Metodi matematici per economia e finanza. Prof. F. Gozzi LUISS Corso di Metodi matematici per economia e finanza. Prof. F. Gozzi Lezione del 16/11/2009 Integrazione numerica di equazioni differenziali - Prof.ssa G. Rotundo

Testi di riferimento MATLAB – manuale di riferimento I. Capuzzo Dolcetta, M. Falcone, L’analisi al calcolatore, Zanichelli, ISBN 88 – 08 – 03904 - 8 J. Stoer, Introduzione all’analisi numerica, Zanichelli ed., 1974

Il problema di Cauchy Sotto opportune ipotesi è possibile dimostrare il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni. N.B.: il teorema di esistenza ed unicità fornisce un risultato soltanto in merito ad esistenza ed unicità, ma non illustra alcun metodo per trovare la soluzione. Domanda: come trovare le soluzioni? Anche quando la soluzione esiste ed è unica può essere molto complesso, se non impossibile, determinare la sua espressione analitica. Diventa quindi estremamente importante conoscere alcuni metodi numerici per approssimare la soluzione.

Metodi numerici di integrazione Basati sulla formula di Taylor Metodo di Eulero 1. Analisi della qualità del metodo 2. Stima dell’errore globale di approssimazione a. Illustrazione tramite un esempio b. Stima (con dimostrazione) B. Alri metodi di ordine superiore: 1.Metodo di Eulero modificato 2.Metodo di Runge-Kutta

Il metodo di Eulero Leonhard Euler (1707-1783)

Il metodo di Eulero E’ il metodo più semplice. Per illustrarlo si parte dalla definizione di derivata: Per h abbastanza piccolo Da cui

Questa relazione suggerisce di definire una soluzione approssimata a partire dalla successione definita per ricorrenza da Idea: fisso h e valuto l’espressione sull’insieme di punti La quantità h viene chiamata lunghezza del passo oppure passo dello schema di approssimazione

In corrispondenza a tk si può definire una successione di xk :

Interpretazione del metodo di Eulero: il punto successivo è ottenuto dal precedente spostandosi con pendenza fissata per un intervallo di ampiezza h

Esempio Considero la seguente funzione: Si verifica che soddisfa una equazione differenziale:

Esempio (sarà ripreso nella lezione in aula informatica) Considero l’equazione differenziale insieme alle condizioni iniziali x(0.5)=0.25 Problema: la successione approssimante (spezzata in nero con i punti evidenziati) si allontana ben presto dalla soluzione . E’ necessario dare una stima della bontà della approssimazione: Ricordando che: x’(t)=f(t,x(t))

Sviluppo di Taylor arrestato al I ordine Osservo che le due condizioni sono descritte per t=0 dallo sviluppo di Taylor: x’(t)=f(t,x(t))

Osservazione Il metodo di Eulero viene detto metodo ad un passo perché il calcolo del punto successivo dipende unicamente dal punto precedente. Un generico metodo ad un passo è definito da una successione per ricorrenza del tipo Il metodo di Eulero è un caso particolare:

L’errore di approssimazione è piccolo se h è piccolo L’errore di approssimazione è piccolo se h è piccolo? Analisi della qualità del metodo Voglio determinare 1. se l’errore di approssimazione è piccolo se h è piccolo (quindi definisco una misura per l’errore e dimostro che il limite è 0 per h0) 2. l’errore globale di approssimazione (cosa succede se itero il procedimento N volte ed N∞)

1. Misura della qualità di un metodo ad un passo Errore locale di discretizzazione in x(0) :

Dimostro che Svolgimento:

Osservazioni Poiché l’errore locale di discretizzazione è dello stesso ordine di h, per h 0, si dice che il metodo di Eulero è un metodo del primo ordine. La dimostrazione della convergenza non garantisce che la soluzione approssimata sia buona, vediamo un ulteriore esempio.

2. Stima dell’errore globale di discretizzazione Illustrazione del problema tramite un esempio stima

2.a Illustrazione del problema tramite un esempio Considero la seguente funzione: Si verifica che soddisfa una problema di Cauchy:

Sviluppo in serie di Taylor Osservo che la variabile t non appare da sola, ma soltanto tramite x Osservo che la funzione f(.) è la funzione identica (restituisce l’argomento, immutato). Calcolo i punti successivi

Quindi la funzione è: e le iterate sono: Voglio stimare l’errore (t=hk, così lo stimo nei punti della successione tk)

Promemoria: Teorema di Lagrange Sia f continua in [a,b], derivabile in (a,b). Allora esiste un punto c in (a,b) tale che

Usando il teorema di Lagrange Con a=klog(1+h) e b=kh Perché >0, quindi e >1 Si può dimostrare anche che:

2.b Errore globale di discretizzazione Misura della qualità della approssimazione a tempi molto maggiori di quello in cui è data la condizione iniziale

Stima di E(h) per il metodo di Eulero Ipotesi ulteriori: f ed f ‘ limitate in R Fissato T e scelto h=T/N, N intero positivo fissato, vogliamo dimostrare che Tesi Osservazione 1: Questa stima dimostra che si può approssimare la soluzione esatta con la precisione desiderata su un intervallo [0,T] di ampiezza qualsiasi. Osservazione 2: con le ipotesi fatte la soluzione esiste in [0,+∞) Osservazione 3: la stima di questa disuguaglianza permette di dimostrare la convergenza a zero di |E(h)| per h0 Osservazione 4: se T è grande, h dovrà essere scelto molto piccolo se si vuole avere una buona approssimazione.

