Meccanica dei Fluidi

Meccanica dei Fluidi Che cos’è un fluido?

Solidi, liquidi e gas In natura le sostanze possono trovarsi in tre stati di aggregazione:

Caratteristiche di un fluido FLUIDO sostanza senza “forma” propria (assume la forma del recipiente che la contiene) Liquido - volume limitato dalla superficie libera Gas - diffusione nell’intero volume disponibile Un fluido può essere: omogeneo caratteristiche fisiche costanti per tutto il suo volume disomogeneo caratteristiche fisiche non costanti Fluido “ideale”: non comprimibile, omogeneo, senza attrito interno (non viscoso). Esempio: Sangue sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico

La densità La densità d di un corpo è uguale al rapporto tra la sua massa m e il suo volume V. La densità è una grandezza derivata. La densità ha le dimensioni fisiche di una massa divisa per una lunghezza al cubo. La densità d è direttamente proporzionale alla massa m e inversamente proporzionale al volume V.

La pressione e le sue leggi Meccanica dei Fluidi La pressione e le sue leggi

Perché i coltelli sono affilati?

La pressione La stessa forza può avere effetti diversi a seconda della superficie su cui agisce. Ad esempio chi cammina sulla neve:

La pressione La pressione è una grandezza scalare definita come il rapporto tra il modulo della forza (perpendicolare alla superficie) e l’area di questa superficie.

La pressione Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della pressione è il pascal (Pa). Non conta la forza in se ma la sua componente perpendicolare

La pressione Esempio Soluzione Una stanza ha il pavimento di dimensioni 3.5 m per 4.2 m e altezza di 2.4 m. Quant’è il peso dell’aria contenuta nella stanza alla pressione atmosferica? Soluzione Il peso dell’aria è pari a mg dove m è la massa dell’aria contenuta nella stanza. La massa è legata al volume dalla relazione m = rV. La densità dell’aria a 1 bar è pari a 1.21 kg/m3 per cui possiamo scrivere:

La pressione della forza peso nei liquidi Ogni liquido è soggetto alla forza-peso, che determina una pressione data dalla legge di Stevino: La pressione dovuta al peso di un liquido è proporzionale sia alla densità del liquido che alla sua profondità.

Esempio Qual è la pressione della colonna d’acqua a cui è sottoposto un sub che si trova a una profondità di 4 metri? In generale, alla pressione dovuta alla colonna d’acqua, bisogna aggiungere la pressione atmosferica che agisce sulla superficie del mare: p0 = 10,1 x 104 Pa Qual è la pressione della colonna d’acqua a cui è sottoposto un sub che si trova a una profondità di 4 metri? In generale, alla pressione dovuta alla colonna d’acqua, bisogna aggiungere la pressione atmosferica che agisce sulla superficie del mare: p0 = 10,1 x 104 Pa.

La pressione della forza peso nei liquidi La densità del liquido è il rapporto tra la sua massa ed il suo volume: gdh è la pressione dovuta al peso della colonna d'acqua. Ad essa si deve sommare la pressione atmosferica p0:

Dimostrazione della legge di Stevino La pressione sulla superficie S è causata dal peso del liquido sovrastante, di volume V = Sh e massa m = d V = dSh. La pressione del liquido è: che nel caso più generale diventa: ossia

La pressione sul fondo di un recipiente Prendiamo tre recipienti di forma diversa, chiusi alla base da una membrana di gomma: La pressione del liquido non dipende dalla forma del recipiente.

La pressione sul fondo di un recipiente La pressione esercitata dal liquido dipende solo dal livello del liquido e non dalla quantità. Ad esempio, si può riuscire a spaccare una botte piena d'acqua aggiungendo solo un tubo sottile riempito d'acqua.

Vasi comunicanti I vasi comunicanti sono due o più recipienti uniti tra loro da un tubo di comunicazione. Esaminiamo cosa succede quando i vasi comunicanti vengono riempiti con uno stesso liquido.

Vasi comunicanti Un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti raggiunge in tutti i recipienti lo stesso livello.

Vasi comunicanti Caso generale: due liquidi diversi.

Vasi comunicanti Uguagliamo i valori della pressione nei due tubi, che sono dati da: Le altezze dei due liquidi sono inversamente proporzionali alle loro densità.

La legge di Pascal La pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido. La superficie di cui si parla può essere posta in qualsiasi punto del liquido e inclinata in qualunque modo.

