Meccanica molecolare Abbiamo detto che molti dei problemi che si affrontano nel modelling molecolare riguardano sistemi troppo grandi per essere considerati con metodi quantomeccanici. La meccanica quantistica tratta esplicitamente gli elettroni di un sistema e un gran numero di particelle deve essere considerato rendendo i calcoli particolarmente lunghi e laboriosi. I metodi della meccanica molecolare (o dei campi di forza) ignorano il moto degli elettroni e calcolano l’energia come funzione delle sole coordinate nucleari. Questo permette di usare con successo la meccanica molecolare anche in sistemi che contengono un elevato numero di atomi e in alcuni casi l’uso di campi di forza può fornire risposte estremamente accurate. La meccanica molecolare si basa su un modello estremamente semplice: le molecole sono trattate come se fossero composte da masse e molle e usa le leggi della meccanica classica per trattare le diverse interazioni che hanno luogo nella molecola reale secondo un modello che viene parametrizzato empiricamente. Un concetto chiave su cui si basano i campi di forze è quello della trasferibilità, che fa sì che parametri sviluppati e testati per un numero relativamente piccolo di casi modello possa essere usato per studiare molecole molto più grandi.

Campi di forza (Force fields) Meccanica molecolare Campi di forza (Force fields) La costruzione di un campo di forza consiste di due parti: La scelta della forma funzionale che descriva l’energetica del sistema. Questa scelta è basata sull’assunzione che l’energia potenziale di una molecola possa essere rappresentata come una somma di termini associati rispettivamente con i vari tipi di deformazioni molecolari (variazioni di lunghezze di legami, angoli di valenza o di torsione) o interazioni atomo-atomo. L’energia sterica calcolata dalla somma di questi termini rappresenta l’energia addizionale associata alle deviazioni della struttura rispetto ad una situazione ideale dove tutti gli elementi geometrici sono in uno stato di riferimento. La scelta dei parametri da inserire nella forma funzionale. Questa scelta è basata sull’ipotesi che i parametri necessari per calcolare l’energia molecolare possono essere derivati dalle informazioni ottenute da molecole piccole (lunghezze e angoli di legame) e che questi siano trasferibili a sistemi grandi.

Campi di forza molecolari Meccanica molecolare Campi di forza molecolari La maggior parte dei campi di forza usati attualmente per modellare molecole o insiemi di atomi e/o molecole può essere rappresentata come somma di quattro contributi, relativamente semplici, che descrivono le forze intra ed intermolecolari all’interno del sistema. Campi di forza più sofisticati possono avere termini addizionali, ma contengono invariabilmente queste quattro componenti. Una particolare caratteristica di questa rappresentazione è quella che i cambiamenti in specifiche coordinate interne (come le lunghezze di legame, gli angoli, le rotazioni dei legami, o i movimenti di atomi relativi allo spostamento di altri) possono essere attribuiti ai singoli termini.

Iniziamo ora ad analizzare i singoli contributi al campo di forza. Meccanica molecolare: campi di forza Come accennato prima, per definire un campo di forza occorre specificare non solo la forma funzionale ma anche i parametri; due campi di forza possono avere una identica forma funzionale pur avendo parametri molto differenti, e campi di forza con differenti forme funzionali possono dare risultati aventi una precisione confrontabile. Un campo di forza è generalmente disegnato per predire delle proprietà e deve essere parametrizzato di conseguenza. Va ricordato che i campi di forza sono empirici, non esiste dunque una forma “esatta” per un campo di forza. Iniziamo ora ad analizzare i singoli contributi al campo di forza.

