UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 18 marzo 2014 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Calendario incontri 1° Incontro: martedì 18 MARZO 2014 3° Incontro: martedì 8 APRILE 2014 4° Incontro: martedì 29 APRILE 2014 5° Incontro: martedì 6 MAGGIO 2014 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

L’APPROCCIO PER PROBLEMI: Guida tutta l’attività didattica-matematica ARITMETICA: Naturali e operazioni su di essi Decimali e operazioni su di essi Fatti e principi numerici GEOMETRIA: Lo spazio e la sua organizzazione Le figure geometriche e le loro trasformazioni MISURA: Ponte con l’aritmetica, la geometria e le altre scienze LA STATISTICA: Il mondo dei grandi numeri L’INFORMATICA: Il mondo degli algoritmi LA LOGICA E LA PROBABILITÀ Guida ad un controllo della correttezza e della coerenza dei discorsi Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Problemi di numeri Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

L’apprendimento e l’insegnamento dell’aritmetica da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni”vol.1 da pag 27 a pag. 33 a cura di Clara Colombo Bozzolo e Angela Costa. Erickson La priorità dell’aritmetica L’aritmetica è da sempre il contesto privilegiato della formazione matematica elementare, tuttavia le indagini svolte in merito alle conoscenze aritmetiche possedute dagli alunni della scuola di base (e non solo) spesso evidenziano carenze nella comprensione del significato dei concetti, delle operazioni e degli algoritmi aritmetici, che con difficoltà vengono ricordati o ricostruiti. Questa situazione indica la necessità di riflettere sui processi di costruzione dei concetti aritmetici, prendendo in considerazione le ricerche condotte sia nel campo della matematica sia in quello psicopedagogico. Il fatto che i concetti e gli algoritmi dell’aritmetica siano considerati “elementari” non significa che essi siano lapalissiani e ovvi, anzi, essi sono tra le colonne portanti della matematica. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

“3 mele e 2 mele danno 5 mele” alla scrittura “3 + 2 = 5” I numeri naturali Utilizzati dall’uomo per contare o ordinare oggetti concreti, i numeri naturali hanno poi acquisito un proprio statuto, indipendente dalla caratteristiche individuali degli oggetti contati o ordinati, sono diventati essi stessi oggetto di studio, si sono arricchiti di connotazioni anche filosofiche (per esempio, nella scuola Pitagorica), il loro insieme è stato strutturato e la loro teoria è stata sistematizzata in modi diversi a seconda dei concetti primitivi e degli assiomi assunti come punti di partenza. Dunque, in aritmetica si realizza quel processo di costruzione della conoscenza matematica il passaggio dall’affermazione “3 mele e 2 mele danno 5 mele” alla scrittura “3 + 2 = 5” non è solo un cambiamento formale di scrittura, ma una progressiva astrazione e costruzione concettuale. Lo stesso B. Russell affermò “Devono esserci voluti secoli e secoli per scoprire che una coppia di fagiani e un paio di giorni sono entrambi esempi del numero due”. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Il linguaggio dell’aritmetica I simboli matematici verbali e grafici dei numeri naturali sono fortemente integrati nel linguaggio naturale scritto e parlato. I bambini imparano molto presto la successione dei numeri naturali; in genere, però, sanno “contare” oltre la numerosità che riconoscono oppure non sono in grado di connettere il numero contato e la numerosità. Questo “scollamento” tra forma e contenuto caratterizza spesso anche l’insegnamento dell’aritmetica, che viene inteso come proposta di paradigmi numerici da imitare e riprodurre. L’apprendimento dell’aritmetica viene, così, ridotto all’abilità di manipolare simboli in modo meccanico. Il linguaggio dell’aritmetica è sì altamente simbolico, ma tale simbolismo ha un significato astratto che si fonda sulla realtà e sul senso comune, dunque, è il punto di arrivo di un processo fatto di tanti passaggi intermedi e di tante esperienze diversificate. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

