Rete di Hopfield applicata al problema del TSP Federica Bazzano

Traveling Salesman Problem Dato un numero finito di città A, B, C,..., e le distanze d ij fra esse, il problema consiste nella determinazione di un tour ovvero una sequenza di città da visitare, in modo che ogni città venga visitata una sola volta, minimizzando il percorso seguito e ritornando alla città di partenza.

Applicazione della rete di Hopfield al TSP Per risolvere con la rete di Hopfield il problema del TSP occorre stabilire una corrispondenza tra variabili di stato della rete e variabili del problema, tra la funzione energia e la funzione obiettivo; Un tour viene rappresentato tramite una matrice quadrata V (n x n) dove la (x, i)-esima componente è pari ad 1 se la x- esima città viene attraversata al i-esimo step del tour, 0 altrimenti. Indicheremo con v x,i una generica componente di V; Chiameremo D ∈ ℜ n×n la matrice delle distanze dove la (x, y)-esima componente rappresenta la distanza tra la x-esima e la y-esima città. Indicheremo con d x, y la generica componente di D.

Funzione energia E1: Vincolo di riga, solo 1 città presente in una riga; E2: Vincolo di colonna, solo 1 città presente in una colonna; E3: Vincolo globale, tutte le n città attraversate; E4: Vincolo sulla distanza, la distanza totale percorsa sia minima; A, B, C, D, N: sono costanti. L’evoluzione dinamica della rete di Hopfield, a partire dallo stato iniziale, fa diminuire la funzione energia, fin quando non si arriva in uno stato che rappresenta un minimo locale della funzione energia e che, vista la corrispondenza tra funzione energia e funzione obiettivo, potrebbe costituire una “buona” soluzione del problema combinatorio.

Matrice dei pesi Una volta trovata la funzione energia corrispondente alla funzione obiettivo del problema del TSP, può essere determinata la matrice dei pesi per la rete; Dopo vari passaggi per ricondurre la funzione energia nella sua classica notazione, si è ottenuto: da cui segue che possiamo risolvere il problema del TSP utilizzando la matrice dei pesi W che ha come (x+i, y+i)- esima componente:

Funzione di attivazione La funzione di attivazione segue anch’essa vari vincoli per ottenere un percorso valido e può essere definita come segue: Dove a ij rappresenta l’attivazione per l’unità in riga i-esima e colonna j-esima,  ed m rappresentano una costante di tempo e un parametro; il primo termine della funzione di attivazione decresce ad ogni iterazione, il secondo, terzo, quarto e quinto rappresentano i vincoli per ottenere un tour valido.

Funzione di output La funzione di uscita invece è la seguente: dove V xi è l’output del neurone, il valore di determina la pendenza della funzione e la tangente iperbolica da un output come quello mostrato in figura.

Procedura di apprendimento 1.Inizializzazione: i.Matrice delle distanze; ii.Matrice dei pesi; iii.Vettore di input casuale : u xi (0) = u 00 + ((rand-1)/20.0); 2.Si presenta l’input alla rete e si calcola l’attivazione iniziale come: 1.Si calcola l’output

4.Si itera finchè un criterio di stop non è soddisfatto. Criteri di stop: Raggiungimento di un fissato intervallo di tempo; Raggiungimento di uno stato stabile; Raggiungimento del numero massimo di iterazioni. 5.Si trova un tour e si calcola la lunghezza del percorso. Procedura di apprendimento

Nella risoluzione del TSP con la rete di Hopfield l'ottimalità non è sempre garantita e il sistema potrebbe cadere in minimi locali. Il risultato potrebbe essere migliorato aggiungendo rumore alle dinamiche di rete, per creare una sorta di differenziazione nella speranza che il sistema evolva nonostante la vicinanza ad un minimo locale. Conclusioni