Termine di stretching del legame ( Vstretching) Meccanica molecolare: campi di forza Termine di stretching del legame ( Vstretching) Il primo termine nell’equazione (Vstretching) è quello che descrive le interazioni tra le coppie di atomi legati ed è rappresentato da un potenziale che dà la variazione di energia a seconda della deviazione della lunghezza di legame dal suo valore di riferimento. L’approccio più semplice per descrivere questo termine consiste nell’usare la legge di Hooke nella quale l’energia varia con il quadrato della variazione dal valore di riferimento della lunghezza di legame r0

Morse Cubica Quadratica Morse Cubica Quadratica Morse 0.2 0.4 0.6 0.8 Meccanica molecolare: campi di forza Termine di stretching del legame ( Vstretching) Morse Cubica Morse quadratica Quadratica Morse Cubica Quadratica Morse 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100

Termine di bending ( Vbending) Meccanica molecolare: campi di forza Termine di bending ( Vbending) Per i termini di bending degli angoli si usano forme funzionali simili a quelle di stretching del legame, ma sono necessari ora tre atomi per definire l’angolo. Anche qui il contributo di ciascun angolo è caratterizzato da una costante di forza k e da un valore di riferimento θ0. È richiesta una minore energia per far deviare un angolo dal suo valore di equilibrio rispetto a quella richiesta per allungare o comprimere un legame e le costanti di forza sono quindi proporzionalmente più piccole.

Termine torsionale ( Vtorsion) Meccanica molecolare: campi di forza Meccanica molecolare: campi di forza Termine torsionale ( Vtorsion) Il terzo termine nell’equazione (Vtorsion) è il potenziale torsionale che descrive come varia l’energia in seguito alla rotazione dei legami. Lo stretching e il bending dei legami sono gradi di libertà piuttosto rigidi, cioè occorre una notevole quantità di energia per provocare deformazioni sostanziali dai valori di riferimento. La maggior parte delle variazioni nella struttura e nelle energie relative sono dovute al termine torsionale e ai termini di non legame. L'esistenza di barriere di rotazione intorno ai legami chimici è fondamentale per capire le proprietà strutturali delle molecole e l’analisi conformazionale

Termine torsionale ( Vtorsion ) Meccanica molecolare: campi di forza Termine torsionale ( Vtorsion ) I tre minimi di energia delle conformazioni sfalzate e i tre massimi di energia delle strutture eclissate dell’etano sono un classico esempio del modo in cui l’energia cambia con la rotazione del legame. C1 C2 H1 H2 H3 H4 H5 H6

Termine torsionale ( Vtorsion ) Meccanica molecolare: campi di forza Termine torsionale ( Vtorsion ) II potenziali torsionali sono espressi come uno sviluppo in serie di coseni. Una forma funzionale è:   dove ω è l’angolo di torsione. Vn nell’equazione è spesso indicato come l’altezza della barriera, benché questo non sia sempre corretto (per esempio quando più di un termine è presente nello sviluppo). Per legami simmetrici come nell’etano un solo termine è sufficiente nello sviluppo sopra (n=3, =0°).

Eventuali termini addizionali Meccanica molecolare: campi di forza Eventuali termini addizionali Interazioni fuori del piano Termini di secondo ordine (cross-terms)

Termini di non legame (non bonded) Meccanica molecolare: campi di forza Termini di non legame (non bonded) Il termine non bonded tiene conto delle interazioni tra coppie di atomi che si trovano in diverse molecole o che si trovano nella stessa molecola ma che sono separati da almeno tre legami. Nei campi di forza il termine non bonded è di solito rappresentato usando un potenziale di Coulomb per le interazioni elettrostatiche e un potenziale Lennard-Jones per le interazioni di van der Waals.

