I numeri interi relativi Paperina mi ha detto che il nostro rapporto è RELATIVO. Ma RELATIVO a che?

Insieme N I numeri Naturali N sono tutti i numeri interi positivi cioè l’insieme N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . ,+∞} in cui si possono eseguire le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza. Spero che Paperino non stia dormendo come al solito! Se scopro che è così mi sentirà e saranno NUMERI! N, ,+∞ zzz … zzz … tutto questo … mi fa venire il mal di zzz … testa … Ci penserò domani …

I numeri Interi Relativi sono tutti i numeri interi, positivi e negativi, preceduti dal segno + o -, che vanno da -∞ a +∞ essendo infiniti e che permettono di eseguire sempre anche la sottrazione. Z={ . . . -2, -1, 0, 1, 2, . . .} Se cadi, con un sol boccone, farò una SOTTRAZIONE di … Titti! Questa per me è un’operazione sempre possibile!

Resta sempre l’incredibile Pippo! I numeri relativi Z sono numeri interi preceduti dal segno + o dal segno - . I numeri Z sono usati per indicare le temperature sopra o sotto zero, per i conti bancari in attivo o passivo, per le date avanti o dopo Cristo, per le altitudini sotto o sul livello del mare, ecc.. Che te ne pare? Faccio delle piroette tanto perfette da elevare la mia ALTITUDINE di … 3 METRI SOPRA AL CIELO. Resta sempre l’incredibile Pippo!

Bravo zzz chi ci capisce zzz qualcosa … I numeri Razionali Q, sono tutti i numeri, positivi e negativi, scritti come rapporto fra due numeri interi con il secondo diverso da zero. I numeri Q sono tutte le frazioni, tutti i numeri interi, i decimali limitati e gli illimitati periodici. Nell’insieme dei numeri razionali, oltre all’addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla potenza, con tali numeri, si può eseguire anche la divisione. Un numero decimale ILLIMITATO NON PERIODICO, che non può essere trasformato in frazione, si dice NUMERO IRRAZIONALE. Ne sono esempi il π =3,141592654... oppure il numero di Nepero e =2,09691... . Bravo zzz chi ci capisce zzz qualcosa … R+ I+ Q+ Z N

I numeri N e i relativi interi Z appartengono ai numeri Q e ne sono sottoinsiemi. I numeri razionali preceduti dal segno + formano l’insieme dei numeri razionali positivi che si indica con Q+. I numeri razionali preceduti dal segno – formano l’insieme dei numeri razionali negativi che si indica con Q-. I due insiemi Q+ e Q- formano l’insieme dei numeri razionali che si indica con Q. Adesso basta! Sono stanco! Sta per cominciare la partita! Se non ti decidi a funzionare ogni mia RAZIONALITÀ scomparirà e tutto il mio temperamento NEGATIVO eliminerà ogni mia POSITIVITÀ!

L’unica Z che conosco è quella di … ZORRO! I numeri naturali preceduti dal segno + formano l’insieme dei numeri interi positivi che si indica con Z+. I numeri naturali preceduti dal segno meno formano l’insieme dei numeri interi negativi che si indica con Z-. I due insieme Z+ e Z- costituiscono l’insieme dei numeri interi relativi che si indica con Z. Un numero privo di segno è sempre positivo. Il numero 0 (zero) appartiene a Z ed è privo di segno. L’unica Z che conosco è quella di … ZORRO!

Consideriamo due semirette di origine O a cui facciamo corrispondere il numero 0. Verso destra posizioneremo i numeri positivi e verso sinistra i numeri negativi. Fissiamo l’unità di misura e troviamo le immagini dei numeri sulla retta. A è immagine di -4, B di -3, C di -2, D di -1, O di 0, F di +1, G di +2, H di +3, I di +4. Sei davvero magnifica! Nessuna danzatrice HA I NUMERI CHE HAI TU sia a destra che a sinistra!

Uhm … Devo riflettere molto attentamente! Ho capito. È molto semplice! Si dice valore assoluto (o modulo o intensità) di un numero, e si indica col simbolo x , x stesso se x è un numero positivo o nullo, - x se x è un numero negativo. X = valore assoluto di x X = x se x ≥ 0 X =-x se x < 0 Uhm … Devo riflettere molto attentamente! Ho capito. È molto semplice!

numeri negativi - numeri positivi + +4 +3 +2 +1 -4 -3 -2 -1 Il valore diminuisce Il valore aumenta Ogni numero positivo è maggiore di tutti i negativi, per cui fra due numeri discordi è sempre maggiore il positivo. Lo zero è minore di tutti i numeri positivi e maggiore di tutti i negativi. Fra due numeri concordi positivi è maggiore quello con maggiore valore assoluto. Fra due numeri concordi negativi è maggiore quello con minore valore assoluto. Posso ballare con te? Starò alla tua sinistra, così NON POTRÒ MAI SUPERARTI!