La legge di Pascal Il palloncino, posto nell'acqua, mantiene sempre la forma sferica. Questo è spiegato dalla legge di Pascal: La pressione esercitata su qualsiasi superficie di un liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido.

Il torchio idraulico Legge di Pascal Qual è la proprietà dei liquidi che rende possibile il funzionamento del torchio idraulico?

Il principio di Archimede Meccanica dei Fluidi Il principio di Archimede

La spinta di Archimede Spiega perché alcuni corpi in acqua affondano mentre altri galleggiano.

La spinta di Archimede Legge di Archimede: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto di intensità pari al peso del volume del fluido spostato.

La spinta di Archimede: la mongolfiera La legge di Archimede vale anche per i gas. Quando l’aria della mongolfiera viene riscaldata la sua densità diminuisce: che cosa bisogna fare dunque per perdere quota?

La spinta di Archimede: sommergibili densità maggiore dell’acqua densità minore dell’acqua

Il galleggiamento dei corpi Quanto detto si verifica con un semplice esperimento, immergendo in acqua tre bottiglie diverse.

Esempi Qual è la frazione f visibile di un iceberg che galleggia in acqua di mare? HRW 1 problema svolto 14.4 pag. 319

Esempi

Esempi (HRW 1 problema svolto 14.5 pag. 319)

La pressione atmosferica Meccanica dei Fluidi La pressione atmosferica

La pressione atmosferica Tutti gli oggetti sulla Terra sono sottoposti alla pressione esercitata dalla colonna d'aria che li sovrasta: la pressione atmosferica.

La pressione atmosferica Nel 1654 a Magdeburgo ebbe luogo un esperimento storico, in cui 16 cavalli non riuscirono a separare due semisfere metalliche tra cui era stato fatto il vuoto. La pressione atmosferica, agendo solo all'esterno delle semisfere, le rendeva inseparabili.

La pressione atmosferica Venne misurata da Evangelista Torricelli, che capovolse un tubo pieno di mercurio in una bacinella piena di mercurio. La pressione esercitata dalla colonna di mercurio deve uguagliare la pressione atmosferica sulla superficie libera. Al livello del mare h=76 cm e

La pressione atmosferica Unità di misura della pressione atmosferica: il pascal (Pa): 1 Pa = 1N/1m2; l'atmosfera: 1 atm = 1,01 x 105 Pa; il bar: 1 bar = 105 Pa (circa 1 atm) usato in meteorologia con il sottomultiplo mbar. La pressione diminuisce con l'altitudine perché la colonna d'aria che ci sovrasta è più bassa e più rarefatta. La diminuzione della pressione atmosferica è pari a circa 1300 Pa per ogni 100 m di innalzamento.

La pressione atmosferica Strumenti di misura della pressione atmosferica: barometri a mercurio; barometri metallici. In meteorologia si disegnano le curve in cui la pressione atmosferica ha lo stesso valore: le isobare. A: alta pressione (bel tempo) B: bassa pressione (maltempo).

Cenni di dinamica dei fluidi Meccanica dei Fluidi Cenni di dinamica dei fluidi

La corrente di un fluido La corrente di un fluido è il movimento ordinato di un liquido o di un gas. La portata q è il rapporto tra il volume di fluido V che attraversa una sezione in un tempo t ed il tempo t stesso:

La corrente di un fluido La sezione trasversale di un fluido attraverso cui si misura la portata è una superficie immaginaria immersa nel fluido.

Correnti stazionarie Si dice stazionaria una corrente la cui portata attraverso qualsiasi sezione del conduttore è costante nel tempo.

L’equazione di continuità La portata q di un fluido che scorre a velocità v in una conduttura di sezione S è data dalla formula: Quindi la portata è direttamente proporzionale sia alla sezione del tubo che alla velocità del fluido.

La portata

Moto di un liquido in una conduttura Un liquido, a differenza di un gas, si può considerare incompressibile, cioè mantiene inalterato il proprio volume. In un tubo singolo:

L’equazione di continuità Nel tubo singolo senza sorgenti e pozzi vale l'equazione di continuità: la portata del liquido in A e in B è costante; la sezione trasversale della conduttura e la velocità del liquido sono inversamente proporzionali.

