Minimo comune multiplo M6 M8 = {24, 48, 72, …} Minimo comune multiplo M12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, …} M4= {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ..,72} M6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, …, 72, …} M8 M16 {16, 32, 48, 64, 80, …} = M16

I multipli comuni Consideriamo in N0 l’insieme M6 dei multipli di 6 e l’insieme M8 dei multipli di 8: M6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, …, 72, …} M8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …, 72, …} Eseguiamo l’intersezione dei due insiemi: M6 M8 = {24, 48, 72, …} L’intersezione contiene i numeri multipli sia di 6 che di 8, ovvero i multipli comuni a 6 e 8. Dati gli insiemi dei multipli di due numeri naturali, la loro intersezione costituisce l’insieme dei multipli comuni a tali numeri.

Il minimo comune multiplo Tornando alla rappresentazione degli insiemi M6 e M8, osserviamo che 24 è il minore dei multipli comuni a 6 e a 8. Il numero 24 viene detto minimo comune multiplo di 6 e 8 e si scrive: m.c.m.(6, 8) = 24 In generale, in N0, se Ma ed Mb rappresentano gli insiemi dei multipli di due numeri naturali a e b, si chiama minimo comune multiplo (m.c.m.) dei due numeri il minore degli elementi dell’insieme Ma Mb. Il minimo comune multiplo di due o più numeri è il minore dei multipli comuni a quei numeri.

Alcuni esempi • Per trovare il minimo comune multiplo di 12 e 18 dobbiamo: - scrivere in N0 alcuni multipli di 12 e alcuni multipli di 18: M12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, …} M18 = {18, 36, 54, 72, 90, …} - cercare tra i multipli di 12 quelli che lo sono anche di 18: M12 M18 = {36, 72, …} - individuare tra questi il più piccolo. Quello è il m.c.m. di 12 e 18, cioè: m.c.m.(12, 18) = 36 Prova tu Considera l’insieme M8 dei multipli di 8 e l’insieme M10 dei multipli di 10, rappresenta l’insieme dei multipli comuni M8 M10 = {.........................} e determina il m.c.m.(8, 10): ………………. 40; 80; 120; 160; … 40

Altri esempi Prova tu • Calcoliamo il m.c.m. fra 4, 6 e 9. M4 M6 M9 = {36, 72, …} m.c.m.(4, 6, 9) = 36 Prova tu Determina il m.c.m.(3, 4, 5). m.c.m.(3, 4, 5) = 60

Se un numero è multiplo dell’altro Determiniamo il minimo comune multiplo di due numeri di cui uno è multiplo dell’altro, per esempio m.c.m.(8, 16). Si ha: M8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, …} M16 = {16, 32, 48, 64, 80, …} Rappresentiamo gli insiemi ed eseguiamo l’intersezione. M8 M16 {16, 32, 48, 64, 80, …} = M16 m.c.m.(8, 16) =16 Dati due numeri a e b se b è multiplo di a, allora il m.c.m.(a, b) = b.

Il m.c.m. fra due numeri primi fra loro è il loro prodotto. Il m.c.m. fra due numeri primi tra loro Determiniamo il m.c.m. fra numeri primi fra loro: 5 e 9. M5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ..., 90, ...} M9 = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ...} M5 M9 = {45, 90, ...} m.c.m.(5, 9) = 45 Notiamo che 45 = 5 × 9. Determiniamo ora il m.c.m. fra 3 e 7, anch’essi primi fra loro. M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ..., 42, ...} M7 = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ...} M3 M7 = {21, 42, ...} m.c.m.(3, 7) = 21 Notiamo che 21 = 3 × 7. Il m.c.m. fra due numeri primi fra loro è il loro prodotto.

Alcuni esempi Prova tu • Determiniamo il m.c.m. fra 7 e 35. Poiché 35 è multiplo di 7 secondo 5, scriviamo: m.c.m.(7, 35) = 35 • Determiniamo il m.c.m. fra 8 e 9. I numeri 8 e 9 sono primi fra loro: infatti M.C.D.(8, 9) = 1. Quindi: m.c.m.(8, 9) = 72 Prova tu • Considera l’insieme M8 dei multipli di 8 e l’insieme M4 dei multipli di 4; poiché M4 M8, allora: m.c.m. (8, 4) = ............... 8 • Considera l’insieme M8 dei multipli di 8 e l’insieme M5 dei multipli di 5; poiché 8 e 5 sono ................................ il m.c.m. (8, 5) = ............ primi fra loro 8 × 5 = 40