Io sono troppo stanca e resto ferma! Io vado a destra ... Io vado a sinistra … ADDIZIONE Per addizionare due numeri relativi basta contare, dopo il primo, le unità del secondo, verso destra se il numero da addizionare è positivo, verso sinistra se è negativo. (+ 6) + (+ 3) = +9 Infatti, partendo da + 6 contando verso destra tre unità, si arriva a + 9. +6 +9 +3 u Io sono troppo stanca e resto ferma!

Pinocchio. Aspettami. Sono stanco Pinocchio! Aspettami! Sono stanco! Ti stai allontanando troppo dal punto di partenza! Non da quella parte! Finirai in … un mare di GUAI! (- 4) + (- 6) = - 10 Partiamo da – 4 e contiamo verso sinistra sei unità fino al numero – 10. u + - -4 -10 -6

(+ 6) + (- 2) = + 4 Partiamo da + 6 e andiamo indietro di due unità fino a + 4. (+ 6) + (- 2 ) = + 4 +6 -2 +4 - + u Devo assolutamente aiutare questo povero gattino a liberarsi. Domani spiegherò alla maestra che non ho proprio avuto tempo per fare i compiti sui numeri relativi!

Partiamo da – 7 e spostiamoci verso destra di due unità fino a – 5. (- 7) + (+ 2) = - 5 Partiamo da – 7 e spostiamoci verso destra di due unità fino a – 5. -7 -5 u +2 + - Quel fannullone di Paperino mi sentirà! Gli avevo chiesto di farmi la spesa e non lo perdonerò se non sarà qui entro cinque minuti! Mi sembrava … zzz di aver promesso qualcosa zzz a Paperina … Chissà … Spero che una buona zzz dormita mi faccia ricordare …

Sommando due numeri opposti si ottiene zero. (- 10) + (+10) = 0 La somma di due numeri concordi è un numero concorde ad essi che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti. (+ 5) + (+ 3) = + 8 (- 2) + ( - 4) = - 6 La somma di due numeri discordi è un numero concorde all’addendo che ha maggior valore assoluto e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti. (- 5) + ( + 7) = + 2 (+ 4) + (- 11)= - 7 Sommando due numeri opposti si ottiene zero. (- 10) + (+10) = 0 Ma gli opposti non si annullano? Che storia è che si attraggono? Che gran confusione!

Differenza La differenza fra due numeri interi relativi si ottiene addizionando al primo l’opposto del secondo. (+ 10) - ( + 7) = +10-7=+ 3 (+ 11) - ( - 4) = +11+4= 15 (- 4) - (+ 3) = -4 -3 = - 7 (- 5) - (- 3) = -5 +3= - 2 Il mio tesoruccio da grande capirà subito la DIFFERENZA tra me e le altre mamme!

L’addizione algebrica è la successione di addizioni e di sottrazioni fra numeri relativi. Il risultato si dice somma algebrica. Le parentesi possono essere eliminate trascrivendo il secondo numero con lo stesso segno nell’addizione e con segno opposto nella sottrazione. (+ 8) + (- 2) = + 8 – 2 = + 6 (+ 12) - (- 7) = + 12 + 7 = + 19 Clarabella dice che la sua casa è più splendente della mia e che è un vero gioiello. Secondo me tutto è RELATIVO. Penso che non sia tutt’oro quello che riluce!

Non vedo l’ora di “ASSOCIARE” le nostre vite! Per l’addizione algebrica valgono le proprietà commutativa e associativa per cui si possono addizionare prima tutti i numeri positivi, poi tutti i numeri negativi e quindi addizionare i due numeri relativi ottenuti. (+ 5) - (+ 4) - (- 2) + (+ 10) + (-3) = + 5 - 4 + 2 + 10 – 3 = + 17 – 7 = + 10 Non vedo l’ora di “ASSOCIARE” le nostre vite!

Vorrei tanto poter “MOLTIPLICARE” le mie vacanze! Moltiplicazione Per moltiplicare due numeri relativi si devono moltiplicare i loro valori assoluti, mentre il segno sarà + se i due numeri sono concordi, sarà - se i due numeri sono discordi. Il segno di moltiplicazione si può anche omettere. (+ 7) ∙ (+ 3) = +21 ( + 7) ∙ (+ 3) = ( + 7)+ ( + 7)+ ( + 7) = + 7 + 7 + 7 = + 21 (- 5) ∙ ( + 4) = -20 (- 5) ∙ ( + 4) = - 5 - 5 - 5 - 5 = - 20 ( + 3) ∙ ( - 5) = - 15 ( + 3) ∙ ( - 5) = - 5 - 5 - 5 = - 15 Vorrei tanto poter “MOLTIPLICARE” le mie vacanze!

