Algebra di Boole

Chi era Boole? George Boole, è stato un matematico e logico britannico, ed è considerato il fondatore della logica matematica. Nel 1854, pubblicò un libro, An Investigations of the Laws of Thought (Un esame sulle leggi logiche del pensiero), in cui dimostrava che la maggior parte del pensiero logico, privata di particolari irrilevanti e verbosità, potesse essere concepita come una serie di scelte. Questa idea è divenuta la base dei computer.

DEFINIZIONE DI STRUTTURA ALGEBRICA: Insieme di elementi per il quale vengono definite un insieme di operazioni con particolari proprietà.

NEGAZIONE LOGICA o COMPLEMENTO L’ ALGEBRA BOOLEANA È… … una struttura algebrica definita da: L’insieme 𝐵= 1;0 valori booleani (operandi) (vero/falso; chiuso/aperto; on/off...) Le seguenti operazioni (operatori o connettivi logici): Nome Simboli Unaria/Binaria SOMMA LOGICA + , ∨ , OR binaria PRODOTTO LOGICO * , ∧ , AND NEGAZIONE LOGICA o COMPLEMENTO ─ , ⌐, ‾ , ‘, NOT unaria

IMPORTANTE! Gli operatori logici visti e in generale le funzioni che operano sulle variabili booleane sono dette funzioni booleane e possono produrre solo i valori 0 e 1

Cosa rappresenta l’ALGEBRA BOOLEANA? L’algebra booleana è adatta per rappresentare “eventi binari”, cioè condizioni che possono assumere solo due valori –Esempio: Una lampadina può essere accesa (a questa condizione si associa il valore 1 vero) oppure spenta (valore 0 falso)

Quindi… …si studia l’algebra booleana poiché le funzioni dell’algebra booleana sono isomorfe ai CIRCUITI DIGITALI. In altre parole, un circuito digitale può essere espresso tramite un’espressione booleana e viceversa.

ALGEBRA BOOLEANA E PORTE LOGICHE (LOGICAL GATE) All’interno di un elaboratore è presente una pluralità di dispositivi elettronici elementari che applicano i connettivi e le funzioni dell’algebra booleana. Ciascun dispositivo elementare prende il nome di PORTA LOGICA ed ha associato un simbolo usato nei testi specialistici e in sede di progetto…

DIGITAL ELECTRONICS - LOGIC CIRCUITS LOGIC circuits are normally composed of ‘gates’. A combination of gates make up a circuit and some digital circuits can be extremely complex. It is the logic gates that produce pulses of electrical current (1s and 0s). At school level, digital logic circuits are relatively simple. Below are simple drawings that help explain the two most popular logic gates - the AND gate and the OR gate. REMEMBER: When the bulb lights this represents a ‘1’ as current is running through the filament. If current is not running through the filament the bulb will not light and this represents a ‘0’ (zero).

The AND gate

The OR gate

PRECEDENZA DEGLI OPERATORI LOGICI: Operatore unario: NOT Operatore binario: AND Operatore binario: OR

IMPORTANTE: Tutte le funzioni booleane possono essere espresse come combinazioni di questi tre operatori Ad ogni funzione di base corrisponde una porta logica e quindi ogni espressione booleana può essere tradotta in un circuito Tramite le proprietà dell’algebra booleana è possibile semplificare espressioni booleane complesse

Anche i circuiti corrispondenti saranno più semplici e richiederanno un minor numero di porte logiche Minori costi di realizzazione dei circuiti e minore occupazione di spazio Le espressioni booleane vengono utilizzate nei linguaggi di programmazione per la defiinizione dei criteri decisionali

Cominciamo con i primi esercizi Ricorda: Per ricavare la tabella di verità da una funzione logica si applicano tutte le combinazioni di valori agli ingressi e si valutano le uscite

ESERCIZI Determinare la tabella di verità delle seguenti funzioni: 𝑓 𝐴,𝐵 = 𝐴∧B (funzione NAND) (cosa fa?) 𝑓 𝐴,𝐵 = 𝐴∨B (funzione NOR) (cosa fa?) 𝑓 𝐴,𝐵 = 𝐴 ∧𝐵∨𝐴∧ 𝐵 (funzione EX-OR) (?) 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶 =𝐴∧ 𝐵∨𝐶

SOLUZIONE ES. 1 - NAND: 𝑓 𝐴,𝐵 = 𝐴∧B 𝐴∧𝐵 f 1

SOLUZIONE ES.2 - NOR : 𝑓 𝐴,𝐵 = 𝐴∨B A B f 1

Delle funzioni NAND e NOR c’è anche il simbolo circuitale:

SOLUZIONE ES. 3 – EX-OR (or esclusivo): 𝑓 𝐴,𝐵 = 𝐴 ∧𝐵∨𝐴∧ 𝐵 A B 𝐴 ∧𝐵 𝐴∧ 𝐵 f 1

SOLUZIONE ES. 4: 𝑓 𝐴,𝐵,𝐶 =𝐴∧ 𝐵∨𝐶 A B C B∨C f 1

ORA COSTRUIAMO I CIRCUITI Esempio 1: 𝑭 𝑿,𝒀,𝒁 =𝑿+ 𝒀 Z Possiamo rappresentare la funzione usando la tabella di verità.

Il circuito logico corrispondente alla suddetta 𝑭 𝑿,𝒀,𝒁 =𝑿+ 𝒀 Z è:

Esempio 2:

Tabella di verità esempio 2 (prima parte)

Tabella di verità esempio 2 (seconda parte)

La semplificazione delle funzioni

Le leggi di De Morgan nel caso generale Prova a domostrarle nel caso di due variabili!

Dimostriamo il teorema di De Morgan:

Semplifichiamo Il vantaggio dell’algebra di Boole sta nel fatto che permette la semplificazione dei circuiti. Esempio: Disegnate il circuito relativo alla seguente funzione: 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 ∙𝑦∙𝑧+ 𝑥 ∙𝑦∙ 𝑧 +𝑥∙𝑧 2. Semplificatela utilizzando le proprietà appena viste

Soluzione:

Le due funzioni sono equivalenti (hanno la stessa tabella di verità), ma la seconda funzione è realizzabile con un circuito più semplice:

BIBLIOGRAFIA http://it.wikipedia.org/wiki/George_Boole http://bias.csr.unibo.it/maltoni/arc/Dispense/AlgebraDiBoole.pdf http://www.technologystudent.com/elec1/dig2.htm http://www.fermi.mo.it/~loar/mysito/DownLoad/elettronica3/AlgebraDiBoole.pdf http://www.technologystudent.com/