Termini di non legame (non bonded): interazioni elettrostatiche Meccanica molecolare: campi di forza Termini di non legame (non bonded): interazioni elettrostatiche Gli elementi elettronegativi attraggono gli elettroni in misura maggiore degli elementi meno elettronegativi, dando luogo ad un’ineguale distribuzione di carica nella molecola. Questa distribuzione di carica può essere rappresentata in vari modi; uno tra gli approcci più comuni consiste in un arrangiamento di cariche puntiformi frazionarie distribuite all’interno della molecola. Queste cariche vengono introdotte in maniera da riprodurre le proprietà elettrostatiche della molecola. Se le cariche sono ristrette al centro del nucleo, sono spesso riportate come cariche atomiche parziali. Le interazioni elettrostatiche tra due molecole (o tra differenti parti della stessa molecola) sono poi calcolate come una somma d’interazioni tra coppie di cariche puntiformi usando la legge di Coulomb:   dove NA ed NB sono il numero di cariche puntiformi nelle due molecole.

Termini di non legame (non bonded): interazioni van der Waals Meccanica molecolare: campi di forza Termini di non legame (non bonded): interazioni van der Waals Le interazioni elettrostatiche non tengono conto di tutte le interazioni che ci sono tra gli atomi non legati in un sistema. Gli atomi dei gas nobili sono un ottimo esempio: avendo momento dipolare uguale a zero, non possono presentare interazioni dipolo-dipolo o interazioni dipolo-dipolo indotto. Contributo repulsivo Interazione di dispersione

Termini di non legame (non bonded): interazioni van der Waals Meccanica molecolare: campi di forza Termini di non legame (non bonded): interazioni van der Waals La più nota tra le funzioni del potenziale di van der Waals è la funzione di Lennard-Jones 12-6, che prende la seguente forma per l’interazione tra due atomi:   Il potenziale di Lennard-Jones 12-6 contiene due parametri adattabili: il diametro di collisione σ (corrispondente ad una separazione tra gli atomi r tale che l’energia di interazione sia nulla) e la profondità della buca di potenziale ε.

Termini di non legame (non bonded): legame idrogeno Meccanica molecolare: campi di forza Termini di non legame (non bonded): legame idrogeno Alcuni campi di forza utilizzano una funzione simile a quella di Lennard-Jones 6-12 per riprodurre esplicitamente il legame idrogeno. Pertanto questo potenziale, qualora venga utilizzato, prende il nome di potenziale di Lennard-Jones 10-12 ed ha la seguente espressione:   Questa funzione è usata per rappresentare le interazioni tra gli atomi donatori d’idrogeno e gli eteroatomi accettori posti a distanza r in modo da migliorare l’accuratezza della previsione della geometria nei sistemi che presentano legami idrogeno. A e C sono parametri legati a σ e ε. Altri campi di forza incorporano funzioni più complicate che tengono conto delle deviazioni dalla geometria del legame idrogeno e che quindi dipendono dalle coordinate degli atomi donatori e accettori, oltre che dalle coordinate degli atomi d’idrogeno.

27 termini non-bonded (21 H-H e 6 C-H) Meccanica molecolare: campi di forza Esempio: energia di una conformazione del propano In force field sofisticati potrebbero non essere trattati in maniera equivalente 10 termini di stretching 18 termini di bending 18 termini torsionali 27 termini non-bonded (21 H-H e 6 C-H)

parametri di van der Waals cariche atomiche parziali Meccanica molecolare: campi di forza Parametri del campo di forza  atom type costanti di forza valori di equilibrio parametri di van der Waals cariche atomiche parziali

Meccanica molecolare: campi di forza Atom Types Il concetto di “atom types” può essere considerato uno dei concetti fondamentali in meccanica molecolare e sta alla base di tutti gli aspetti dell’approccio. I tipi di atomi, e non gli atomi stessi, sono fondamentali per calcolare le interazioni in meccanica molecolare. Definizione di Atom Type Gli atomi possono essere distinti a seconda di: • Ibridizzazione • Carica formale sull’atomo • Atomi legati più vicini sp3 sp2 sp

