Algoritmi di Ordinamento di Giulio Valenti

Definizione Un algoritmo è un procedimento che risolve un determinato problema attraverso un numero finito di passi. Un problema risolvibile mediante un algoritmo si dice computabile.

Tipi di algoritmi (di ordinamento) Selection Sort; Insertion Sort; Bubble Sort; Quick Sort; Merge Sort; Heap Sort; Counting Sort; Bucket Sort.

Selection Sort: E’ un algoritmo di ordinamento che opera in place ed in modo simile all'ordinamento per inserzione. L'algoritmo è di tipo non adattivo, ossia il suo tempo di esecuzione non dipende dall'input ma dalla dimensione dell'array. Alla prima iterazione verrà selezionato l’elemento più piccolo dell’intero insieme e sarà scambiato con quello che occupa la prima posizione. Alla seconda iterazione è selezionato il secondo elemento più piccolo dell’insieme è viene scambiato con l’elemento che occupa la seconda posizione. Si ripete fino ad aver collocato nella posizione corretta tutti gli n elementi.

Selection Sort Esempio: void selsort(int x[ ], int y) { int z=0; for (z=0;z<n;z++) { int y=0; for (y=z+1;y<n;y++) { if (x[y] < x[y]) { int t=x[y]; x[y]=x[z]; x[z]=t; }

Inserction Sort E’ un algoritmo relativamente semplice per ordinare un array. Non è molto diverso dal modo in cui un essere umano, spesso, ordina un mazzo di carte. Esso è un algoritmo in place, cioè ordina l'array senza doverne creare una copia, risparmiando memoria. Pur essendo molto meno efficiente di algoritmi più avanzati, può avere alcuni vantaggi: ad esempio, è semplice da implementare ed è efficiente per insiemi di partenza che sono quasi ordinati. Ad ogni iterazione, il vettore è costituito da una parte iniziale ordinata e da la parte rimanente che contiene i valori da ordinare. Per ogni valore ancora da inserire, viene fatta una ricerca binaria nella parte ordinata del vettore e vengono spostati in avanti tutti gli elementi per liberare una posizione Nella posizione liberata viene inserito il valore.

Inserction Sort Esempio: void inssort(int a[ ] ,int n) { int i=0,j=0; for (i=1;i<n;i++) { int x=a[i], s=1, d=i-1; while (s<=d) { int m=(s+d)/2; if (x<a[m]) d=m-1; else s=m+1; } for (j=i-1,j>=s;j--) a[j+1]=a[j]; a[s]=x;

Bubble Sort E’ un semplice algoritmo di ordinamento dei dati. Il suo funzionamento è semplice: ogni coppia di elementi adiacenti della lista viene comparata e se essi sono nell'ordine sbagliato vengono invertiti. L'algoritmo scorre poi tutta la lista finché non vengono più eseguiti scambi, situazione che indica che la lista è ordinata. L’algoritmo si basa sull’idea di far emergere pian piano gli elementi più piccoli verso l’inizio dell’insieme da ordinare facendo sprofondare gli elementi maggiori verso il fondo: un po’ come le bollicine in un bicchiere di acqua gassata da qui il nome di ordinamento a bolle.

Bubble Sort Esempio: void bubbsort(int x[ ], int y) { bool scambio=true; int ultimo=y-1,i=0; while (scambio) { scambio=false; for (i=0;i<ultimo;i++) { if ( x[i]> x[i+1]) { int t= x[i]; x[i]=x[i+1]; x[i+1]=t; scambio=true; } ultimo --;

Quick Sort E’ un algoritmo di ordinamento ricorsivo in place che, come merge sort, si basa sul paradigma divide et impera. La base del suo funzionamento è l'utilizzo ricorsivo della procedura partition: preso un elemento da una struttura dati (es. array) si pongono gli elementi minori a sinistra rispetto a questo e gli elementi maggiori a destra. Assunto un elemento come perno, si confrontano con esso gli altri elementi e si posizionano alla sua sinistra i minori e a destra i maggiori, senza tener conto del loro ordine. Dopo questo stadio si ha che il perno è nella sua posizione definitiva. Successivamente si procede in modo ricorsivo all'ordinamento parziale delle sottosequenze di elementi rimasti non ordinati, fino al loro esaurimento.

Quick Sort Esempio: void sort(int a[ ], int inizio, int fine) { int x, y, z; if (fine >inizio) { x = a [inizio]; y= inizio + 1; z= fine+1; while (y < z) { if (a [y] < x) y++; else { r--; swap(a[y], a[z]); } void swap(int & x, int & y) { int temp=x; x=y; y=temp;

Merge Sort E’ un algoritmo di ordinamento basato su confronti che utilizza un processo di risoluzione ricorsivo, sfruttando la tecnica del Divide et Impera, che consiste nella suddivisione del problema in sottoproblemi della stessa natura di dimensione via via più piccola. L'insieme di elementi viene diviso in 2 metà. Se l'insieme è composto da un numero dispari di elementi, viene diviso in 2 sottogruppi dei quali il primo ha un elemento in meno del secondo. Supponendo di avere due sequenze già ordinate. Per unirle, mergesort estrae ripetutamente il minimo delle due sequenze in ingresso e lo pone in una sequenza in uscita.

