Gli Indici di VARIABILITA’ Elementi di Statistica descrittiva Gli Indici di VARIABILITA’ - Campo di variazione Scarto dalla media Varianza Scarto quadratico medio Coefficiente di variazione

Indici di Variabilità I valori medi sono indici importanti per la descrizione sintetica di un fenomeno statistico Hanno però il limite di non darci alcuna informazione sulla distribuzione dei dati

In tutte e tre le prove la media è 6,25 Esempio In tre differenti prove di matematica 4 studenti hanno riportato le seguenti valutazioni In tutte e tre le prove la media è 6,25 ma i dati sono chiaramente distribuiti in modo diverso

Diagramma di distribuzione delle tre prove

nel caso della 1a prova e 2a prova sarà opportuno fare un recupero per alcuni studenti nel caso della 3a prova l’insegnante può ritenere che gli obiettivi siano stati raggiunti dalla classe, anche se ad un livello solo sufficiente

In statistica è possibile valutare in modo sintetico la distribuzione dei dati mediante gli indici di variabilità (o dispersione) Vedremo i seguenti indici Campo di variazione (Range) Scarto medio dalla media Varianza e scarto quadratico medio Coefficiente di variazione

Campo variazione = x max – x min Campo di variazione E’ il più semplice degli indici di variazione: Si calcola facendo la differenza tra il dato più grande e il dato più piccolo Campo variazione = x max – x min Rappresenta l’ampiezza dell’intervallo dei dati

Xmax = 9; Xmin = 3 Range = 9 – 3 = 6 Esempio Consideriamo le valutazioni della prima prova Xmax = 9; Xmin = 3 Range = 9 – 3 = 6

Calcoliamo il Range per tutte le tre prove Range 1a prova = 6  dati più dispersi, risultati più eterogenei Range 3a prova = 1  dati più concentrati, risultati più omogenei Range 2a prova = Range 1a prova = 6 Stessa Distribuzione?

Vediamo graficamente

ma distribuzione 1a prova  Distribuzione 2a prova Osservazioni: 1. Il campo di variazione dà informazioni sulla distribuzione dei dati: più R è piccolo più i dati sono concentrati; più R è grande più i dati sono dispersi. 2. R è espresso nella stessa unità di misura dei dati 3. Tuttavia R tiene conto solo dei dati estremi della distribuzione e non di tutti i dati, pertanto distribuzioni diverse ma con gli stessi valori estremi hanno range uguali Es. Range 1aprova = Range 2a prova. ma distribuzione 1a prova  Distribuzione 2a prova

Scarto medio dalla media aritmetica Un altro modo per calcolare la variabilità dei dati (tenendo conto di tutti i dati) consiste nel calcolare la distanza di tutti i dati dalla media e fare la media aritmetica di tali distanze Scarto medio = Distanza media dei dati dalla media

Osservazione Scarto sm = 0

Consideriamo le valutazioni della prima prova Esempio Consideriamo le valutazioni della prima prova x1 =  3 – 6,25  = 3,25; x2 =  5 – 6,25  = 1,25; x3 =  8 – 6,25  = 1,75; x4 =  9 – 6,25  = 2,75; Sm = 3,25 + 1,25 + 1,75 + 2,75 = 2,25 4

Calcoliamo lo Scarto medio per tutte le tre prove Scarto 1a prova = 2,25  dati più dispersi, risultati più eterogenei Scarto 3a prova = 0,38  dati più concentrati, risultati più omogenei Scarto 2a pr.  Scarto 1a pr. “Le Distribuzioni Differiscono”

Diagramma degli scarti dalla media

Osservazioni: 1. Lo scarto medio dalla media dà informazioni sulla distribuzione dei dati: più SM è piccolo più i dati sono concentrati; più SM è grande più i dati sono dispersi. 2. SM è espresso nella stessa unità di misura dei dati 3. Non ha l'inconveniente del “Campo di variazione” in quanto SM tiene conto di tutti i dati della distribuzione

Varianza e Scarto quadratico medio Sono gli indici di variabilità più utilizzati, e tengono conto della distribuzione di tutti i dati. Varianza Rappresenta la media aritmetica dei quadrati delle distanze dei dati dalla media M

Consideriamo le valutazioni della prima prova Esempio - Varianza Consideriamo le valutazioni della prima prova (x1)2 = (3 – 6,25 )2 = 10,5625; (x2)2 = (5 – 6,25 )2 = 1,5625; (x3)2 = (8 – 6,25 )2 = 3,0625; (x4)2 = (9 – 6,25 )2 = 7,5625; 2 = 10,5625+1,5625+3,0625+7,5625 = 5,6875 4

Calcoliamo la Varianza per tutte le tre prove Varianza 1aprova = 5,69  dati più dispersi, risultati più eterogenei Varianza 3a prova = 0,19  dati più concentrati, risultati più omogenei Varianza 2a pr.  Varianza 1a pr “Le Distribuzioni Differiscono”

Scarto quadratico medio o Deviazione standard È uguale alla radice quadrata della varianza