O ossigeno carbonilico OH ossigeno idrossilico (alcol) Meccanica molecolare: campi di forza L’ambiente chimico per un atomo all’interno di una molecola è creato dal resto della molecola. I campi di forze usano concetti chimici per definire tipi di atomi generali. Per esempio, il campo di forze AMBER ( www.amber.ucsf.edu ) definisce 5 tipi di atomo per l’ossigeno: O ossigeno carbonilico OH ossigeno idrossilico (alcol) O2 ossigeno di una acido carbossilico o ossigeno di un fosfato OS ossigeno di un etere o di un estere OW ossigeno dell’acqua Le interazioni in meccanica molecolare sono quindi calcolate tra tipi di atomi e non tra elementi. Così si calcoleranno interazioni non-bonded diverse tra gli ossigeni di due molecole di acqua e l’ossigeno dell’acqua e quello di un estere.

parametri di van der Waals cariche atomiche parziali Meccanica molecolare: campi di forza Parametri del campo di forza  atom type costanti di forza valori di equilibrio parametri di van der Waals cariche atomiche parziali

Parametri di van der Waals Meccanica molecolare: campi di forza Parametri di van der Waals La distanza di van der Waals rAB e il parametro energetico εAB dipendono da entrambi i tipi atomici. Questi parametri vengono in genere calcolati a partire da termini che dipendono dai singoli tipi atomici A e B. Esistono diversi modi per combinare i parametri atomici a dare i parametri diatomici, alcuni dei quali molto complicati. Un metodo comunemente impiegato consiste nel calcolare la minima distanza di van der Waals r come somma dei due raggi di van der Waals e di calcolare il parametro energetico come media geometrica delle costanti atomiche. rAB = ½(rAA + rBB) εAB = (εAA εBB)½ Per ciascun tipo atomico devono essere determinati due parametri: r ed ε.

Derivazione delle cariche parziali Meccanica molecolare: campi di forza Derivazione delle cariche parziali Un certo numero di schemi è stato sviluppato per assegnare le cariche atomiche in maniera sistematica. Tra gli schemi più diffusi abbiamo:   1: Trattare la carica come un qualunque parametro empirico. Questo approccio dà dei buoni risultati per il set di dati usato ma dà problemi per quanto riguarda la trasferibilità. 2: Usare considerazioni di elettronegatività. Anche questa tecnica è utile ma introduce una dipendenza dalla connettività e dalla topologia. 3: Usare cariche quantomeccaniche, dato che la densità di carica è una proprietà dello stato fondamentale della funzione d’onda molecolare.

Riduzione del numero di termini non-bonded nel calcolo Meccanica molecolare: campi di forza Riduzione del numero di termini non-bonded nel calcolo Il numero delle interazioni di legame cresce linearmente con la grandezza della molecola e così anche il lavoro di calcolo per i termini del campo di forza che non includono interazioni di non legame. Il numero delle interazioni di non legame dipende, circa, dal quadrato del numero degli atomi del sistema (una molecola con 1000 atomi ha circa 500.000 termini per le interazioni di non legame, 10000 atomi danno circa 50.000.000 termini). Pertanto è comune introdurre un valore limite di distanza oltre il quale le interazioni tra atomi non vengono considerate (cutoff). Sistema di circa 5000 atomi

Riduzione del numero di termini non-bonded nel calcolo Meccanica molecolare: campi di forza Riduzione del numero di termini non-bonded nel calcolo La distanza limite di cutoff non può essere diminuita in maniera arbitraria, perchè questo porterebbe ad escludere interazioni di non legame importanti nella valutazione dell’energia sterica della molecola.

Meccanica molecolare: campi di forza Parametrizzazione Un campo di forza può contenere un gran numero di parametri, anche se viene usato per effettuare calcoli su piccoli set di molecole. La parametrizzazione di un campo di forza è un processo estremamente elaborato e delicato. Il primo passo consiste nella selezione dei dati (generalmente sperimentali) necessari. Come accennato prima i campi di forza nella meccanica molecolare possono essere usati per riprodurre e determinare varie proprietà strutturalmente collegate e la parametrizzazione dei dati deve pertanto essere scelta accuratamente. Un set di parametri iniziale è usato per calcolare un set di osservabili sperimentali: lunghezze o angoli di legame, ecc. I valori ottenuti sono quindi confrontati con quelli sperimentali e il set di parametri viene modificato per migliorare la correlazione tra il modello e l’esperimento, si ripete il procedimento in maniera iterativa (metodo trial and error).

