L'apprendistato al senso dei simboli in algebra LEZIONE 4

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.2 6. Capacità di una manipolazione flessibile (pensiero anticipatorio) - cogliere le circolarità potenziali di certe manipolazioni - aspetti gestaltico-percettivi delle espressioni simboliche

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.3 Esempio 2. Un pavimento rettangolare è piastrellato con grandi mattonelle quadrate (diciamo 7 x 5 mattonelle, tanto per fissare le idee). Le mattonelle del bordo (nel nostro caso sono 20) hanno un colore diverso da quelle interne (nel nostro caso sono 15). Trovare tutti i casi in cui il numero dei due tipi di mattonelle è uguale.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.4

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.5 La soluzione di un matematico: ab - [2a + 2(b - 2)] = 2a + 2(b-2) ab - 4a - 4b + 8 = 0 a(b - 4) - 4(b - 2) = 0 (a - 4)(b - 4) = 8 Il target simbolico

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.6 7. La capacità di districarsi in situazioni "deboli" ricorrendo ai mezzi semplici di cui uno dispone per riconquistare il senso perduto.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.7 Una studentessa aveva da risolvere il problema: "Trovare le coordinate del centro della circonferenza passante per i punti (a,b), (-a, b), (0,0)" (a-m)2 + (b-n)2 = r2 (-a-m)2 + (b-n)2 = r2 m2 + n2 = r2

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.7 Una studentessa aveva da risolvere il problema: "Trovare le coordinate del centro della circonferenza passante per i punti (b,a), (b, -a), (0,0)"

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.8 Lavora sulle prime due; cancella i termini e ottiene ma = 0 Sa che o m = 0 o a = 0 ma non capisce quale risultato è quello giusto. Il lavorio sintattico fatto sembra abbia fatto evaporare il senso algebrico dei simboli che ha davanti: non sa più qual è l'incognita e quale il parametro, ecc.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.9 Però non si perde d'animo. Decide di vedere che cosa capita nel caso che sia a=0. Osserva che in tal caso non ci sarebbe nessuna circonferenza (tre punti sull'asse y). A quel punto è in grado di riprendere il senso di a come parametro e di m come incognita e di concludere correttamente che è m=0.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.9 Però non si perde d'animo. Decide di vedere che cosa capita nel caso che sia a=0. Osserva che in tal caso non ci sarebbe nessuna circonferenza (tre punti sull'asse x). A quel punto è in grado di riprendere il senso di a come parametro e di m come incognita e di concludere correttamente che è m=0.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.10 Il senso del simbolo si può manifestare nell’intraprendenza e nel senso comune che possono aiutare gli studenti a riconoscere errori e a iniziare a mettere in ordine le confusioni. Come nel caso delle illusioni ottiche il senso del simbolo dovrebbe comprendere l’intraprendenza per districarsi dalla confusione con qualsiasi strumento di cui si disponga.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.11 8. Analizzare i simboli prodotti in retrospettiva La discussione matematica aiuta a costruire il significato condiviso dei simboli.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.12 Da un lato, allievi, a volte anche con buon indice di scolarizzazione, che costruiscono il loro linguaggio matematico come sequenza di regolarità notazionali che combacino con quelli dei membri acculturati della società rimanendo pertanto a una fruizione puramente segnica dei simboli algebrici che usano.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.13 Dall'altro allievi che costruiscono pratiche matematiche simboliche condivise con quelle di una società più ampia e quindi afferrano il senso inteso (condiviso) dei simboli che usano.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.14 Un caso interessante: l’esempio del pavimento e l’origami:

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.15 DOPPIO

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.16 DOPPIO

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.17 DOPPIO TRIPLO

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.18 TRIPLO 2 QUADRATI IN PIÙ AD OGNI ANGOLO = 8 IN TUTTO

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.19 9. Discutere i casi che appaiono ‘strani’

