Bambini, slittini e piccole mamme stanche ovvero La Fisica del piano inclinato con attrito Attività Orientamento Formativo A.A. 2009-2010 Dipartimento di Fisica Politecnico di Torino Testi di riferimento: P. A. Tipler, Corso di Fisica vol. I, Zanichelli, 1995 P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica vol. I, EdiSES, 1991 Orientamento Formativo 2009-2010

Le forze tra un oggetto e la superficie su cui poggia Quando un oggetto è in contatto con una superficie, essa esercita sempre una forza sull’oggetto. La componente di tale forza perpendicolare alla superficie è la forza normale. Se il corpo è in equilibrio la seconda legge di Newton ci dice che Attenzione: in generale la forza normale N non è uguale alla forza peso anche se la superficie è orizzontale !!

(a) (b) (c)

Se mettiamo il corpo in moto sulla superficie, dandogli una certa velocità iniziale, tutti sappiamo che esso si muoverà lungo una linea retta con velocità via via decrescente. Nel linguaggio della fisica ciò significa che esso ha un’accelerazione e quindi Deve quindi esistere una forza parallela alla superficie che provoca questa accelerazione. Tale forza è la forza di attrito radente (dinamico) e fa sì che

Ma sappiamo anche dall’esperienza che per mettere in moto un corpo appoggiato su una superficie è necessario spingerlo, cioè applicargli una forza F, e che se questa forza non è sufficiente il corpo non si muove. Finché il corpo resta fermo, deve quindi esistere una forza parallela alla superficie che annulla la forza orizzontale con cui spingiamo. Tale forza è la forza di attrito radente (statico) e fa sì che

Forza d’attrito radente E’ sempre parallela alla superficie di contatto tra i due materiali Si oppone sempre al moto relativo (reale o potenziale) tra corpo e superficie E’ praticamente indipendente dall’area di contatto Infatti a livello microscopico il contatto effettivo avviene soltanto in una piccolissima frazione dell’area di contatto apparente! Immagini tratte da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7° Edition Wiley Higher Eucation ©2007

Considero un oggetto fermo su una superficie scabra (=con attrito) a) Inizio a tirarlo orizzontalmente con una forza che cresce via via (supponiamo, in modo lineare col tempo b) Finché il corpo non si muove, è evidente che la risultante delle forze agente su di esso è nulla  ne consegue che la forza di attrito (statico) è sempre uguale (in modulo) alla forza con cui tiro, e varia con essa fs = F Immagini tratte da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7° Edition Wiley Higher Eucation ©2007

Considero un oggetto fermo su una superficie scabra (=con attrito) c) Ad un certo punto arrivo alla condizione limite e se aumento anche di pochissimo la forza,il corpo inizia a muoversi. Nella condizione limite cioè la forza di attrito è massima. Il valore massimo è proporzionale alla forza normale N Immagine tratta da: Hugh D. Young, Roger A. Freedman UNIVERSITY PHYS ICS 12° Ed. @ 2008 Pearson Addison-Wesley fs max= sN Immagini tratte da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7° Edition Wiley Higher Eucation ©2007

Considero un oggetto fermo su una superficie scabra (=con attrito) d) Una volta che la forza che applico diventa uguale alla forza di attrito statico massimo, il corpo inizia a muoversi. A questo punto scopro che per mantenerlo in moto a velocità costante devo ridurre un po’ la forza. Ciò significa che la forza di attrito dinamico è minore della massima forza di attrito statico: Immagine tratta da: Hugh D. Young, Roger A. Freedman UNIVERSITY PHYS ICS 12° Ed. @ 2008 Pearson Addison-Wesley fd = dN con d < s Immagini tratte da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7° Edition Wiley Higher Eucation ©2007

fs = F  sN fd = dN d < s Attrito statico Attrito dinamico N F P F fs N Attrito statico fs = F  sN Quando la forza esterna applicata è maggiore di sFn  il corpo si muove ed entra in gioco l’attrito dinamico P F fd N Attrito dinamico fd = dN con d < s Questa relazione è vettoriale?