IL CONCETTO DI NUMERO NATURALE “che cos’è un numero naturale?” Riflessioni teoriche Il concetto di numero naturale è uno dei concetti fondamentali per tutto il pensiero matematico; tuttavia, per rispondere in modo razionale e rigoroso alla domanda “che cos’è un numero naturale?” è stato necessario un lungo cammino storico dell’intera umanità e un profondo travaglio nella comunità matematica La teoria dei numeri naturali è stata esplicitamente costruita solo nel XIX secolo, quando il numero naturale (e le relative operazioni) è stato definito in modi che sono diversi nei concetti primitivi e negli assiomi assunti come punti di partenza, ma equivalenti ai fini della razionalizzazione e della sistematizzazione delle conoscenze sui numeri naturali. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

IL CONCETTO DI NUMERO NATURALE Riflessioni teoriche La teoria assiomatica dei numeri naturali proposta da Giuseppe Peano (1858-1932) è fondata, invece, sui concetti primitivi : Numero zero successore e su cinque assiomi che collegano tra loro i concetti primitivi; per esempio, gli assiomi stabiliscono che numero è il nome comune degli elementi di un insieme, che zero (0) è il nome di un particolare elemento dell’insieme considerato, che il termine successore indica un’operazione mentale che fa passare da un elemento dell’insieme dato ad un altro elemento diverso da quello di partenza, ma appartenente allo stesso insieme. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Il nostro sistema di numerazione Il nostro sistema di numerazione è posizionale e decimale. L’aggettivo decimale si riferisce al fatto che vengono utilizzati solo dieci simboli distinti (le cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) per rappresentare i numeri; questo comporta che i raggruppamenti sono costituiti da dieci unità dell’ordine precedente: parliamo di decine, centinaia, migliaia di unità per denotare, rispettivamente, il primo, il secondo e il terzo raggruppamento di unità. L’aggettivo posizionale indica che ogni cifra, oltre ad un valore intrinseco, ha un valore relativo alla posizione occupata nella scrittura del numero. Infatti, la scrittura di un numero come successione di cifre sintetizza la possibilità di esprimere ogni numero come polinomio numerico ordinato secondo le potenze decrescenti di 10; per esempio, la scrittura 2379 significa 2103 + 3102 + 7101 + 9100. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Il nostro sistema di numerazione L’adozione di un determinato sistema di numerazione è una scelta estremamente importante, in quanto da esso dipendono, tra l’altro, alcune proprietà dei numeri e gli algoritmi delle operazioni; per esempio, l’affermazione secondo cui un numero che ha come ultima cifra 1 è dispari è corretta se il numero è scritto in base 10, non lo è se il numero è scritto in base tre; l’esecuzione delle operazioni “in colonna” sottintende, oltre ad alcune proprietà delle operazioni stesse, la scrittura polinomiale dei numeri. I sistemi additivi, escluso in parte quello romano, sono ormai scomparsi non solo perché rendevano necessaria l’introduzione di nuovi simboli man mano che i numeri diventavano più grandi, ma anche perché il calcolo numerico comportava enormi difficoltà anche in casi molto semplici. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