L’equazione di continuità La proporzionalità inversa tra sezione del tubo e velocità del liquido, SAvA = SBvB, significa che nelle strettoie il liquido fluisce più in fretta: se S si dimezza v raddoppia e viceversa. Quando si annaffia si blocca parzialmente la sezione del tubo con un dito per far sì che l'acqua, uscendo a v maggiore, arrivi più lontano.

L’equazione di continuità Se il condotto si apre in più diramazioni, bisogna considerare la superficie totale. In ogni tratto si avrà sempre Q = v S. NOTA. Nell’ultimo tratto conta la sezione totale dei canali!

Equazione di continuità Esempio di applicazione al flusso sanguigno Negli esseri umani il sangue fluisce dal cuore nell’aorta, dalla quale passa nelle arterie maggiori. Queste si ramificano nelle piccole arterie (arteriole), che a loro volta si ramificano in miriadi di piccoli capillari. Il sangue ritorna al cuore attraverso le vene. Il raggio dell’aorta è circa 1.2 cm e il sangue che vi scorre attraverso ha una velocità di circa 40 cm/sec. Un capillare tipico ha un raggio di circa 4 10-2 cm e il sangue vi scorre attraverso ad una velocità di circa 5 10-4 m/s. Stimare quanti capillari vi sono nel corpo.

Equazione di continuità Esempio di applicazione al flusso sanguigno

Equazione di continuità Esempio di applicazione al flusso sanguigno Rappresentazione schematica della variazione di sezione totale e di velocità media del sangue nei vari distretti del sistema circolatorio. La velocità nei capillari è molto bassa dell’ordine del millimetro al secondo. La bassa velocità è essenziale per i processi biochimici di scambio di sostanze necessari alla vita.

L’equazione di Bernoulli Un fluido che scorre in un tubo a diametro variabile e piegato in direzione verticale è soggetto a diverse forze: oltre alla forza d'attrito.

L’equazione di Bernoulli Per il fluido varia: la quota y, la velocità v e la pressione p a cui è sottoposto. Nelle ipotesi di: fluido incompressibile, corrente stazionaria e attrito inesistente, vale l'equazione di Bernoulli:

L’equazione di Bernoulli L’equazione di Bernoulli è una conseguenza diretta del principio di conservazione dell’energia Dividendo tutto per V e ricordando la definizione di densità possiamo scrivere

L’attrito nei fluidi L'attrito viscoso si oppone al moto degli oggetti nei fluidi. 1) Attrito con le pareti della conduttura. In condizione laminare (senza vortici) le lamine di fluido a contatto con la parte risentono dell'attrito e lo trasmettono in parte al resto del fluido.

Attrito con le pareti della conduttura Si verifica sperimentalmente che vale la legge: F: forza necessaria per mantenere in moto il fluido a velocità v; S: area dello strato di fluido; d: distanza dalla parete; : coefficiente di viscosità (dipende dal fluido).

Attrito con le pareti della conduttura Unità di misura (nel sistema MKS): N s/m2 = Pa s Coefficienti di viscosità per diversi fluidi:

Legge di Poiseuille L’equazione di Poiseuille mette in relazione la differenza di pressione, condizione essenziale per il moto di un fluido, con le caratteristiche geometriche del condotto, la viscosità del liquido e la portata che risulta direttamente proporzionale alla differenza di pressione: La velocità è maggiore al centro del condotto e decresce a mano a mano che ci si avvicina alle pareti secondo un profilo parabolico. Il moto avviene in regime laminare.

Attrito su un corpo in moto nel fluido Un’automobile accelera partendo da ferma.

Attrito su un corpo in moto nel fluido Nel caso più semplice di una sfera di raggio r che si muove in un fluido di viscosità  a velocità v la forza FV di attrito viscoso è data dalla legge di Stokes:

Attrito su un corpo in moto nel fluido Un paracadutista è soggetto alla: forza-peso FP diretta verso il basso; forza d'attrito viscoso FV diretta verso l'alto e che aumenta al crescere della velocità di caduta v. A un certo istante

Attrito su un corpo in moto nel fluido Quando Ftot = 0 il paracadutista scende a v=costante (I principio dinamica) fino alla fine: è chiamata velocità limite. Per una massa di 100 kg attaccata ad un paracadute di diametro di 10 m, la velocità limite è circa 3 m/s.

Attrito su un corpo in moto nel fluido Si ha Ftot = 0 quando FP = FV . Uguagliando la formula di Stokes alla forza-peso otteniamo: che dà una velocità limite