Il problema iniziale… Un papà ed una mamma portano i figli Andrea e Beatrice a sciare con uno slittino. Entrambi riportano i bambini in cima ad una collinetta alta 16.6 m per 10 volte, risalendo un pendio di 80 m. Il padre è molto più alto della madre. Alla fine della giornata la madre ha la netta impressione di aver lavorato più del padre… sarà vero? 16.6 m 80.0 m

I dati del problema sono: Massa dei bambini mA = mB = 20.0 Kg 16.6 m  mslittino = 5.0 Kg 80.0 m  Angolo  (dipende dalla statura di chi tira): Padre  p=45° Madre  m=30° Coefficienti di attrito tra neve e slittino: dinamico d = 0.150 statico s = 0.300 Numero di risalite: n = 10 (a testa)

Questo problema semplice ci serve per illustrare un metodo generale per affrontare la risoluzione dei problemi usando le leggi di Newton. Esso è basato su alcuni passi fissi che vanno affrontati sempre nello stesso ordine. 1. Si fa un disegno chiaro che schematizza la situazione fisica spesso sostituendo agli oggetti i loro sistemi fisici equivalenti (punti materiali) h=16.6 m s=80 m Potrei schematizzare lo slittino con una sfera?

2. Si isola il corpo (punto materiale) che interessa e si disegna un diagramma di corpo libero, indicando ogni forza esterna che agisce sullo slittino. Se più corpi sono presenti nel problema, si disegna un diagramma di corpo libero per ciascuno di essi. h s Dove sono applicate le forze? E’ importante saperlo?

3. Si sceglie un sistema di coordinate appropriato per ciascun corpo y x h s

3. Si sceglie un sistema di coordinate appropriato per ciascun corpo e si scrive la seconda legge di Newton F = ma, poi la si scompone lungo gli assi. y x h s

3. Si sceglie un sistema di coordinate appropriato per ciascun corpo e si scrive la seconda legge di Newton F = ma, poi la si scompone lungo gli assi. y x h s Perché si è posto ax= 0 ?

3. Si risolvono simbolicamente le equazioni così ottenute rispetto alle incognite, usando ogni altra informazione disponibile. Le incognite possono essere le masse, le componenti delle accelerazioni, o le componenti di alcune delle forze. In questo caso l’incognita è la forza T. 1) 2) Quanto valgono gli angoli? s h I valori di  dipendono dalla statura di chi tira lo slittino. Sono dati del problema e valgono per il papà per la mamma

3. Si risolvono simbolicamente le equazioni così ottenute rispetto alle incognite, usando ogni altra informazione disponibile. Le incognite possono essere le masse, le componenti delle accelerazioni, o le componenti di alcune delle forze. In questo caso l’incognita è la forza T. 1) 2) Dalla (2) Che sostituito nella (1) dà

Tp  193 N Tm  167 N Tmx = Tmcosm =144.2 N Tpx = Tpcosp =136.3 N 4. Si inseriscono i valori numerici e le relative unità di misura nelle equazioni risolutive. Nel nostro caso Per cui la forza con cui il papà tira lo slittino è Tp  193 N Mentre la mamma tira con una forza Tm  167 N Notiamo che la forza maggiore è applicata dal papà… Ma se considero le componenti orizzontali Tpx = Tpcosp =136.3 N Tmx = Tmcosm =144.2 N Perché il papà deve tirare con una forza maggiore, ma con componente orizzontale minore?