Meccanica molecolare: campi di forza Parametrizzazione Un altro schema consiste nell’usare il metodo matematico dei minimi quadrati: i parametri vengono selezionati in maniera che la discrepanza tra i valori dei dati sperimentali e quelli ottenuti con i parametri sia minima. La derivata di d rispetto al set di parametri può essere calcolata in maniera da cambiare i parametri del force field in modo da minimizzare l’errore.

Campi di forze più usati Meccanica molecolare: campi di forza Campi di forze più usati MM2/MM3 (Allinger, University of Georgia), molecole organiche non troppo grandi Amber (Kollman, University of California, San Francisco), proteine e acidi nucleici MMFF (Halgren, Merck) parametrizzato da calcoli quantomeccanici OPLS (Jorgensen) ottimizzato per calcoli in fase liquida UFF (Rappe, Casewit e Skiff) ha parametri per molti elementi della tavola periodica

Meccanica molecolare: campi di forza Energia sterica Un programma di meccanica molecolare darà come output un valore di energia per una conformazione o configurazione del sistema. A questo valore ci si riferisce come all’”energia sterica” che in un certo senso rappresenta l’eccesso di energia relativo a una molecola ipotetica in cui tutti i parametri assumono i valori di riferimento e i cui frammenti siano non interagenti. Il valore numerico dell’energia sterica di per sé stesso non ha alcun significato e non è paragonabile tra campi di forza differenti. Questo fatto è privo di conseguenze se si confrontano le energie di diverse conformazioni della stessa molecola, cioè se i tipi atomici e la connettività sono le stesse. È anche possibile ottenere risultati sensati dal confronto di molecole strutturalmente diverse ma che contengono lo stesso numero e tipo di unità strutturali. Se si vogliono confrontare le stabilità relative di molecole chimicamente differenti (come l’etere dimetilico e l’etanolo) il punto zero della scala d’energia deve essere lo stesso. È comunque possibile calcolare i calori di formazione dalla meccanica molecolare sommando le energie di legame (ottenute dai calori di formazione determinati sperimentalmente) all’energia sterica.

Step 1: Scelta del modello Determinazione teorica della geometria molecolare Step 1: Scelta del modello I metodi della chimica quantistica permettono la determinazione delle caratteristiche geometriche, elettroniche ed energetiche di molecole note o non ancora sintetizzate. Purtroppo essi risultano estremamente costosi in termini di tempo di calcolo e carico computazionale, diventando in alcuni casi proibitivi per sistemi molto grandi (macromolecole organiche o biologiche). Se le informazioni cercate sono di tipo strutturale (geometrico) o energetico e non di tipo elettronico si può ricorrere ai metodi della meccanica molecolare (o campi di forza empirici), che sono basati su modelli semplici in cui le molecole sono trattate come se fossero composte da masse e molle e i loro interazioni sono governate dalle leggi della meccanica classica e sono così in grado di produrre informazioni anche per sistemi biologici macromolecolari in tempi relativamente brevi. (Per questi motivi possono essere usati come base di partenza per successivi calcoli quantomeccanici di più alto livello).

Determinazione teorica della geometria molecolare Meccanica quantistica QM Meccanica molecolare MM Coordinate atomiche Coordinate atomiche, Connettività Tipi di atomi e di legami Costanti di forza INPUT Set di nuclei ed elettroni equazione di Schrodinger Set di atomi e di legami Campi di forze specifici MODELLO OUTPUT Energia assoluta Autofunzione Strutture 3D Energia sterica Strutture 3D