Casoria, Marzo 2010 Tutor d’Istituto Prof.ssa Sannino Patrizia Le percentuali: che cosa sono?

Le percentuali costituiscono una delle applicazioni pratiche della matematica più comuni nella società. Frasi tipo “il 40% degli elettori è favorevole…”, “la legge è stata approvata con una maggioranza del 70%”, “il film è stato visto dal 35% dei telespettatori”… fanno parte del linguaggio quotidiano e sono sicuramente comprensibili. La diffusione delle percentuali è dovuta anche al fatto che esse permettono di effettuare confronti facili e immediati.

Affermare che: “in un Istituto 40 studenti su 500 hanno conseguito valutazione ottima, mentre in un altro Istituto 30 studenti su 300 hanno conseguito la stessa valutazione” è meno chiara che esprimere lo stesso concetto in percentuale, cioè che nel primo Istituto l’8% ha avuto valutazione ottima, invece nel secondo Istituto il 10%! In un primo istante sembrerebbe che nel primo Istituto ci siano più studenti (40) che abbiano ottenuto Ottimo, rispetto al secondo (30); ma in realtà i dati letti in percentuale affermano il contrario, infatti il dato numerico ci dà un’informativa corretta se è letto relativamente alla totalità del contesto in cui si analizza.

Unità didattica: Le percentuali I PREREQUISITI In Matematica la programmazione che viene preparata in una classe di qualunque ordine e grado non può prescindere dal presupposto che siano richiesti dei prerequisiti per poter meglio comprendere un nuovo argomento da studiare. Lo studio delle percentuali prevede che l’alunno abbia già acquisito conoscenze e competenze per i seguenti macro-argomenti: Il concetto di Insieme I numeri Naturali e Relativi, le operazioni e le proprietà Concetto di multiplo e sottomultiplo Il sistema di numerazione decimale I numeri Razionali, il confronto fra due numeri, le varie operazioni e le proprietà

GLI OBIETTIVI  Approfondire le conoscenze sulle frazioni  Riconoscere frazioni proprie, apparenti, improprie  Attivare confronti tra frazioni  Operare con le frazioni, sfruttandone consapevolmente le proprietà anche in relazione alla risoluzione di problemi vari  Acquisire abilità nel condurre semplici elaborazioni statistiche…

METODOLOGIA La strategia adottata ha condotto l’alunno per problemi da scoprire, da collegare e sistemare razionalmente progettando algoritmi di tipo grafico per rappresentare i dati

STRUMENTI Didattica laboratoriale Lezione frontale Problem solving Presentazioni in Power Point uso della LIM

LE PERCENTUALI Def.: LE PERCENTUALI SONO FRAZIONI che hanno denominatore uguale a 100. (Su un totale di elementi la percentuale indica quante unità, rispetto al numero 100, soddisfano una certa condizione) Ad esempio sono tali le seguenti frazioni:, Le frazioni con denominatore 100 potranno essere scritte in forma diversa utilizzando il simbolo di percentuale: 14%, 80% …

Tuttavia qualunque frazione può essere trasformata in percentuale, grazie alle proprietà delle operazioni, moltiplicando e dividendo per il numero 100: Con questo esempio notiamo come il numero 9 assume un significato quantitativo (in percentuale) che dipende dalla totalità degli elementi cui è riferito; ripetendo dunque lo stesso tipo di trasformazione per una frazione che ha un denominatore diverso dal precedente, il “9” ci fornirà una percentuale ovviamente diversa: = ( Quindi per ben capire il concetto di percentuale occorre già aver acquisito in precedenza il concetto di Insieme (vedi “Prerequisiti”).

Nello specifico cosa significa Tale frazione sta ad indicare che si scelgono 9 elementi su un totale di 360. In generale la frazione individua una totalità di elementi divisa in un certo numero di parti, di cui se ne considerano solo alcune; ad esempio “i di un quadrato” prevedono che il quadrato sia diviso in 9 parti uguali (denominatore) e se ne considerino 5 (il numeratore): ?

Anche sulla retta numerica tale numero frazionario si può individuare dividendo l’unità in 9 parti e considerandone 5( “i dell’unità): 01 Abbiamo compreso con questi esempi che il dato numerico considerato è riferito ad un altro dato numerico che rappresenta la totalità dell’Insieme.

Esaminiamo ora il seguente esempio: Affermare, relativamente ad un risultato elettorale, che il partito “A” ha ottenuto 1500 voti non ci fa capire molto dal punto di vista quantitativo; ma se si specifica che i 1500 voti son riferiti ad un totale di 4000 votanti già riusciamo a farci un’idea, che sarà ancora più chiara riportando i dati in percentuale: 37,5% in tal modo riusciamo immediatamente a capire che il 62,5% (100-37,5=62,5) ha espresso voti ad altri partiti politici. Interessante è la modalità di rappresentazione che si può fare per una serie di dati gestiti statisticamente: Tabelle, Grafici lineari, Grafici a torta, Istogrammi … Molto utile è, in tal senso, il programma “Excel”, con il quale proponiamo l’esempio dei dati elettorali che abbiamo appena citato (nella tabella seguente la seconda riga specifica i risultati ottenuti dai partiti, la terza riga le percentuali e di seguito tre esempi di grafici che rappresentano la medesima tabella):

Partito APartito BPartito CPartito DTotale elettori ,52014,528

 Esempi di semplici problemi risolubili mediante le percentuali Calcola quanto guadagna un risparmiatore che deposita per un anno un capitale di 8000€, sapendo che la banca corrisponde un tasso d’interesse annuo dell’1.5% Si può risolvere impostando una proporzione: 1.5 :100 = x: 8000 Cioè: il rapporto fra la percentuale d’interesse e la totalità (che corrisponde a 100) è uguale al rapporto fra il guadagno (Interesse da calcolare) e la totalità del deposito; quindi si ottiene x= (8000*1.5)/100 = 120€ (guadagno) Pertanto dopo un anno il risparmiatore avrà un totale di 8120€

In 784 grammi di acqua vengono disciolti 336 grammi di zucchero. Qual è la percentuale di zucchero rispetto al peso complessivo? Si calcola il peso complessivo della miscela: 784g + 336g = 1120g (che rappresenta la totalità) E poi si calcola la percentuale come frazione Analogamente si può impostare una proporzione, che conduce allo stesso risultato 336: 1120 = x: 100 cioè x =30 che corrisponde alla percentuale cercata, ossia dello zucchero rispetto al peso complessivo.

Calcola lo sconto del 25% su un capo d’abbigliamento che costa 190€. Si può impostare una proporzione 25: 100 = x: 190 da cui x= (25*190):100 = € corrisponde allo sconto da detrarre al prezzo precedente di 190€. Il prezzo definitivamente scontato sarà di €

Percentuale della proprietà di ogni condomino: A (135:450) x % B (198:450) x % C (117:450) x % Calcolo della spesa di ogni condomino, riferita alla percentuale della sua proprietà: Spesa di A 9600 x 30 :100 = 2880€ Spesa di B 9600 x 44 :100 = 4224€ Spesa di C 9600 x 26 :100 = 2496€ Totale…………………………..= 9600€

Risultati ottenuti I ragazzi hanno acquisito la consapevolezza che i numeri intervengono praticamente in quasi tutte le attività quotidiane e che bisogna di acquisire le necessarie competenze per agire razionalmente ed anche per non incorrere in errori di valutazione che possano trarre in inganno