Ora dobbiamo verificare se davvero la mamma compie più lavoro del papà. Ricordiamo che, nel caso semplice di forza costante agente su un corpo in moto rettilineo, il lavoro compiuto dalla forza durante lo spostamento da A a B è espresso dall’equazione Nel nostro caso - Lo spostamento |Δx| è s=80 m per ogni risalita La forza è T Le risalite compiute sono n=10 P O Quindi il lavoro compiuto dal papà è e il lavoro compiuto dalla mamma è

 la madre aveva ragione! La differenza di lavoro (ossia di energia spesa dall’organismo) è data da: che equivale al lavoro che si compie sollevando per ben 100 volte una massa di 6.5 Kg da terra ad un metro di altezza!!  la madre aveva ragione!

Qual è la forza che lo slittino esercita sulla superficie della neve mentre scende? Se l’attrito tra i pattini dello slittino e la neve fosse nullo, quale sarebbe l’accelerazione dello slittino durante la discesa?

 Wx = Mgsin Wy = - Mgcos Ny = N  Operiamo nel solito modo e costruiamo il diagramma di corpo libero per lo slittino Poi scegliamo gli assi… N y x …e scomponiamo le forze  A B C h Wx = Mgsin Wy Wx  W Wy = - Mgcos Ny = N Poi scriviamo l’equazione di Newton lungo gli assi  lungo x  Fx = Mgsin = Max lungo y  Fy = N - Mgcos = May = 0 Com’è fatta la risultante delle forze?

Risolviamo le equazioni per ottenere N e l’accelerazione  lungo x  Mgsin = Max  ax = gsin lungo y  N - Mgcos = 0  N = Mgcos Usando i valori numerici M = 45.0 kg  = 12° g=9.81 m/s2 otteniamo ax = 9.81m/s2  0.208  2.04 m/s2 N = 45.0 kg  9.81 m/s2  0.98  433 N

Tenendo invece conto dell’attrito tra i pattini dello slittino e la neve (d=0.150 ), qual è l’accelerazione dello slittino quando scende dalla sommità del pendio?

 Wx = Mgsin Wy = - Mgcos Ny = N fd,x = -fd = -dN = - dMgcos  Operiamo nel solito modo e costruiamo il diagramma di corpo libero per lo slittino. Stavolta c’è anche la forza di attrito! Poi scegliamo gli assi, scomponiamo le forze e scriviamo l’equazione di Newton in componenti  A B C h W N Wy Wx y x Wx = Mgsin fd Wy = - Mgcos Ny = N fd,x = -fd = -dN = - dMgcos  lungo x  Fx = Mgsin - dMgcos = Max lungo y  Fy = N - Mgcos = May = 0

Risolviamo le equazioni per ottenere N e l’accelerazione  x  Mgsin - dMgcos = Max  ax = g(sin - dcos) y  N - Mgcos = 0  N = mgcos Con i dati originari: M = 45.0 kg,  = 12°, g = 9.81 m/sec2, d = 0.150 ax = 9.81 m/s2 (0.21 – 0.10.98) = 1.10 m/sec2

Tenendo conto dell’attrito con la neve, qual è la velocità dello slittino quando arriva al fondo del pendio? La velocità finale dello slittino si può facilmente ottenere applicando le equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato lungo la direzione x parallela al piano inclinato e usando l’accelerazione appena calcolata. Proviamo invece qui a fare il calcolo usando considerazioni energetiche.

Energia e sua conservazione In un sistema isolato soggetto a forze solo conservative (attrito assente*) vale il principio di conservazione dell’energia meccanica E: E = U + K = cost  E = U + K = 0 dove U = energia potenziale, K = energia cinetica = ½mv2 ossia: Uf – Ui + Kf – Ki = 0  Ui + Ki = Uf + Kf In un sistema che contiene forze non conservative (attrito presente) il lavoro di tali forze dissipative è uguale alla variazione totale di energia meccanica E del sistema: Lnc = E = U + K = Uf – Ui + Kf – Ki dove se la forza non-conservativa Fnc è costante (vettorialmente!) si ha: s è lo spostamento (vettore) lungo cui Fnc ha lavorato Perché un sistema sia conservativo è proprio necessario che non ci sia attrito?

