Circonferenze e rette nel piano

Una circonferenza e una retta Una retta e una circonferenza possono avere in comune non più di due punti. Osserviamo le loro posizioni reciproche. • secante se hanno due punti in comune; • tangente se hanno un solo punto in comune; • esterna quando non hanno alcun punto in comune.

Una retta esterna Retta esterna alla circonferenza: La retta a non ha alcun punto in comune con la circonferenza , con raggio di misura r. In questo caso la distanza OH tra la retta a e il centro O della circonferenza è maggiore del raggio.

Una retta tangente Retta tangente alla circonferenza: La retta a ha un solo punto in comune con la circonferenza di raggio di misura r. Il punto H, in comune, è detto punto di tangenza. La distanza OH tra la retta a e il centro O della circonferenza è congruente al raggio. Il raggio OH è perpendicolare alla retta a nel punto di tangenza H.

Una retta secante Retta secante alla circonferenza: La retta a ha due punti in comune con la circonferenza di raggio di misura r. In questo caso la distanza OH tra la retta a e il centro O della circonferenza è minore del raggio.

Tangenti a una circonferenza Tracciamo due tangenti alla circonferenza da un punto P esterno alla circonferenza stessa. Raggio OA s Raggio OB t Gli angoli e sono retti e i triangoli OBP e OPA sono rettangoli. I segmenti PB e PA detti segmenti di tangenza sono congruenti. BP = PA Gli angoli e sono tra loro congruenti.

Alcuni esempi La circonferenza qui a fianco ha raggio lungo 5 cm. Dal punto P, esterno a essa, tracciamo la tangente nel punto A. Il segmento di tangenza PA è lungo 12 cm, calcola la misura della distanza di P dal centro O. Applica il teorema di Pitagora al triangolo OPA retto in A e trova la lunghezza dell’ipotenusa PO:

Prova tu Osserva il disegno qui a fianco. Il raggio della circonferenza è lungo 10 cm e il segmento di tangenza dal punto P alla circonferenza è lungo 24 cm. Quanto misura la distanza di P dal centro O della circonferenza? OA = …….. cm AP = …….. cm OP =……..……………………………………………………… 26 cm 10 24

Due circonferenze nello stesso piano Due circonferenze contenute in uno stesso piano possono avere in comune non più di 2 punti. Esaminiamo le possibili posizioni reciproche di due circonferenze. Le circonferenze nel disegno sono esterne l’una all’altra. Due circonferenze sono esterne l’una all’altra se: • non hanno alcun punto in comune: • la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi:

Circonferenze tangenti esternamente Le circonferenze nel disegno sono tangenti esternamente. Due circonferenze sono tangenti esternamente se: • hanno un solo punto in comune, detto punto di tangenza: • la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi:

Circonferenze tangenti internamente Le circonferenze nel disegno sono tangenti internamente. Due circonferenze sono tangenti internamente se: • hanno un solo punto in comune, detto punto di tangenza: • la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi:

Due circonferenze si incontrano Le circonferenze nel disegno sono secanti. Due circonferenze sono secanti se: • hanno due punti in comune: • la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza:

Una dentro l’altra Le circonferenze nel disegno sono una interna all’altra. Due circonferenze sono una interna all’altra se: • non hanno alcun punto in comune: • la distanza tra i centri è minore della differenza dei raggi: In particolare se i due centri coincidono, , le due circonferenze si dicono concentriche.

Esercitati • Completa le scritture con la lettera che indica la retta opportuna e stabilisci se è esterna, secante o tangente. d B A b a P d esterna tangente secante a b • Traccia tre rette a, b, c in modo che la retta a incontri la circonferenza in un solo punto T, la retta b la incontri in due punti M e N, e la retta c in nessun punto. b a c M • N T Quale tra esse è esterna? ........... Quale è tangente? .......... Quale è secante? ..........

Esercitati • Completa le seguenti scritture con >, =, < e stabilisci se la retta è esterna, secante o tangente. tangente; = secante; < esterna; > • Osserva la figura e barra la casella opportuna. x

Esercitati • Osserva le seguenti figure e riconosci le circonferenze secanti, esterne, tangenti, concentriche. esterne tangenti internamente concentriche secanti