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.20 Esempio: y = mx + n Sostituendo m = 2, n = 3 tutto sembra chiaro: si ottiene la retta y = 2x + 3. Sostituendo x = 2, y = 3 si ottiene la scrittura 3 = m·2 + n che appare misteriosa

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.21 Riassumendo la lista (dovuta ad Arzarello, Fey, Arcavi): 1. Abilità ad analizzare un'espressione algebrica per fare stime approssimative degli schemi che emergeranno nella loro rappresentazione numerica o grafica. 2. Abilità a prevedere quando utilizzare la funzione algoritmica e quando quella simbolica.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.22 3. Abilità ad analizzare una tabella dei valori di una funzione o un grafico per interpretare condizioni enunciate verbalmente, al fine di identificare la probabile forma di un'espressione algebrica che esprime lo schema appropriato. 4. Abilità a cogliere/costruire sensi non equivalenti per significati equivalenti 5. Abilità di scelta dei simboli

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.23 6. Capacità di una manipolazione flessibile 7. Capacità di districarsi in situazioni "deboli" ricorrendo ai mezzi semplici di cui uno dispone per riconquistare il senso perduto. 8. Analizzare i simboli prodotti in retrospettiva 9. Discutere i casi che appaiono ‘strani’ ………...

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.24 1. L’insegnamento dell’algebra deve essere finalizzato all’acquisizione del senso dei simboli: insegnare le manipolazioni in contesti ricchi. 2. Sfruttare la tecnologia: apprendere per tentativi ed errori mediante interazione con manipolatori simbolico-grafici. 3. È l’attività degli studenti che supporta la costruzione del senso del simbolo

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.25 4. Assecondare i processi genetici di transizione al simbolo a partire dai campi di esperienza degli allievi, dando tempo e spazio a tutte quelle attività che favoriscono tali processi (interazione sociale, mediazione del linguaggio naturale parlato e scritto, esplorazioni,...)

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.26 Alcuni esempi di problemi ‘stimolanti’ nell’ambito di campi di esperienza diversi: Combinatoria e induzione Modelli ed Economia Probabilità Aritmetica e dimostrazioni

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.27 Combinatoria e induzione In quanti modi si può ricoprire una scacchiera 2xN con tasselli di domino ?

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.28 Ci sono due modi per iniziare il ricoprimento: TN-1 a TN = TN-1 + TN-2 b TN-2

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.29 Modelli ed Economia L'Italgas deve decidere, in relazione all'importo annuo medio pagato dai vari clienti (supponiamo da un minimo di L100 000 a un massimo di L 5 000 000), qual è il numero ottimale di bollette da mandare in un anno. Si tenga conto che ogni bolletta ha un costo fisso indipendente dall'importo e che si può supporre che le somme via via riscosse nel corso dell'anno rendano all'azienda un interesse mensile (diciamo dell’1%)

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.30 Probabilità Qual è la probabilità che dividendo a caso un segmento in tre parti si possa costruire un triangolo?

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.31 y x a x+y = a x + y < a 0 < x , 0 < y x + y > a - (x + y )  x + y > a/2 x > y - a + x + y  x < a/2 y > x - a + x + y  x < a/2 a/2 a Quindi la probabilità richiesta è 1/4

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.32 Aritmetica e dimostrazioni Esplicitare le dimostrazioni nascoste nei calcoli L’aritmetica come campo di esperienza per fare esplorazioni con problemi aperti, congetturare proprietà, fare dimostrazioni.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.33 Esempi. Dalle dimostrazioni di semplici proprietà numeriche (ad es. la somma di due dispari è un pari) a dimostrazioni più impegnative: La dimostrazione di Euclide sull’infinità dei numeri primi (nel biennio). La dimostrazione di Eulero della stessa proprietà con un’altra idea.

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.34 Se esistessero solo due primi p, q non sarebbe difficile esplicitare la scrittura della serie armonica con i fattori dei denominatori: Ma allora la serie armonica convergerebbe!