fd,x = -fd = -dN = - dMgcos Nel nostro caso x y Fn fd,x = -fd = -dN = - dMgcos fd C Lnc = - dMgcoss h s P ΔE = 0 - Mgh + ½ Mvf2 - 0  Uf Ui Kf Ki B A da cui, scrivendo h=s sin: d g s cos = g s sin - ½ vf2 Con i dati originari:  = 12°, g = 9.81 m/sec2, d = 0.150, s = 80.0 m h=16.6 m vf = 9.80 m/s 35 km/h (senza attrito sarebbe stata vf = 2gh = 18.0 m/sec)

Quesiti 1) La forza che il papà deve applicare allo slittino per farlo avanzare a velocità costante su un tratto orizzontale è maggiore se spinge come in (a) o se tira come in (b)? Si usino i dati del problema e gli angoli indicati in figura. M = 45.0 kg d = 0.150 s = 0.300 M Immagini tratte da: Raymond A. Serway - John W. Jewett Fisica per scienze ed ingegneria 4° edizione EdiSES ©2009

Dimostrare che lo slittino non si muove. Quesiti 2) Lo slittino è inizialmente fermo. La mamma, esausta, riesce solo più ad applicare una forza orizzontale pari a 100 N. Dimostrare che lo slittino non si muove. Il papà cerca di aiutarla tirando verso l’alto lo slittino. Quale forza minima verticale deve applicare per far spostare lo slittino? Quale forza addizionale dovrebbe invece applicare il papà se, anziché sollevare, si limitasse a spingere? M = 45.0 kg d = 0.150 s = 0.300 Fp Fp Fm Fm Domanda (b) Domanda (c) Immagini tratte da: Raymond A. Serway - John W. Jewett Fisica per scienze ed ingegneria 4° edizione EdiSES ©2009

3) E’ corretto dire che la forza di attrito è sempre opposta al moto? Quesiti 3) E’ corretto dire che la forza di attrito è sempre opposta al moto? Il camion sta accelerando (a= +1.50 m/s2). La cassa (m= 120 kg) non scivola sul pianale. Quale forza fa accelerare la cassa ? Immagini tratte da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7° Edition Wiley Higher Eucation ©2007

Quesiti 4) Che cosa NON sarebbe possibile fare in un mondo senza attrito? Provate a immaginare… Camminare? Andare in bici? Lavarsi i denti? Guidare? Pattinare? Mangiare? Scrivere? Farsi una spremuta? Pulire i vetri? Salire su una scala? Immagini tratte da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7° Edition Wiley Higher Eucation ©2007 Raymond A. Serway - John W. Jewett Fisica per scienze ed ingegneria 4° ed. EdiSES ©2009

Quesiti 5) Quando siete in auto e fate una curva, che cosa vi permette di cambiare la direzione dell’auto? 6) Applicando la conservazione dell’energia e trascurando l’attrito con l’aria, stimate a quale velocità arriverebbe a terra una goccia di pioggia. Vi serve sapere la massa della goccia? Immagine tratta da: John D. Cutnell, Kenneth W. Johnson, Physics, 7° Edition Wiley Higher Eucation ©2007

Quesiti 7) Dovete progettare una rotaia di montagne russe con un giro della morte. Chiamate R il raggio del cerchio. Trascurando l’attrito, da quale altezza partireste con il vostro carrello per essere sicuri di non cadere? Immagine tratta da: Hugh D. Young, Roger A. Freedman UNIVERSITY PHYS ICS 12° Ed. @ 2008 Pearson Addison-Wesley Immagine tratta da: Raymond A. Serway - John W. Jewett Fisica per scienze ed ingegneria 4° edizione EdiSES ©2009

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Quesiti 8) Su quale principio si basa l’ABS (sistema anti-bloccaggio delle ruote) nelle auto? Perché è importante che le ruote non scivolino? Senza ABS