Le equazioni x2 − 4 = 0 1 x = x0 + v • t + a • t2 2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 x + 5 = 6 (x − 1)2 = x2 + 2x + 1 x2 − 4 = 0 2x = 12 + x x + 5 − x = 5 x = x0 + v • t + a • t2 1 2 2x − 3 = 9 4x + 3 = 13x − 2 Le equazioni

Il concetto di identità “Se a un numero addizioniamo 5 e poi sottraiamo il numero stesso, otteniamo 5”. Questa frase può essere tradotta in un’uguaglianza. Infatti, se indichiamo con x il numero, possiamo scrivere: x + 5 − x = 5 Questa uguaglianza è vera per qualsiasi valore attribuito alla lettera x, per esempio: • se x = 2 allora 2 + 5 − 2 = 5 5 = 5 • se x = 0 allora 0 + 5 − 0 = 5 5 = 5 Un’uguaglianza di questo tipo si chiama identità. L’identità è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere che in essa figurano.

Alcuni esempi • “Il doppio di un numero relativo addizionato al numero stesso dà come somma il triplo del numero.” In termini matematici: 2x + x = 3x 3x = 3x Tale uguaglianza è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore venga attribuito alla lettera x. • L’uguaglianza (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore delle lettere a e b; per esempio: se a = 0 e b = 1 allora (0 + 1)2 = 02 + 2 × 0 × 1 + 12, cioè 1 = 1; se a = 3 e b = 1 allora (3 + 1)2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12, cioè 16 = 16. Prova tu • “Il triplo di un numero aumentato del suo doppio è uguale al quintuplo del numero.” Traduci questa frase in una espressione letterale: ................... È una identità? …… 3x +2x = 5x 5x = 5x è una identità

L’equazione “Se a un numero naturale addizioniamo 5, otteniamo 6”. In termini matematici: x + 5 = 6 Tale uguaglianza è vera solo per un particolare valore attribuito alla lettera x, e cioè il valore 1. Infatti se x = 1 allora 1 + 5 = 6 6 = 6 (vero) Se invece, per esempio: x = 0 allora 0 + 5 = 6 5 = 6 (falso) x = 3 allora 3 + 5 = 6 8 = 6 (falso) Un’uguaglianza di questo tipo si chiama equazione e la lettera x si dice incognita. Incognita vuol dire “non conosciuta”. Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti all’incognita o alle incognite che in essa figurano.

Alcuni esempi • Se a un numero relativo aggiungiamo 8, otteniamo 5. Qual è il numero? Indicando con y il numero che non conosciamo (l’incognita), l’equazione che traduce il problema è: y + 8 = 5 L’uguaglianza è vera quando a y attribuiamo il valore −3. Infatti: −3 + 8 = 5 • Troviamo quel numero relativo che, elevato al quadrato, dà 25. Indicando con x l’incognita, l’equazione è: x2 = 25 L’uguaglianza è vera quando a x attribuiamo due valori: 5 o −5. Infatti: (5)2 = 25 e (−5)2 = 25 Prova tu • Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze indicano un’identità (I) e quali un’equazione (E). 2x + 3x = 5x ...... 2x + 3x = 5 ...... 2x = 0 ...... 0 • x = 0 ...... (x − 1)2 = x2 + 2x + 1 ...... I E

Conosciamo i termini di un’equazione Nelle equazioni l’espressione scritta a sinistra dell’uguale si dice 1° membro; quella a destra 2° membro: 2x = 25 1° membro 2° y + 8 = 5 x2 = 25 • La lettera che compare nelle equazioni, ed esprime un valore numerico variabile, si dice incognita. • Il numero che moltiplica l’incognita si dice coefficiente dell’incognita. • I termini che non contengono incognite si dicono termini noti. • Il valore che attribuito all’incognita rende vera l’uguaglianza, se esiste, si dice soluzione o radice dell’equazione. Un’equazione può avere più soluzioni o nessuna soluzione.