Esempio - Scarto quadratico medio Riprendiamo le valutazioni della prima prova

Calcoliamo lo Scarto quadratico medio per tutte le prove Scarto q. 1aprova = 2,38  dati più dispersi, risultati più eterogenei Scarto q. 3aprova = 0,43  dati più concentrati, risultati più omogenei Scarto q. 2a pr.  Scarto q. 1a pr “Le Distribuzioni Differiscono”

Osservazioni: 1. La varianza 2 e lo scarto quadratico medio  danno informazioni sulla distribuzione dei dati: più 2 e  sono piccoli più i dati sono concentrati; più 2 e  sono grandi più i dati sono dispersi. 2. Entrambi gli indici tengono conto di tutti i dati della distribuzione

3. Entrambi si basano sulla proprietà della media per cui la somma dei quadrati degli scarti dalla media è minima 4. La varianza è espressa mediante il quadrato dell’unità di misura dei dati 5. Lo scarto quadratico nella stessa unità di misura dei dati e pertanto viene preferito alla varianza

Il coefficiente di variazione CV Il CV è una misura relativa di dispersione (le precedenti sono misure assolute) ed è una grandezza adimensionale. E’ particolarmente utile quando si devono confrontare le distribuzioni di due gruppi con medie molto diverse o con dati espressi in scale differenti (es. confronto tra variazione del peso e variazione dell’altezza).

In natura il coeff. di variazione tende a rimanere costante per ogni fenomeno: i valori normalmente variano dal 5% al 15% Se i valori di CV sono esterni a quelli indicati « o si è in presenza di errori di rilevazione, « oppure il fenomeno presenta aspetti particolari. « se CV è molto basso (2 – 3 %) bisogna sospettare l’esistenza di fattori limitanti la variabilità, « se CV è molto alto (intorno al 40% o più) è molto probabile l’esistenza di fattori che aumentano la variabilità

Calcoliamo il Coeff. di variazione delle tre prove CV 1a prova = 38,16%  dati più dispersi, risultati più eterogenei CV 3a prova = 6,93%  dati più concentrati, risultati più omogenei CV 2a pr.  CV 1a pr  “Le Distribuzioni Differiscono”

Coefficiente di variazione Esempio Nel reparto di ginecologia e ostetricia di un ospedale è stato rilevato il peso di un campione di 80 neonati maschi e contemporaneamente il peso dei rispettivi papà. I dati ottenuti sono espressi nella seguente tabella: Gruppo Media Deviazione Standard Neonati 3,4 kg 0,8 Babbo 82 kg 15 Ci si chiede se, rispetto alla variabile peso, esiste più variabilità nel gruppo dei neonati o in quello dei papà.

Per poter operare un confronto sulla variabilità dei due gruppi è opportuno calcolare i rispettivi coefficienti di variazione:     Osservando i risultati si può concludere che il gruppo dei bambini presenta una maggiore variabilità rispetto a quella del gruppo dei Papà.

Le misure di Forma Noi esamineremo: l’asimmetria la curtosi Sono indici sintetici utilizzati per evidenziare particolarità nella forma della distribuzione. Noi esamineremo: l’asimmetria la curtosi

Asimmetria Una distribuzione è simmetrica quando la sua curva di frequenza presenta un asse di simmetria In una distribuzione simmetrica media, mediana e moda sono coincidenti. media = mediana = moda In una distribuzione asimmetrica media, mediana e moda non sono più coincidenti La differenza (distanza) tra la media e la moda può essere considerata una misura della asimmetria

Sono state proposte diverse misure dell’ asimmetria, per esempio le più semplici sono: Dette rispettivamente: primo e secondo coeff. di asimmetria di Pearson Un altro coeff di asimmetria è il Coeff. di asimmetria (di Fisher) = scarto quadratico medio Se a = 0 distribuzione simmetrica Se a > 0 asimmetria destra Se a < 0 asimmetria sinistra

Asimmetria positiva (as. Destra) La distribuzione è asimmetrica quando non presenta nessun asse di simmetria. Si ha un’asimmetria positiva o destra quando il ramo destro della curva è più lungo di quello sinistro media=63,65 moda = 48 mediana =58 In questo caso si ha: moda < mediana < media

Asimmetria negativa (as. Sinistra) Si ha un’asimmetria negativa o sinistra quando il ramo sinistro della curva è più lungo di quello destro media = 85,24 moda = 100 mediana = 90 In questo caso si ha: media < mediana < moda

Curtosi Se una distribuzione è simmetrica o quasi simmetrica allora può esser più o meno appuntita o più o meno appiattita rispetto alla distribuzione normale (o di Gauss) Se la curva è più appuntita si dice curva Leptocurtica più appiattita si dice curva Platicurtica Coeff. di curtosi di Pearson  = scarto quadratico medio 0  K < +  Se K = 3 distribuzione normale se K > 3 curva leptocurtica Se K < 3 curva platicurtica.

