Sottospazi vettoriali

Sottospazi vettoriali Sia V uno spazio vettoriale. Un sottospazio è un sottoinsieme non vuoto S (sottoinsieme di V) è chiuso rispetto: alla somma: - per ogni s, t in S, vale s + t appartiene ad S; e al prodotto per gli scalari: - s appartenente ad S e λ appartenente ad R, vale che λs appartiene ad S.

Considero due elementi di S Esempio 1 S = X1 X2 x1-2X2= 0 E’ un sottospazio di R2? Considero due elementi di S 2a a 2b b Verifico se la loro somma è elemento di S 2a+2b a+b 2(a+b) (a+b) = 2a a λ 2a λ a λ Verifico se è λ a è elemento di S =

Verifico se è λ v è elemento di S. Non è detto Esempio 2 T = X1 X2 X2≥ 0 E’ un sottospazio di R2? Considero due elementi di S la loro somma è un elemento di S perché la somma di due numeri positivi o nulli è ancora un numero positivo o nullo Verifico se è λ v è elemento di S. Non è detto NON è UN SOTTOSPAZIO

Generatori Sia V uno spazio vettoriale considerare un insieme di vettori di v si dice che n vettori sono un sistema di generatori di V se ogni vettore può essere espresso come combinazione lineare degli n vettori.

Combinazione lineare di vettori Dati due o più vettori u1, u2, … un , se si moltiplica ciascuno di essi per un numero arbitrario (diverso da zero) e poi si sommano i vettori così ottenuti, si ottiene una combinazione lineare dei vettori dati.

Combinazione lineare di vettori Quindi se: w = c1u1 + c2u2 + … + cnun (dove c1, c2,…, cn sono numeri non tutti nulli) diciamo che il vettore w è una combinazione lineare dei vettori u1, u2, … un. Es.: u = (2; 3; -5); v = (1; 0; 4) w = 2u + v = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5; 6; -6) w è una combinazione lineare dei vettori u e v.

Esempio di combinazione Siano v1=          , v2=          v3=          tre vettori di uno spazio tridimensionale. Esempio di combinazioni lineari è : 5 -3 +4

Dipendenza lineare tra vettori N vettori (due o più) (u1; u2; …; un) si dicono linearmente dipendenti se ciascuno di essi si può esprimere come combinazione lineare degli altri n-1 vettori. Ciò equivale a dire che la combinazione lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore nullo) per valori dei coefficienti ci non tutti nulli.

Sono linearmente dipendenti

Vettori linearmente indipendenti Siano un insieme di vettori di uno spazio vettoriale X Siano scalari Se sussiste la seguente relazione

Come stabilire dipendenza/indipendenza di vettori Fare combinazione lineare dei vettori dati Scrivere il sistema di equazioni nei parametri (sono le incognite del sistema) Risolvere il sistema Se le soluzioni sono tutte nulle i vettori sono linearmente indipendenti, se almeno una soluzione è non nulla allora sono linearmente dipendenti.

Si considerino i vettori v1= v2= v3= a)dire se i tre vettori sono linearmente dipendenti ; b) dire quale tra i tre vettori è combinazione lineare dei restanti. a) Consideriamo una generica combinazione lineare nulla dei tre vettori: λ1 +λ2 +λ3 = In base alla definizione dobbiamo verificare se tale uguaglianza è verificata con almeno uno, tra gli scalari λ1 , λ 2  , λ 3,  non nullo.

Le soluzioni del sistema sono date da λ1 = 0 , λ2 = -2 λ3, λ3 = λ3, ; ad esempio   λ1 = 0 , λ2 = -2, λ3 =1. Poichè vi sono due scalari diversi da zero i tre vettori sono linearmente dipendenti. b) I vettori che sono esprimibili come combinazione lineare dei restanti vettori sono quelli associati a scalari diversi da zero ;

Si considerino i vettori v1=         v2= v3= Dire se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti Il sistema ha per unica soluzione quella nulla, λ1 =  λ2 =  λ3 =0, e quindi i vettori sono linearmente indipendenti.

Spanning a Space Sia X uno spazio vettoriale lineare, e sia un sottoinsieme di X. Possiamo dire che il sottoinsieme , “spanna” cioè genera lo spazio X se e solo se N.B. La dimensione di uno spazio è costituito dal numero minimo di vettori che generano lo spazio

Base Un sistema di generatori v1,v2,…..vn di uno spazio vettoriale V, costituito da vettori linearmente indipendenti è detto base di V Base = n° minimo di generatori = n° massimo di vettori linearmente indipendenti V={ v : v= a1v1+...+apvp } dim(V)=p.

Come faccio a stabilire se i vettori dati formano una base? Costruisco una matrice con i vettori dati come colonne Calcolo il rango Stabilisco se sono linearmente indipendenti (n° di vettori linearmente indipendenti = rango)