Risolvere un’equazione significa trovare le sue soluzioni. Soluzione e grado di un’equazione Risolvere un’equazione significa trovare le sue soluzioni. La soluzione di un’equazione si indica solitamente con una semplice uguaglianza tra l’incognita utilizzata e il valore trovato. 2x = 25 y + 8 = 5 x2 = 25 a2 = −36 x = 2 25 y = − 3 x = 5 nessuna soluzione Il grado di un’equazione a un’incognita è dato dall’esponente massimo con cui essa appare. Se l’incognita compare con l’esponente 1 si ha un’equazione di 1° grado a un’incognita → y = 2 Se l’incognita compare con l’esponente 2 si ha un’equazione di 2° grado a un’incognita → x2 − 4 = 0

Equazioni famose Lo sviluppo del sapere scientifico è disseminato di equazioni famose. Sicuramente ti sarà capitato di leggere da qualche parte la celebre equazione di Albert Einstein (1879-1955), che lega l’energia alla massa: E = mc2 Avrai anche studiato le equazioni di Galileo (1564-1642) per il moto, che legano posizione e velocità di un corpo: x = x0 + v • t + a • t2 1 2 Gli scienziati per descrivere ogni genere di situazione utilizzano spesso equazioni complicatissime.

Alcuni esempi Prova tu 2x − 3 = 9 l’incognita è x i termini noti sono −3 e 9 è un’equazione di 1° grado L’uguaglianza è vera per x = 6. L’uguaglianza è vera per x = 5 e x = − 5. x2 = 25 l’incognita è x il termine noto è 25 è un’equazione di 2° grado x • y = 24 è un’equazione di 2° grado perché il termine x • y è un monomio di 2º grado; le incognite sono x e y e il termine noto è 24. I valori che rendono vera l’uguaglianza sono infinite coppie ordinate: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (6, 4), …….. Prova tu • Indica le incognite, i termini noti e il grado delle seguenti equazioni. 6x − 1 = 15 2 = 4 + 3a 3xy = 1

Quando per un’equazione abbiamo S = , l’equazione si dice impossibile. L’insieme delle soluzioni L’insieme delle soluzioni di un’equazione si indica con S. Nel caso delle equazioni: 2x = 25 y + 8 = 5 x2 = 25 a2 = −36 S = {− 3} S = { + 5; −5 } S = 2 25 Quando per un’equazione abbiamo S = , l’equazione si dice impossibile. È sempre importante considerare l’insieme in cui si opera. Infatti può accadere che: il valore esista ma non sia accettabile perché non appartiene all’insieme di esistenza. non esista alcun valore che verifichi l’equazione. Allora diciamo che l’equazione è impossibile.

Alcuni esempi • Troviamo quel numero intero relativo che è uguale a se stesso aumentato di 2. x = x + 2 x ∈ Z La frase che esprime il problema ci fa capire che non può esistere alcun numero che verifichi questa uguaglianza: quindi l’equazione è impossibile non solo in Z ma in un qualsiasi altro insieme numerico. • Troviamo quel numero naturale il cui doppio è uguale a 25. 2x = 25 x ∈ N L’uguaglianza risulta vera quando a x attribuiamo il valore 2 25 infatti 2 • = 25 25 = 25 2 25 Tale valore però non è accettabile perché operiamo in N e 2 25 ∉N L’equazione è impossibile nell’insieme dei numeri naturali. Prova tu • in N □ x +1 = 3 □ 5x + 5 = 5 □ 3x = 5 • in Qa □ 5 + x = 0 □ 5x = 9 □ 4x = 1 • in R □ x2 = 4 □ x2 = −49 x Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono impossibili.

Esercitati • Completa le frasi scegliendo tra i termini particolari valori, almeno due, disuguaglianza, uguaglianza, almeno una, qualsiasi valore. Una identità è una ............................ fra due espressioni algebriche di cui ................................ letterale, verificata per .............................. attribuito alle lettere che in essa figurano. uguaglianza almeno una qualsiasi valore particolari valori uguaglianza almeno una Una equazione è una ....................... fra due espressioni algebriche di cui ........................ letterale, verificata solo per .......................... attribuiti alla lettera o alle lettere che in essa figurano.

Esercitati • Verifica che l’uguaglianza x2 − 2x + 1 = (1 − x)2 è una identità attribuendo alla lettera x almeno quattro valori a piacere. Se x = ...... allora ........................ Se x = ...... allora ....................... • Considera l’equazione 4x + 3 = 13x − 2 e i suoi vari elementi. L’equazione assegnata è di primo o di secondo grado? .................. Come riconosci se è di primo o di secondo grado? .........................……………………………………………………. primo • Scrivi: a) una equazione di primo grado con la sola incognita x: ................... b) una equazione di primo grado con le incognite x e y: ..................... c) una equazione di secondo grado con la sola incognita y: ...............