Curtosi leptocurtosi K = 8,57 platicurtosi K = 2,8 curva normale K = 3

Curtosi Spesso il coeff. di curtosi viene indicato con b2 che, come visto, nel caso della distribuzione normale è = 3 pertanto, talvolta, la curtosi viene indicata con (b2 – 3) Allora: se la distribuzione è normale (b2 – 3 ) = 0 se la distribuzione è leptocurtica (b2 – 3 ) > 0 se la distribuzione è platicurtica (b2 – 3 ) < 0

Data la seguente distribuzione unitaria del carattere X: Esempio 1 Data la seguente distribuzione unitaria del carattere X: X: 4 2 4 2 6 4 0 4 0 2 4 4 a. Calcolare la media aritmetica utilizzando la distribuzione di frequenza; b. Verificare che la somma degli scarti dalla media è zero; c. Verificare che la somma degli scarti al quadrato dalla media ( varianza) è più piccola della somma dal valore 2 ( ciò vale per ogni altro valore diverso dalla media aritmetica ). xi fi xifi   2 -3 -6 18 -2 8 3 6 -1 4 24 1 9 16 Media = 12 36 48

Esercizio 2 Con riferimento alla seguente distribuzione di un gruppo di 60 aziende, secondo la classe di fatturato, calcolare La media e la classe modale; La varianza e lo scarto quadratico medio della distribuzione di fatturato.

Quando i valori si presentano raggruppati in classi si parla di classi modali. Se la distribuzione delle unità statistiche hanno intervalli di ampiezza diversa, allora la classe modale è quella classe a cui corrisponde la massima densità di frequenza hi. Nel nostro caso: Nel nostro caso è la classe modale 0 – 5

b) La varianza e lo scarto quadratico medio della distribuzione di fatturato.

Fine Lezione

σ è un parametro che caratterizza la distribuzione normale (Gaussiana) La deviazione standard è particolarmente significativa nelle distribuzioni gaussiane (grafico simmetrico rispetto alla media). Si può dimostrare che se la distribuzione è gaussiana, si ha che: σ è un parametro che caratterizza la distribuzione normale (Gaussiana)

In una distribuzione perfettamente simmetrica con media M

Il costo medio mensile è CM=56 € e la deviazione standard s = 5 €; Il costo mensile del trasporto scolastico in una popolazione di 800 studenti, ha una distribuzione gaussiana. Il costo medio mensile è CM=56 € e la deviazione standard s = 5 €; Quanti sono gli studenti che hanno un costo tra 56 – 61 €? Quanti studenti hanno un costo superiore a 66€? ( M+2s ) Risposta a. Risposta b. Risposta c.

La popolazione e il campione E’ la ricerca dei valori dell’universo attraverso un suo campione. Il campione deve riprodurre in piccola scala la popolazione I nostri campioni vengono dedotti mediante estrazione anche ripetuta. Questo significa che ogni elemento della popolazione ha la stessa possibilità di essere nuovamente estratto. Le formule sono più semplici.

La popolazione e il campione Esempio: Una azienda agricola produce 25.000 polli da rosticceria ogni 40 giorni del peso di 1,6 kg con una tolleranza di 0,1 kg. I polli da scartare sono lo 0,2% del totale.  

La popolazione e il campione Riassumiamo i parametri in una tabella. Numerosità Media Deviazione standard Percentuale Popolazione N=25000 M=1,6 kg s= 0,1 p =0,2 Campione n = 500 s =0,06 kg f =0,4 I dati che fornisce il campione rappresentano la stima della popolazione. Gli eventuali differenze andranno discusse ed eventualmente modificate.

La sistribuzione campionaria  

Questa procedura si chiama stima puntuale Stima della media Come si può stimare la media dell’universo utilizzando la media del campione? Questa procedura si chiama stima puntuale Meglio accompagnarla anche dalla deviazione standard del campione  

In questo caso posso utilizzare la deviazione standard del campione s, che però non essendo uno stimatore corretto, va modificata in questo modo:    

  intervallo di confidenza: intervallo di valori plausibili per quel parametro, che viene definito intervallo di confidenza (o intervallo di fiducia).   Se la confidenza deve essere del 95%, significa che il 95% dei campioni estratti deve avere una altezza compresa nell’intervallo m ± qualcosa

  Mi aspetto che questi 57 studenti abbiano un’altezza compresa nell’intervallo:     La media del campione considerato è compresa nell’intervallo delle medie campionarie  

effettuiamo una stima puntuale a un livello di confidenza del 99% ES: Stimiamo l’altezza media in una popolazione di ragazzi di 19 anni sapendo che da un campione di 65 di essi, abbiamo rilevato che l’altezza media e la deviazione standard sono rispettivamente:   effettuiamo una stima puntuale a un livello di confidenza del 99%   Errore standard L’intervallo di confidenza pari al 99% sarà:  

La concentrazione Il reddito annuo (in migliaia di euro) di 7 fratelli è il seguente: Individui A B C D E F G Reddito in migliaia di € 15 20 12 10 18 30 35