Il laboratorio delle Macchine Matematiche Progetto Mate-Laboratorio Incontro 22 settembre 2011 Cremona

Corso nato dalla collaborazione tra Associazione delle macchine Matematiche Cremona 2011

Francesca Martignone francesca.martignone@unimore.it Nicoletta Nolli nico559@libero.it Cinzia Galli cinzia.galli@comune.cremona.it museo.storianaturale@comune.cremona.it Francesca Martignone francesca.martignone@unimore.it Rossella Garuti rossella.garuti@libero.it Associazione delle Macchine Matematiche info@macchinematematiche.org Cremona 2011

Cosa è stato fatto 2010/2011 Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito Apertura al prestito (Cinzia Galli) Inizio corso di formazione

1° parte anno scolastico 2010-2011 Programma del corso 1° parte anno scolastico 2010-2011   DATA TITOLO Elementi di contenuto e strumenti   Primo incontro 30 marzo 2011 15-18 Sala Puerari e Aula Didattica Presentazione del progetto: intervengono M.L.Beltrami (UST ) e Laura Parazzi (Dirigente Liceo Scientifico Aselli) Il Laboratorio di Matematica nelle Indicazioni per il Curricolo e nel nuovo Obbligo Formativo Il laboratorio di matematica e macchine matematiche: quadro teorico. Un esempio di continuità verticale. Analisi di un caso: costruzioni con riga e compasso. L’idea generale di Laboratorio di Matematica STRUMENTI: riga e compasso Secondo incontro 14 aprile Costruzioni con riga e compasso Il laboratorio di matematica: macchine geometriche (macchine per le trasformazioni) Trasformazioni geometriche: simmetria assiale e dilatazione STRUMENTI: Pantografi e Biellismi Terzo incontro 28 aprile Trasformazioni geometriche: dilatazione e omotetia Cremona 2011

Le macchine analizzate fin ora IL COMPASSO I PANTOGRAFI PER LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO

I materiali del corso Presentazioni ppt Schede di lavoro Animazioni virtuali delle macchine Materiali da sperimentazioni Griglie di progettazione http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm

Cosa faremo oggi Ripresa del lavoro Alcuni estratti da sperimentazioni già svolte Discussione proposte di sperimentazioni

Quadro teorico del progetto Ricerche nazionali ed internazionali Idea di laboratorio di matematica Ricerche storico-epistemologiche e didattiche sulle macchine matematiche Mediazione semiotica Ricerche su aspetti cognitivi legati all’esplorazione delle macchine matematiche

La documentazione pubblica del Progetto MMLab-ER www.mmlab.unimore.it  Progetto regionale Emilia-Romagna  Risultati del progetto Report delle sperimentazioni (insegnanti) Foto e video (insegnanti e centri di doc.) Libro Progetto regionale (Martignone (ed.), 2010) Tesi di dottorato (Garuti, 2011) Diari di bordo delle sperimentazioni (insegnanti) Pubblic. su riviste e comunic. agli atti di congressi naz. e internaz. (insegnanti e ricercatori MMLab) UMI 2011

Laboratorio con gli studenti Metodologia Laboratorio di matematica (curriculi UMI) Laboratorio con gli insegnanti durante il corso di formazione Laboratorio con gli studenti nelle sperimentazioni nelle classi

Processi e aspetti culturali coinvolti Metodologia laboratoriale Lavori di gruppo e discussioni Quali focus? Quali artefatti? Processi e aspetti culturali coinvolti Le Macchine Matematiche

Focus Aspetti culturali: Le macchine come oggetti usati nella storia della matematica e non solo Il ruolo della definizione e dimostrazione nella cultura matematica Processi: Produzione congetture, sviluppo di argomentazioni e costruzione di dimostrazioni

Gli ingredienti Metodologia laboratoriale Opportune consegne Attività in piccoli gruppi Discussioni collettive Macchine Matematiche: Macchine aritmetiche e geometriche Attenzione ai Processi e agli aspetti culturali coinvolti Opportune consegne

La prima macchina analizzata: il compasso Cremona 2011

Costruzioni di triangoli isosceli (tenendo presente la disuguaglianza triangolare) Partendo dall’asse di simmetria… Data la base costruire i lati congruenti… Partendo dagli angoli conguenti Partendo dalla proprietà della crf …

Due triangoli isosceli congruenti … Diagonali che si secano… Rombo o parallelogramma… Perpendicolare alla perpendicolare …. Angoli alterni interni o corrispondenti congruenti… Triangoli e Talete… E poi variazionidi queste come: costruzioni di trapezi isosceli, di rettangoli… 8 aprile 2017 Esempi di costruzioni di rette paralllele ricostruite da Simone Banchelli con un software di DG

Nelle diverse costruzioni Da dove siete partiti? Dalla definizione, da quali proprietà del triangolo? PERCHE’? Quale procedura avete seguito? PERCHE’? Che ruolo hanno avuto gli strumenti in queste scelte? E le conoscenze (pratiche e teoriche)? Cosa abbiamo notato dal confronto tra le diverse costruzioni? Cremona 2011

Pantografi Meccanismi che stabiliscono una corrispondenza locale tra i punti di due regioni piane limitate collegandole fisicamente attraverso sistemi articolati e che incorporano le proprietà che caratterizzano la trasformazione geometrica del piano

Le quattro domande chiave che hanno strutturato tutte le attività con le macchine (nelle attività con gli insegnanti e con gli studenti) ESPLORAZIONI Come è fatta? Cosa fa? Perché lo fa? Cosa succederebbe se …? ARGOMENTAZIONI DIMOSTRAZIONI CONDIZIONALITA’ PROBLEM POSING E PROBLEM SOLVING

