LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”-UDINE LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO a cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco

Cosa sono le equazioni? Un’uguaglianza tra due espressioni algebriche può essere di due tipi: sempre vera, indipendentemente dal valore delle lettere che vi compaiono: in tal caso si parla di identità vera solo per particolari valori numerici attribuiti alle lettere che vi compaiono: in tal caso si parla di equazione

Ad esempio: l’uguaglianza a2-b2= (a+b)·(a-b) è un’identità, mentre l’uguaglianza 2x-3=x+1 è un’equazione che è verificata solo per il valore x=+4

Cos’è l’ incognita? In un’ equazione possono comparire una o più lettere di cui si deve cercare il valore numerico: queste lettere sono chiamate incognite e per convenzione vengono indicate con le ultime lettere dell’alfabeto x y z t

Quale è il grado di un’equazione? Il grado di un’equazione è determinato dall’esponente dell’incognita: se l’incognita compare con esponente 1 allora l’equazione si dice di primo grado o lineare ad esempio è lineare l’equazione 2x+5=-3x+1

Come si classificano le equazioni? Un’equazione si dice: numerica se oltre all’incognita non compaiono altre lettere letterale se oltre all’ incognita compaiono altre lettere,chiamate parametri intera se l’incognita non compare al denominatore frazionaria se l’incognita compare al denominatore

Quali sono i componenti di un’equazione? In un’equazione il segno “=“ separa il primo membro dal secondo membro 3x-10 = -4x+3 primo membro secondo membro

Cosa significa risolvere un’equazione? Risolvere un’equazione significa trovare il valore o i valori numerici che assegnati all’incognita rendono l’equazione un’uguaglianza sempre vera. Questi valori sono detti soluzioni o radici dell’equazione.

Quante sono le soluzioni di un’equazione? Un’equazione ammette un numero di soluzioni pari al suo grado: un’equazione di primo grado ha perciò una soluzione, una di secondo due soluzioni e così via. Ci sono però anche dei casi particolari: equazioni che non ammettono soluzioni, dette impossibili equazioni che ammettono infinite soluzioni, dette indeterminate

Ad esempio: l’equazione x = x +1 è chiaramente impossibile, perché non può essere verificata per nessun valore di x (nessun numero infatti è uguale a se stesso aumentato di un’unità) invece, l’equazione x+1=x+1 è verificata per qualsiasi valore di x e quindi è indeterminata

Come si risolve un’equazione di primo grado? Pensiamo ad un’equazione come ad una bilancia: ogni membro corrisponde ad un piatto della bilancia; il segno “= “ implica che i due piatti sono in equilibrio, cioè i due membri hanno “lo stesso peso”

Ad esempio consideriamo l’equazione 3x+1=x+5 e rappresentiamo la situazione tramite una bilancia: se indichiamo l’incognita e i numeri con i pesi x 1

otteniamo una situazione come quella qui raffigurata 3x+1 = x+5 1 1 1 x x x x 1 1 1

se togliamo un peso “x” da ogni piatto si conserva l’equilibrio l’equazione 3x+1=x+5 diventa allora 2x+1= 5 1 1 1 x x x x 1 1 1

L’equilibrio tra i due piatti si conserverà anche se da ognuno dei due piatti togliamo un peso di una unità questo equivale a trasformare l’equazione 2x+1=5 nell’equazione 2x=4 x x 1 1 1 1 1 1

quindi il peso di due x vale 4 pesi unitari 1 1 1 1

questo equivale a trasformare l’equazione 2x=4 nell’equazione x=2 l’equilibrio tra i due piatti si conserverà allora se dimezziamo i pesi sia nel piatto destro sia in quello sinistro questo equivale a trasformare l’equazione 2x=4 nell’equazione x=2 x x 1 1 1 1

Quindi alla fine abbiamo ottenuto che una x “pesa” quanto due pesi unitari cioè 1 1

I principi di equivalenza sono due: I passaggi che abbiamo fatto sui piatti della bilancia corrispondono a passaggi di equivalenza, cioè a passaggi algebrici che trasformano una equazione in un’altra che ha le stesse soluzioni I principi di equivalenza sono due: 1° principio di equivalenza: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione una stessa quantità numerica o letterale si ottiene un’equazione equivalente a quella data 2° principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per una quantità numerica o letterale (non nulla) si ottiene un’equazione equivalente a quella data

I principi di equivalenza si traducono poi nelle seguenti regole pratiche In un’equazione si può trasportare un termine da un membro all’altro purchè lo si cambi di segno Se nei due membri di un’equazione compaiono due termini uguali essi possono essere soppressi In un’equazione è possibile cambiare i segni a tutti i termini dell’equazione

Schema riassuntivo per la risoluzione delle equazioni di primo grado Si effettuano i passaggi di equivalenza fino a portare l’equazione data nella forma: ax=b

A questo punto si possono verificare tre casi: a0 si dividono entrambi i membri per a e si ottiene la soluzione x=b/a a=0, b0 allora l’equazione è della forma 0·x=b (con b0) e quindi non ha soluzione, è cioè impossibile, perché nessun numero moltiplicato per zero dà come risultato un numero diverso da zero a=0 e b=0 allora l’equazione è della forma 0·x=0 e quindi ha infinite soluzioni, è cioè indeterminata, perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero

Esempi Cerchiamo la soluzione dell’equazione: 5x-12=2x+3 portiamo tutti i termini con la x a sinistra e tutti i numeri a destra , ricordandoci di cambiare i segni 5x -12 = 2x +3

quindi l’equazione diventa: 5x -2x = +12 +3 riducendo i termini simili otteniamo +3x = +15 dividendo entrambi i membri per +3 si ottiene: x = +5

Consideriamo l’equazione: 3·(1+2x)=6·(x-2) svolgiamo le moltiplicazioni e otteniamo: +3 +6x = +6x -12 spostiamo tutti i termini con la x a sinistra e i numeri a destra +3 +6x = +6x -12 e otteniamo: 0·x = -9 equazione impossibile

Consideriamo ora l’equazione: 3·(4-2x)=6·(2-x) svolgiamo le moltiplicazioni e otteniamo: +12 -6x +12 -6x = spostiamo tutti i termini con la x a sinistra e tutti i numeri a destra +12 -6x = +12 -6x e otteniamo: 0·x = equazione indeterminata