Ricerca del m.c.m. con i fattori primi Per calcolare il m.c.m. fra due o più numeri conviene, a volte, utilizzare la scomposizione dei numeri in fattori primi. Calcoliamo con questo metodo il m.c.m.(60, 18). • Scomponendo abbiamo: 60 = 22 × 3 × 5 18 = 2 × 32 • Il m.c.m. deve essere multiplo di 60 e di 18, quindi deve contenere tutti i fattori primi che compaiono in ognuna delle due scomposizioni, cioè 2, 3 e 5. • Per determinarlo, dobbiamo allora prendere: 22 che è multiplo anche di 2 (contiene anche il 2); 32 che è multiplo anche di 3; 5 perché 60 contiene anche il 5. Quindi m.c.m.(60, 18) = 22 × 32 × 5 = 180. Il m.c.m. di più numeri scomposti in fattori primi è dato dal prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una volta sola, col massimo esponente.

Alcuni esempi Prova tu • Calcoliamo il m.c.m.(48, 120). Scomponendo in fattori primi otteniamo: 48 = 24 × 3 120 = 23 × 3 × 5 Prendendo i fattori primi comuni e non comuni col massimo esponente abbiamo: m.c.m.(48, 120) = 24 × 3 × 5 = 240 • Calcoliamo il m.c.m. di: 22 × 32 2 × 32 × 5 2 × 3 ×112 Moltiplichiamo tra loro tutti i fattori con il massimo esponente che compaiono nelle scomposizioni: m.c.m. = 22 × 32 × 5 × 112 = 21780 Prova tu • Completa. 48 = 24 × 3 30 = 2 × 3 × 5 m.c.m.(48, 30) = ........... 22 22 × 7 22 × 72 m.c.m. =....................... 22 × 192 2 × 19 52 m.c.m. =....................... 24 × 3 × 5 = 240 22 × 72 = 196 22 × 192 × 52 = 36100

L’allineamento dei pianeti Giove, Urano e Saturno sono tre pianeti del sistema solare. Come la Terra, anche questi pianeti si muovono ruotando attorno al proprio asse e attorno al Sole. Per compiere un giro completo attorno al Sole, Giove impiega 12 anni, Urano 84 e Saturno 29. Se quest’anno si trovassero allineati rispetto al Sole, fra quanti anni si ripeterebbe il fenomeno? Perché i tre pianeti si ritrovino allineati deve passare un numero di anni multiplo di tutti e tre i periodi di rotazione. Calcoliamo il m.c.m. dei tre periodi: m.c.m. (12, 84, 29) = ………………. I tre pianeti saranno nuovamente allineati tra ……………………. 2436 203 anni

Esercitati • Completa la frase scegliendo tra i termini e i simboli unione, intersezione, inclusione, , , , finito, infinito. L’insieme dei multipli comuni a 5 e 2 è l’ .............................. dell’insieme M5 dei multipli di 5 e dell’insieme M2 dei multipli di 2; si scrive M5 .......... M2 ed è un insieme ............................ intersezione finito • Scrivi almeno 3 multipli comuni ai due insiemi M5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...} ................................................................................................ 10, 20,30 • Completa le seguenti regole utilizzando i termini prodotto, più grande, minore. Il m.c.m. tra due numeri è uguale al ..................... degli elementi dell’intersezione dei due insiemi. Il m.c.m. tra due numeri, uno multiplo dell’altro, è uguale al numero ............................ Il m.c.m. tra due numeri primi è il loro ............................ prodotto più grande

Esercitati • Considera gli insiemi dei multipli sotto indicati e trova i corrispondenti m.c.m. M12 = {12, 24, 36, 48, ...} M8 = {8, 16, 24, 32, 40, ...} m.c.m.(12, 8) = ................. M10 = {10, 20, 30, ...} M5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} m.c.m.(10, 5) = ................. M5 = {5, 10,15, 20, 25, 30, ...} M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...} m.c.m.(5, 3) = ................. 23 × 3 = 24 2 × 5 = 10 5 × 3 = 15 • Completa la regola utile a trovare il m.c.m. con il metodo della scomposizione in fattori primi. Dati 2 numeri scomposti in fattori primi, il m.c.m. è il ............................ di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta, col massimo ............................ multiplo esponente • 12 = 22 × 3 36 = 22 × 32 m.c.m.(12, 36) .......... × .......... = .......... • 12 = 22 × 3 10 = 2 × 5 m.c.m.(12, 10) ........................ = .......... 22 × 32 = 36 22 × 3 × 5 = 60