“… ha meno elementi di …”, oppure “… ha più elementi di …” In questo modo induciamo una relazione d’ordine anche tra i numeri che esprimono le cardinalità degli insiemi in oggetto. Tale ordinamento è condizione necessaria all’accezione ordinale dei numeri naturali, ma non è sufficiente, dato che esistono altri numeri, per esempio i numeri razionali assoluti, scritti in forma decimale o frazionaria, per i quali è definito un ordinamento, ma non hanno significato espressioni come “il numero successivo, il numero precedente”. L’ordinalità dei numeri naturali è fondata sulla possibilità di scandire gli elementi, separarli e di ottenere tali numeri applicando la legge +1 a partire dal minore di tutti (lo zero). Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Riflessioni sui numeri Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Riflessioni su “cifra” e “numero” da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli Nella lingua “cifra” “numero” Esempi (soprattutto con i costi) Si dispone di una certa cifra Quel vestito costa una cifra L’inflazione è a due cifre La cifra da pagare si aggira sui 10 000 euro 500 000 euro sono una bella cifra Fare cifra tonda Battuto all’asta per una cifra di 26,150 euro Si parla di numeri rappresentati da cifre Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Riflessioni su “cifra” e “numero” In matematica: uso improprio delle parole “cifra” e “numero” Criteri di divisibilità dei numeri rappresentati dalle Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. 771   7+7+1=15 (divisibile per 3) Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Riflessioni su “cifra” e “numero” da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli Le parole si possono scrivere solo in un modo (“tavolo” è il nome di un oggetto). I numeri si possono scrivere in due modi in lettere in cifre Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Riflessioni su “cifra” e “numero” da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli Problema che mette in gioco “numeri” e “cifre” “Qual è il numero più grande che si può scrivere servendosi tre volte della stessa cifra?” Il numero approssimativo di cifre è 370 000 000; scrivendolo a mano verrebbe circa mille chilometri 9 SOLUZIONE: Senza altri segni oltre alle cifre 9 (9 9) Con altri segni oltre alle cifre Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Invece …. “Qual è il numero più grande che si può scrivere usando tre cifre?” 999 100 “Qual è il numero più piccolo che si può scrivere usando tre cifre?” “Qual è il numero più grande che si può scrivere usando tre cifre diverse?” 987 “Qual è il numero più piccolo che si può scrivere usando tre cifre diverse?” 102 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Riflettiamo 987 998 Tutte diverse? Non tutte uguali? “Qual è il numero più grande che si può scrivere usando tre cifre diverse?” Tutte diverse? Non tutte uguali? 987 998 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Riflettiamo 102 100 Tutte diverse? Non tutte uguali? “Qual è il numero più piccolo che si può scrivere usando tre cifre diverse?” Tutte diverse? Non tutte uguali? 102 100 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

5 Riflettiamo … “è un numero o una cifra?” Può essere considerato numero o cifra a seconda del contesto Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

