controllo in quanto un r x maggiore di 1 rende il controllo più “graduale”, “morbido” e “accettabile”. Pag. 57

15 Controllo immediato e graduale Il controllo è immediato se il tempo di reazione è r x =1. Il sistema porta Y t a Y* in un solo istante. Sono sistemi ad aggiustamento veloce della Y ma sono pericolosi e difficili da realizzare in quanto producono uno shock nella struttura fisica del sistema. Il controllo appare “ruvido” ( rough control ). Il controllo graduale opera quando r x >1, così che la struttura fisica assorbe gradualmente le variazioni di X e di Y. Il sistema produce una dinamica di Y verso Y* più lenta ma più morbida ( soft control ). Occorre individuare il r x >1 che porti ad un bilanciamento tra rapidità e gradualità. Sono a controllo graduale quelli a variazione discreta per i quali non si pone r x. Pag. 89

16 Quando non è dichiarato esplicitamente, si suppone che: lo stimolo  X e la risposta  Y siano concatenati istantaneamente. Se tra lo stimolo  X e la risposta  Y intercorre un periodo relativamente lungo, allora si dice che la risposta  Y si produce con un ritardo rispetto allo stimolo  X. Il ritardo si rappresenta nel modello scrivendo RITARDO o sulla freccia i cui processi presentano il ritardo, o barrandola. Regola : vi è un ritardo nella risposta se è possibile fare variare almeno due volte la X prima che si produca la prima variazione della Y. I ritardi non sempre si possono eliminare ma i loro effetti si possono mitigare con r x >1. Attenzione ai ritardi Si veda anche il modulo 2b.

17 Sistema ad una leva con ritardo Temperatura acqua con miscelatore Temperatura acqua = Y s Temperatura desiderata = Y* Errore= E Y = Y* – Y o s Temperatura percepita: - fredda se E Y >0 - calda se E Y <0 - gradevole se E Y =0 B Disturbo esterno = D Apprendimento, esperienza Tasso di azione g(Y/X) Tasso di reazione h(X/Y) Rotazione miscelatore = X s X 12 20= = =23-13 E 30-0= = = =-16 Y X 0 =0 Y*=30 g y =2 h x =1/2 Par. 1.9 Ritardo riscaldamento acqua Tempo di reazione r(X/Y) r(X/Y) = 1 decisione +8 decisione +3 decisione -13 × 2

Doccia con ritardi e diversi tempi di reazione 18

Il tempo entropico Ogni Sistema di Controllo scandisce la sua dinamica su una appropriata scala temporale che definisce la finestra temporale del sistema. Anche se la dinamica può essere continua, per la costruzione di modelli di simulazione si suppone normalmente che essa sia scansionata per intervalli discreti. La lunghezza dell’intervallo dipende dall’accuratezza della misurazione dell’errore e soprattutto dalle esigenze di precisione. 19 Par. 3

20 Tipi Sistemi di on/off e I/O. Sistemi on/off. Sono particolari sistemi che raggiungono l’obiettivo Y* facendo funzionare [on] la leva X t per un dato tempo preimpostato, T*, fino a quando la arrestano [off] per poi riprendere quando D produce nuovamente un errore di ampiezza prefissata ΔE* (es. condizionatore). Sistemi I/O Sono particolari sistemi che tentano di raggiungere l’obiettivo Y* accendendo [I] la leva X, una o più volte, per un dato tempo, deciso di volta in volta, per ottenere un valore fisso ΔY, fino a quando la spengono [O], annullando ΔY, per poi riaccenderla quando D produce nuovamente un errore E. (es. ascensore). Par. 2.6

21 Tipi Sistemi di on/off e I/O. Sistemi on/off. Sistemi I/O Par. 10 Y* = obiettivo Y t = variabile da controllare X t = I X t = O + ΔY- ΔY Y* = obiettivo Y t = variabile da controllare X t = on X t = off

Sistema di controllo on-off a una leva. Temperatura dell’aria con condizionatore È un sistema nel quale non c’è intervento umano se non per decidere la temperatura obiettivo. Si avvia quando si manifesta lo scostamento. 22 Temperatura ambientale = Y X = Tempo di accensione = t Temperatura desiderata = Y* Errore o Scarto E(Y) = Y* – Y s os s Temperatura percepita: - bassa se E(Y) > 0 - alta se E(Y) < 0 - gradevole se E(Y) = 0 B D = Disturbo esterno c = temperatura aria fredda Accensione solo se E < 0 v = volume aria fredda g=v x c h

Piano t+1 = = Y = Piano t + salita/discesa Tempo di accensione = X Piano desiderato (pulsante) = Y* Salita/discesa piani = E(Y) = Y* – Y s o ss B Tasso di sollevamento g(Y/X ) Tempo accensione h(X/Y) RILEVATORE DEL PIANO MOTORE CALCOLO TEMPO ACCENSIONE Variazione discreta I/O Ascensore quale sistema di controllo 23