Esempio 1 Un bombardiere vola con velocità orizzontale vx costante di 400 km/h ad una altezza di 3000 m dirigendosi verso un punto che si trova esattamente sulla verticale del suo bersaglio. Quesito: a quale angolo di vista ф deve essere sganciato il proiettile per colpire il bersaglio ? Definiamo il quesito in un sistema di assi cartesiani di riferimento x-y y 3000 m vx x

y x Quello che ci aspettiamo è una cosa del genere, e siamo interessati alla determinazionedell’angolo di vista ф al quale deve essere sganciato il proiettile y 3000 m ф x

y = v0y t – ½ g t2 dove v0y= 0 e y = −3000 m La velocità iniziale v0 del proiettile al momento in cui viene sganciato avrà le seguenti componenti: v0x = 400 km/h = 111 m/s v0y = 0 Il tempo t di caduta del proiettile è connesso all’altezza della caduta y dall’equazione: y = v0y t – ½ g t2 dove v0y= 0 e y = −3000 m Da cui t = (−2y/g)1/2  (−2(−3000) m / 9,8 m/s2)1/2 = 24,8 s La distanza orizzontale x percorsa dal proiettile durante questo tempo t sarà: x = v0x t = 111 m/s x 24,8 s = 2750 m L’angolo sarà ф = arctan (x/y) = arctan (2750/3000) = 42,5°

Esempio 2 Un giocatore di calcio colpisce una palla ad un angolo di 30° con l’orizzontale, imprimendo una velocità iniziale di 20 m/s.

Per rispondere ai quesiti, supporremo che il moto della palla avviene in un piano verticale. y v0 = 20 m/s Ф = 30° x

t = v0 sin Ф / g dove: Ф = 30° v0 = 20 m/s g = 9,8 m/s2 1° Quesito: Trovare l’istante t in cui la palla raggiunge il punto più alto della sua traiettoria Nel punto più alto, la componente verticale della velocità (vy) è zero. Scriveremo quindi: vy = v0 sin Ф − gt  v0 sin Ф − gt = 0 Da cui ricaveremo: t = v0 sin Ф / g dove: Ф = 30° v0 = 20 m/s g = 9,8 m/s2 t = [20 x ½] m/s / 9,8 m/s2 = 1,02 s

2° Quesito: Qual è l’altezza massima ym raggiunta dalla palla ? Scriveremo: y = (v0 sin Ф) t − ½ gt2 L’altezza massima si raggiunge a t = 1,02 s Quindi : ym = ([20 x ½] m/s) x 1,02 s) − 1/2 (9,8 m/s2) x (1,02 s)2 = 5,1 m

(v0 sin Ф) t − ½ gt2 = 0  (v0 sin Ф) t = ½ gt2 (v0 sin Ф) = ½ gt 3° Quesito: Qual è lo spostamento orizzontale della palla e per quanto tempo rimane in aria ? Scriviamo nuovamente l’equazione per la componente verticale del moto: y = (v0 sin Ф) t − ½ gt2 Riflettiamo sul fatto che lo spostamento in orizzontale richiesto si raggiunge quando la palla raggiunge una quota y uguale a quella iniziale e cioè y = 0 . La formula pertanto si riduce a: (v0 sin Ф) t − ½ gt2 = 0  (v0 sin Ф) t = ½ gt2 (v0 sin Ф) = ½ gt t = 2 (v0 sin Ф) / g t = (40 m/s x ½ ) / 9,8 m/s2 = 2,04 s Per lo spostamento orizzontale scriveremo: x = v x t = (v0 cos ф) t = 20 m/s x ½ √(3) x 2,04 = 35 m