35 Riflettiamo … “è un numero o una cifra?” È un numero che si scrive usando due cifre. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Concludendo … Solo per i numeri che si scrivono con una cifra è necessario precisare il contesto per decidere se si tratta di numero o cifra Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Il mago dei numeri Prezzo di listino: € 10,50 Einaudi, 1997 - pp.260 di Hans M. Enzensberger                                                                                          Prezzo di listino: € 10,50 Einaudi, 1997 - pp.260 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Da “Il mago dei numeri” di Hans M. Enzensberger (prima notte) - … Perché sei così diffidente? Se vuoi, ti faccio vedere come dall’1 si fanno (si possono ritrovare) tutte le altre cifre? E allora come si fa? È semplicissimo, così: Come mai si possono ritrovare le nove cifre? 1 x 1 = 1 Approfondire quando moltiplichi addizioni i prodotti parziali formati da 1 11 x 11 = 121 Ogni numero rappresentato da una cifra è una somma di tanti 1 111 x 111 = 12321 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Il numero Unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno. Gli Elementi di Euclide Libro VII Definizioni Unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno. Numero è una pluralità composta da unità Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Numero e Numero di … da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli L’essenza astratta dei numeri si forma dal linguaggio numerale. Risulta chiaro, anche ad un bambini, che le parole utilizzate per contare o anche solo,per enunciare quanti oggetti contiene una collezione sono le stesse: cinque caramelle, cinque persone, cinque cappelli, cinque dita, danno per ripetizione della parola “cinque”, l’idea di cinque, indipendentemente dalla natura degli oggetti contati. Un numero (in questo caso un numero naturale) è dunque un ente ideale, un’idea di quantità. Questa idea, molto spesso, è diversa da persona a persona e dipende anche dalla sua età e dalla sua attività In particolare quando si tratta di numeri come un milione o un miliardo. Basti pensare alla difficoltà di immaginare un miliardo di chilometri che è più di sei volte la distanza Terra-Sole. Il numero ha semplicemente la caratteristica di essere scritto, nella nostra scrittura decimale, 1 000 000 000 o 109 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Notizie, non da poco, sullo zero Zero. Storia di una cifra autore Kaplan Robert Prezzo: € 9,80  Editore Rizzoli collana anno1999  pp.325  Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Le proprietà dello zero … a fumetti Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Storia dello zero (Zero. Storia di una cifra) DUE CUNEI ( Due cunei obliqui appaiati o parzialmente sovrapposti) IN UN MUCCHIO DI ARGILLA (inizio II millennio a.C) ZERO Inizio carriera Numerazione binaria, composta solo da 0 e 1, grazie alla quale funziona tutto ciò che è digitale ZERO Uno degli utilizzi odierni Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Origine del termine “zero” In sanscrito vuoto si dice sunya. Gli arabi, adottando la numerazione indiana, tradussero sunya nell’arabo sifr Direttamente dall'arabo, essendo questo numero una cifra. In arabo, infatti, "zerret" significa: "cosa da nulla". Da "cifra", che risale all'arabo "sifr" e che significa “vuoto", Origine del termine “zero” Dal "latino medievale del tredicesimo secolo": "Zephyrum", accusativo di quello "Zephyrus" col quale si soleva indicare il vento occidentale primaverile, che spira con tale leggerezza da ritenersi un "vento da nulla"; Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Lo zero da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli Se volessimo raffigurare su un abaco l’espressione numerale “tremiladue”, dovremmo inserire tre palline nella colonna delle migliaia e due in quella delle unità. migliaia unità 3 0 0 2 Le colonne corrispondenti alle decine e alle unità rimangono vuote. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Fibonacci Fu in particolare Leonardo Fibonacci (Leonardo Pisano) a far conoscere la numerazione posizionale in Europa: nel suo Liber Abaci, pubblicato nel 1202, egli tradusse sifr in zephirus; da questo si ebbe zevero e quindi zero. Anche il termine "cifra" discende da questa stessa parola sifr. (Pisa, 1170 – Pisa, 1250) Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Utilizzo dello zero Rende possibile la notazione “posizionale” Assume il significato di “valore limite” (calcolo infinitesimale) “lo zero assoluto” rappresenta la temperatura in cui le molecole non hanno nessuna agitazione termica Rappresenta, nella scala del tempo, l’istante 0 dell’universo (Big Bang) 0°C, nella scala centigrada, individua il punto di fusione del ghiaccio L’altitudine 0 è l’altitudine di riferimento per la misura della pressione atmosferica La longitudine 0° corrisponde a quella dell'Osservatorio di Greenwich I punti lungo l'equatore hanno latitudine 0°. Nel 900 la casa all’inizio della via aveva come numero civico 0 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Lo zero nella scuola (di Ennio Peres, RES 21, aprile 2001) CONSIGLI DIDATTICI MANEGGIARE CON CURA Rischio: ottenere dei risultati inattendibili. Tanto per fare un esempio, si può arrivare a dimostrare che ogni numero è uguale al proprio doppio. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Prendiamo in considerazione la seguente semplice uguaglianza: A = B (dove A e B rappresentano uno stesso numero reale, diverso da 0) ed eseguiamo i passaggi algebrici qui di seguito indicati. 1. Moltiplichiamo per A entrambi i membri: A2 = AB 2. Sottraiamo B2 da entrambi i membri: A2 – B2 = AB – B2 3. Scomponiamo in fattori il primo membro: (A – B)(A + B) = AB – B2 4. Mettiamo in evidenza B nel secondo membro: (A – B)(A + B) = B (A – B) 5. Dividiamo per (A – B) entrambi i membri: A + B = B 6. Sostituiamo B con A (dato che ha il suo stesso valore): A + A = A 7. Infine, scriviamo in forma più compatta il primo membro: 2A = A Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014

Che cosa è successo? I passaggi eseguiti sembrano tutti corretti, eppure il risultato ottenuto è palesemente assurdo. In realtà, un errore lo abbiamo commesso. Dato che abbiamo supposto A = B, allora A – B = 0; Di conseguenza al punto 5 (A – B)(A + B) = B (A – B) Dividiamo per (A – B) entrambi i membri: A + B = B Abbiamo diviso entrambi i membri dell'uguaglianza per (A – B), In realtà li abbiamo divisi per 0, compiendo un'operazione non consentita in matematica. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014