Merge Sort Esempio: void mergesort (int[] a, int left, int right) { void mersort (int x[ ], int sinistra, int centro, int destra) int i = sinistra, j=centro+ 1,k=0; int y[ ]; while ((i <= centro) && (j <= destra)) { if (x[i] <= x[j]){ y[k]=a[i]; i=i + 1; } else { y[k] = x[j]; j=j + 1; } k=k + 1; for (k =left ;k<right;k++) { a[k] = b[k - left]; void mergesort (int[] a, int left, int right) { int center; if (left < right) { center = (left + right) / 2; mergesort(a, left, center); mergesort(a, center+1, right); merge(a, left, center, right); }

Heap Sort E’ un algoritmo di ordinamento iterativo ed in-place che si basa su strutture dati ausiliarie. L' heapsort per eseguire l'ordinamento, utilizza una struttura chiamata heap (mucchio); un heap è rappresentabile con un albero binario in cui tutti i nodi seguono una data proprietà, detta priorità. Esso è completo almeno fino al penultimo livello dell'albero e ad ogni nodo corrisponde uno ed un solo elemento. In uno heap decrescente (utilizzato per ordinare ad esempio un array in senso crescente) ogni nodo padre contiene un valore maggiore o uguale a quello dei suoi due figli diretti, di conseguenza risulterà maggiore anche di tutti i nodi che si trovano nel sottoalbero di cui esso è la radice.

Heap Sort Esempio: void HeapSort(int a[ ], int n){ int i; int lh = n; Costruisci_Heap(a, n);   for(i = n-1; i > 0; i--){ temp = a[i]; a[i] = a[0]; a[0] = temp; lh--; Rendi_Heap(a, n, lh, 0); } }

Counting Sort E’ un algoritmo di ordinamento per valori numerici interi con complessità lineare. L'algoritmo si basa sulla conoscenza a priori dell'intervallo in cui sono compresi i valori da ordinare. Per ogni elemento x dell'insieme da ordinare si determinano quanti elementi sono minori di x, si usa questa informazione per assegnare ad x la sua posizione finale nel vettore ordinato. Se, ad esempio, vi sono 8 elementi minori di x, allora x andrà messo nella posizione 9 bisogna fare attenzione al caso in cui vi siano elementi coincidenti. In questo caso infatti non vogliamo assegnare a tutti la stessa posizione.

Counting Sort Esempio: void counting_sort(int* A, int Alen, int* B, int k){ int i; int C[k]; for(i=0; i<k; i++) C[i] = 0; int j; for(j=0; j<Alen; j++) C[A[j]] = C[A[j]]+1; for(i=1; i<k; i++) C[i] = C[i]+C[i-1]; for (j=Alen-1; j>=0; j--){ B[C[A[j]]-1] = A[j]; C[A[j]] = C[A[j]]-1; }

Bucket Sort E’ un algoritmo di ordinamento per valori numerici che si assume siano distribuiti uniformemente in un intervallo semichiuso (0,1). Bucket sort suppone che l’input sia generato da un processo casuale che distribuisce gli elementi uniformemente nell’intervallo [0, 1 ]. Il concetto che sta alla base dell’algoritmo è quello di dividere l’intervallo [0, 1 ] in n sottointervalli della stessa dimensione, detti bucket, nei quali vengono distribuiti gli n valori di input. A questo scopo lo pseudocodice che definisce l’algoritmo suppone che l’input sia un array A di n elementi e richiede un array ausiliario B[0...n−1] di liste concatenate (bucket). L’algoritmo procede semplicemente ordinando i valori in ogni bucket tramite un ordinamento di tipo insertion sort. L’output viene infine prodotto concatenando in ordine i vari bucket in un array.

Bucket Sort Esempio: #include <stdio.h>  void bucketSort(int array[ ], int n) {  int i, j;  int count[n];  for(i=0; i < n; i++) {  count[i] = 0;  }  for(i=0; i < n; i++) {  (count[array[i]])++;  }  for(i=0,j=0; i < n; i++) {  for(; count[i]>0; (count[i])--) {  array[j++] = i;  }}} int main() {  int array[] = {1,3,4,6,4,2,9,1,2,9};  int n = 10;  int i;  for (i = 0;i < n;i++) {  printf("%d ", array[i]);  }  printf("\n");  bucketSort(array, n);  for (i = 0;i < n;i++) {  printf("%d ", array[i]);  }  printf("\n");  return 0;