vx = (v0 cos ф) t = 20 m/s x ½ √(3) = 17,3 m/s 4° Quesito: Qual è la velocità della palla quando tocca terra ? In sostanza, per definire il vettore velocità in questione dobbiamo ricavare le sue componenti vx e vy per le quali potremo scrivere: vx = (v0 cos ф) t vy = v0 sin ф − gt Dove: t = 2,04 s, e quindi: vx = (v0 cos ф) t = 20 m/s x ½ √(3) = 17,3 m/s vy = v0 sin ф − gt = 20 m/s x ½ − ( 9,8 m/s2 ) x 2,04 s = −10 m/s v = (v2x + v2y)½ = 20 m/s ф = arctan (vx / vy) = arctan (−10/17,3) = −30°

y v = 20 m/s v = 20 m/s x Ф = 30° Ф = 30° Ф = -30° Risultato prevedibile in base a semplici considerazioni di simmetria . y v = 20 m/s v = 20 m/s Ф = 30° Ф = 30° Ф = -30° x

Esempio 3 Un cannone viene puntato verso un bersaglio posto ad una altezza h che, attraverso un semplice meccanismo, viene abbandonato in caduta libera esattamente quando il proiettile lascia la bocca del cannone. Si osserva che: qualunque sia la velocità iniziale del proiettile, esso colpisce sempre il bersaglio.

Spiegare il fenomeno.

Come spiegare il fenomeno ? Faremo le seguenti considerazioni: se non intervenisse l’accelerazione dovuta alla gravità: Il bersaglio non cadrebbe Il proiettile si muoverebbe in linea retta verso il bersaglio

In un dato tempo t, il proiettile cade verso il basso di una distanza −½ gt2 dalla posizione che avrebbe avuto lungo la linea retta di volo −½ gt2 Nello stesso intervallo di tempo, il bersaglio cade della medesima distanza −½ gt2 lungo la verticale Quindi quando il proiettile incrocia la traiettoria di caduta del bersaglio, se lo trova esattamente davanti !!!

Esempio 4 La luna gira intorno alla terra facendo un giro completo in 27,3 giorni. Si assuma che l’orbita sia circolare e che abbia un raggio di 385.000 km. Qual è il modulo dell’accelerazione della luna verso la terra ? Trasformiamo prima i dati in Unità SI: r = 385.000 km = 385 x 106 m Il periodo T di rivoluzione è: T = 27,3 giorni = 23,6 x 105 s La velocità della luna (in modulo) che supporremo costante é: v = 2πr / T = 1020 m /s L’accelerazione centripeta è pertanto: a = v2/r = 0,00273 m/s2 Ovvero: 2,8 x 10-4 g

Esempio 5 Si consideri un satellite artificiale che ruota attorno alla terra e si supponga per semplicità che esso viaggi proprio sopra la superfice terrestre. Quesito: Si calcoli il modulo della velocità del satellite, assumendo un raggio della terra R = 6.000 km Sulla superfice terrestre l’accelerazione di gravità vale: g = -9,8 m/s2 ed è questa l’accelerazione che fa muovere il satellite di moto circolare, è cioè la sua accelerazione centripeta. Da cui a = v2/R  v = (a R)1/2 = 7668 m/s = 27.5 km/h

Esempio 6 La bussola di un aeroplano indica che si sta dirigendo verso est. Si registra un forte vento che soffia in direzione nord. 1° Quesito: Mostrare su di un diagramma la velocità dell’aeroplano rispetto al suolo. Nord v y u α Est v’ x u = vettore della velocità dell’aria rispetto al suolo (punta verso nord) v’ = vettore della velocità dell’aeroplano rispetto all’aria (punta verso est) v = vettore della velocità dell’aeroplano rispetto al suolo ( = v’ + u da determinare)

v = ((v’)2 + u2)1/2 v = (3002 + 602)1/2 = 306 km/h Risulta evidente che: vx = modulo (v’) = v’ vy = modulo (u) = u α = arctan (vy / vx) = arctan(u / v’) Il modulo della velocità v dell’aeroplano rispetto al suolo sarà: v = ((v’)2 + u2)1/2 Così, per esempio, se l’aeroplano si muove rispetto all’aria di 300 km/h e la velocità del vento rispetto al suolo è di 60 km/h si avrà: v = (3002 + 602)1/2 = 306 km/h α = arctan (60/ 300) = 11° 20’