Analisi ai nodi Step 1: numerare ordinatamente tutti i nodi della rete Step 2: scegliere un nodo come riferimento Step 3: costruire la matrice delle ammettenze Y Step 4: costruire il vettore dei generatori di corrente ai nodi i Step 5: risolvere il sistema Ye = i con e vettore dei potenziali ai nodi Finito!

Analisi ai nodi CHIARO?

Analisi ai nodi Consideriamo il circuito in figura: I nodi sono contrassegnati da lettere (A, B,…). Per comodità sostituiamo le lettere con numeri: abbiamo appena effettuato il primo step.

Analisi ai nodi 1 3 2 4 Scegliamo il nodo 4 come riferimento (non lo considereremo nelle equazioni). Questo è il secondo step.

Analisi ai nodi 1 2 3 4 La matrice delle ammettenze Y ha numero di righe e numero di colonne pari al numero di nodi meno 1, nel nostro caso 4 – 1 = 3.

Come si calcolano questi elementi? Analisi ai nodi 1 2 3 4 Quando una matrice è formata da 3 righe e 3 colonne si dice che è una matrice 3x3. Il primo elemento della prima riga sarà y[1,1], il secondo elemento della prima riga sarà y[1,2], il terzo elemento della prima riga sarà y[1,3], il primo elemento della seconda riga sarà y[2,1], … Quindi il primo dei due numeri (indici) individua la riga, il secondo la colonna. Come si calcolano questi elementi?

Analisi ai nodi Semplicissimo! (o quasi). 1 2 3 4 Semplicissimo! (o quasi). Gli elementi del tipo y[i,i] sono dati dalla somma di tutte le conduttanze che convergono direttamente nel nodo i.

Analisi ai nodi 1 2 3 4 Per esempio nel nodo 1 convergono direttamente le resistenze R1, R4 ed R3, quindi: y[1,1] = G1 + G4 + G3 = 1/10 + 1/200 + 1/200 = 0,11

Analisi ai nodi 1 2 3 4 Gli elementi del tipo y[i,j] sono dati dalla conduttanza cambiata di segno tra il nodo i ed il nodo j.

Analisi ai nodi 1 2 3 4 Per esempio y[1,2] = -1/R4, perché tra i nodi 1 e 2 c’è solo R4. Se due nodi i e j non sono collegati direttamente allora y[i,j] = 0. Fatto lo step 3.

Analisi ai nodi 1 2 3 4 Il vettore dei generatori di corrente ai nodi i si costruisce così: Al primo posto si considera la somma di tutti i generatori di corrente entranti nel nodo 1, al secondo posto la somma dei generatori di corrente entranti nel nodo 2, …

Analisi ai nodi 1 2 3 4 Se in un nodo converge, invece, un generatore di tensione con in serie una resistenza, il termine da considerare sarà del tipo E/R

Analisi ai nodi Nel nostro caso: Perché l’ultimo termine è negativo? 1 2 3 4 Nel nostro caso: Nodo 1 E1/R1 = 5/10 = 0,5 Nodo 2 I0 = 0,04 Nodo 3 - E2/R2 = - 5/20 = - 0,025 Quindi i = [0,5 0,04 -0,025] Perché l’ultimo termine è negativo?

Analisi ai nodi Cosa è il vettore e dei potenziali ai nodi? 1 2 3 4 Cosa è il vettore e dei potenziali ai nodi? e[1] è il potenziale del nodo 1 rispetto al nodo di riferimento (nel nostro caso il nodo 4). In pratica è la V14. Noti i potenziali dei nodi 1, 2 e 3 rispetto al riferimento 4 è possibile calcolare tutte le tensioni nel circuito e tutte le correnti.

Analisi ai nodi Ecco il sistema di equazioni in forma matriciale. 1 2 3 4 Ecco il sistema di equazioni in forma matriciale.

Analisi ai nodi 1 2 3 4 E ora facciamo partire Scilab…