Svolto fino a qui il 16 nov 09

Osservazione: se x è soluzione del PC-EDO, allora Dimostrazione Osservazione: se x è soluzione del PC-EDO, allora Caso particolare: Ometto la dipendenza da t Ponendo si ha dunque

Applicando il teorema di Lagrange e le ipotesi di limitatezza di f ed f ‘ si ha |dk-1| Vd pagina successiva

Osservazione: per t=(k-1)h+ e s=(k-1)h l’equazione Ipotesi di limitatezza diventa Pertanto Iterando questa relazione ‘all’indietro’ fino a k=0 e ricordando che d0=x(0)-y0=0 si trova:

Iterando questa relazione ‘all’indietro’ fino a k=0 e ricordando che d0=x(0)-y0=0 si trova: Scegliendo ora k=n e ricordando che h=T/N, osservando che (1+LT/N)N<eLT

Metodi di ordine superiore basati sullo sviluppo di Taylor Vogliamo ora studiare dei metodi di approssimazione che, a parità di pazzo h, diano luogo a errori locali e globali di approssimazione più piccoli rispetto a quelli ottenuti per il metodo di Eulero. In particolare, ci occuperemo di vari metodi ad un passo di ordine p, intendendo con questo che Ovvero che l’errore locale tende a zero con la stessa rapidità di hp per h0 In tal caso si dice che l’errore locale è un infinitesimo di ordine p e(t,h)=O(hp)

Utilizzando lo sviluppo di Taylor è possibile costruire facilmente dei metodi ad un passo di ordine comunque elevato, a patto che f sia derivabile un numero sufficiente di volte. Supponiamo dunque che f sia dotata di (p-1) derivate continue. Il suo sviluppo di Taylor in un intorno di t è Da cui si ricava

Poiché x è soluzione del PC-EDO E così via. Possiamo cioè esprimere tutte le derivate di y in funzione di f e delle sue derivate calcolate nel punto y(t). Di conseguenza per avere un metodo di ordine 3, ad esempio, basterà definire E la successione come

Calcolo l’errore locale di discretizzazione in x(0) : Ricordo anche l’espansione in serie di Taylor Da cui quindi Sostituendo l’espressione di (xo,h) :

Osservazioni Questi metodi possono essere usati per mdefinire metodi di approssimazione ad un passo di ordine comun que elevato. I metodi ottenuti in questo modo richiedono la conoscenza di una formula esplicita di ciascuna delle derivate di f che compaiono in . Siccome le derivate possono non essere facili, in alcuni casi si possono sostituire con i corrispondenti rapporti incrementali, ma questo appesantisce il calcolo.

Altri metodi di ordine superiore Obbiettivo: Ottenere metodi che abbiano ordine di convergenza elevato senza complicare troppo la trattazione. Descriviamo la costruzione di alcuni metodi ad un passo di ordine 2 aventi queste caratteristiche.

Ipotesi:  derivabile due volte Per ottenere un metodo di ordine due basterà allora scegliere in modo tale che per ogni x si abbia =0

Esempio Con A, B, C parametri non negativi da determinare. La condizione diventa Che è verificata se A, B, C soddisfano il sistema di equazioni

Possibili scelte per A, B, C Evidentemente le equazioni non determinano univocamente i parametri. A differenti soluzioni corrispondono differenti metodi ad un passo di ordine due. Metodo di Heun: A=1/2, B=1/2, C=1 Metodo di Eulero modificato: A=0, B=1, C=1/2

Metodo di Runge-Kutta Si ottiene definendo Con Si può dimostrare che è un metodo ad un passo di ordine 4.

Osservazioni Questi metodi hanno vantaggi rispetto a quelli basati sulla formula di Taylor. Per esempio si chiede solo che f abbia la derivata prima continua e sarà sufficiente calcolare f in un minor numero di punti. Il risparmio del calcolo di f anche in un solo punto puo’ portare ad un grande risparmio nel tempo di calcolo complessivo in applicazioni che necessitano di un elevato numero di iterazioni Sotto l’ipotesi che f sia dotata di derivate continue e limitate si puo’ dimostrare che E(h)=O(h2) per i metodi di Heun ed Eulero modificato E(h)=O(h4) per il metodo di Runge-Kutta

Nota sui sistemi del primo ordine I metodi visti finora si estendono ad un sistema di N equazioni del primo ordine. Che in forma vettoriale diventa Lo spazio euclideo RN dove è assegnata la condizione iniziale e dove evolve la traiettoria x(t) prende il nome di spazio delle fasi