Aspetto il principe azzurro! Sarà un SEGNO del destino … Per il prodotto di due numeri relativi è utile anche la regola dei segni. +·+ = + +·- = - -·+ = - -·- = + Tabella dei segni x + - Aspetto il principe azzurro! Sarà un SEGNO del destino …

(+ 6) (+ 3) = +18 ( + 7) (+ 5) = +35 (- 15) (+ 4) = -60 (- 5) (+ 4) (+2) = -40 (+ 7) (- 5) (-3) = +105 (- 3) ( - 5) (- 2) ( - 4) = -120 Che gran fatica far capire la moltiplicazione ai nipotini! Non c’è peggior sordo di chi non vuol sentire!

Non vedevo l’ora di partire! DIVISIONE Per dividere due numeri relativi (con il secondo diverso da 0) si devono dividere i loro valori assoluti. Il segno sarà + se i due numeri sono concordi, sarà - se i due numeri sono discordi. (+15) : (+3) = +5 (+16) : (-2) = -8 (-21) : (-7) = +3 (-56) : (+8) = -7 Non vedevo l’ora di partire! Non sopporto di essere lontana da Topolino! Non possiamo stare DIVISI neanche per un minuto!

+:+ = + +:- = - -:+ = - -:- = + Per calcolare il quoziente di due numeri relativi si può usare la regola dei segni. Ho sempre sognato di girare il mondo e non di farlo girare sulla mia mano! Avrei voluto lasciare un SEGNO del mio passaggio in ogni paese visitato! +:+ = + +:- = - -:+ = - -:- = +

Riassumendo … Uffa … Ancora non basta! Sbrigati Paperino! È importante conoscere i numeri relativi! Povera me! Non si smentisce mai!

Il NUMERO RELATIVO è formato da parte numerica che è detta valore assoluto o modulo segno positivo (+) o negativo (-) Paperino non sa che, nonostante tutto, il mio amore per lui è … ASSOLUTO!

Su una retta orientata il numero più a destra è più grande. NUMERI RELATIVI Concordi: stesso segno Discordi: segno diverso Opposti: discordi con uguale valore assoluto Su una retta orientata il numero più a destra è più grande. Certo! Sono il più grande, perché sto a destra! Il tuo numero è davvero grande!

POTENZE DI NUMERI RELATIVI Potenze con esponente pari Potenze con esponente dispari Il risultato è sempre positivo Il risultato può essere positivo o negativo Sono davvero una POTENZA nel ballo! Esponente pari

POTENZE di NUMERI RELATIVI Esponente dispari Il risultato è positivo se la base è positiva è negativo se la base è negativa Uffa! Non me ne importa un bel niente! Le regole matematiche sono necessarie anche nella vita quotidiana …

Potenze con uguale base con moltiplicazione e divisione Il prodotto di due o più potenze con uguale base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. (-2)3 x (-2)4 = (-2)3+4 = (-2)7 Il quoziente di due potenze con uguale base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. (-4)6 : (-4)5 = (-4)6-5 = (-5)1 = -5 Minnie ha detto che sono ancora in tempo per una divisione … Ma che avrà voluto dire?

Potenze con uguale esponente con moltiplicazione e divisione Il prodotto di due o più potenze che hanno uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. (-2)3 x (+3)3 = [(-2) x (+3)]3 = =(-6)3 Il quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. (+6)4 : (-2)4 = [(+6) : (-2)]4 = =(-3)4 Uguale base, uguale esponente, non ci ho capito niente! Chi mi potrebbe aiutare a fare i compiti?

Caro, qual è la POTENZA del tuo amore per me? Potenze di potenze La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. [(-2)3 ]2 = (-2)3x2=(-2)6 Spero che sia tanto grande da comprarmi il diamante per il nostro fidanzamento! Caro, qual è la POTENZA del tuo amore per me?

RADICE DI NUMERI RELATIVI Indice pari Indice dispari SE IL RADICANDO È POSITIVO IL RISULTATO È POSITIVO, SE IL RADICANDO È NEGATIVO IL RISULTATO È NEGATIVO La radice con indice pari di un numero negativo non esiste perché moltiplicando tra loro due, quattro, sei, ecc. numeri negativi si ottiene sempre un numero positivo. Non essere triste, in classe penserò io a suggerirti la lezione!

Spero di non diventare mai come mio fratello! Evviva! È finita la presentazione! Finalmente mi sento felice! Ehi! Tu che sei un mago, perché non fai SPARIRE TUTTE LE SCUOLE DEL MONDO? Vedo nella mia sfera che fare sparire le scuole è una magia impossibile! Spero di non diventare mai come mio fratello!

Ciao!