Il pantografo per la simmetria assiale x'=x y'=-y Come è fatto? Cosa fa? Perché? Cosa succederebbe se…? Due vertici di un rombo articolato sono vincolati a muoversi su una guida rettilinea (r) e quindi gli altri due vertici (P e Q) si corrispondono in una simmetria assiale di asse r UMI 2011

Cosa succederebbe se… cambiassimo la lunghezza delle aste? Variazioni del pantografo: quadrilateri con due lati congruenti PERCHE’ fa/non fa una simmetria assiale? Che cosa fa? Perché? a= AP B= AQ P(x,y) Q(x’,y’) x’=x A C B Associazione delle Macchine Matematiche www.macchinematematiche.org

Stiramento Equazioni: x'=-kx y'=y I triangoli FQG e MPN sono simili: QH:PH=QF:PM QH:PH=(QB+BM):PM QB=l PM=d QH:PH=(2l-d):d K=(2l-d)/d 8 aprile 2017

Idee di percorsi didattici Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche Idee di percorsi didattici Indicazioni metodologiche Alcune linee guida e materiali di lavoro Idee di percorsi 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Indicazioni metodologiche Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga, squadrette, compasso. Lavoro a piccoli gruppi. Verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi

Autori: R. Garuti e F. Martignone Quanto tempo? Almeno 3 ore (2+1) per introdurre la prima macchina: esplorazione e successiva discussione con focus sui processi e sugli aspetti culturali coinvolti A seconda del percorso e del numero di macchine scelte, si potrà progettare di quanto allungare la sperimentazione 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Autori: R. Garuti e F. Martignone Quali sono gli aspetti che mettono in gioco le attività con i pantografi? Aspetti legati Alla geometria: analisi delle proprietà delle figure trasformate, dimostrazioni (geometria euclidea)… All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra segmenti, figure… 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Quali possibili obiettivi? Fornire un contesto di apprendimento di significati matematici in cui: vengano favoriti processi di argomentazione e dimostrazione siano messe in luce le connessioni della matematica con la storia, la cultura e la vita quotidiana 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Per questo, durante le attività laboratoriali Si vuole dare spazio a: Attività di esplorazione Manipolazioni ed osservazioni di oggetti fisici Verbalizzazione (orale e scritta) Discussioni collettive

Cosa è stato fatto 2010/2011 Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito Apertura al prestito (Cinzia Galli) Inizio corso di formazione Progettazione sperimentazioni

Griglia per la progettazione 8 aprile 2017

I vostri progetti Discussione

Possibili percorsi di sperimentazione I pantografi per la simmetria assiale e per lo stiramento Il pantografo di Scheiner: esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo! 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Percorso 1: simmetria assiale e stiramento Analisi dello strumento (componente artefatto e schemi d’uso) Individuazione della trasformazione svolta dalla macchina (cosa fa la macchina) Riflessione sulle proprietà matematiche incorporate in questa (perché svolge una simmetria assiale)

Come è fatta la macchina? Produzione di testi descrittivi e argomentativi Discussioni matematiche Cosa fa? Perché lo fa?

Indicazioni metodologiche Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti) Strumenti: pantografi e fogli bianchi Richiesta di verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) dell’attività con la macchina Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Linee guida per le attività degli studenti Descrizione e disegno della macchina (come è fatta la macchina?) Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi del meccanismo (come si usa?) Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina (cosa fa la macchina?) Analisi delle caratteristiche della macchina che permettono lo svolgimento della trasformazione (le proprietà della trasformazione incorporate nella macchina)

Autori: R. Garuti e F. Martignone Cosa succederebbe se… 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

L’ultimo pantografo analizzato pantografo di Scheiner Come è fatto? Cosa fa? Perché lo fa?

Ricominciamo da qui… Come è fatto? Cosa fa? Perché lo fa?

Per dimostrare… Nel piano cartesiano: Per dimostrare l’allineamento di O, Q e P e il rapporto costante tra le distanze dei tracciatori (Q e P) dal punto fisso O, si possono considerare il triangoli simili OQA e OPB oppure i triangoli OQA, QPC e il parallelogramma AQCB… 8 aprile 2017

Confronto di dimostrazioni 8 aprile 2017

Omotetia di rapporto negativo (simm centr.) Cosa succederebbe se …? Omotetia di rapporto 1:3 Omotetia di rapporto negativo (simm centr.) Animazioni costruite con Geogebra o Cabri Costruzione di nuove macchine con materiali poveri: aste di plastica, bastoncini di legno…

Materiali ora presenti sul sito Presentazione PPT degli incontri Schede di lavoro per gli insegnanti Materiali analizzati Linee guida per percorsi didattici Griglie per la progettazione di sperimentazioni http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm

Materiali presto sul sito Presentazioni PPT e schede di lavoro dei prox incontri Schema di diario di bordo Modulo prenotazione macchine Pdf di articoli e libri in cui sono raccolte esperienze svolte da insegnanti dell’Emilia Romagna http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm

Da alcune sperimentazioni svolte in classe Progetto MMLab-ER

Sperimentazioni In tutte le sperimentazioni svolte dagli insegnanti coinvolti nel progetto MMLab-ER si ritrovano le linee guida del corso di formazione: La metodologia laboratoriale L’elaborazione di percorsi e di consegne cruciali L’attenzione ai processi Il focus sugli aspetti culturali

Come è fatta? Cosa fa? Perché?

Nuove consegne… lo Scheiner sbagliato Perché non funziona?

Giustificare la risposta Provare che… Descrivere il compasso … Costruire con riga e compasso … Scrivere la procedura Giustificare la risposta Provare che…

La voce degli insegnanti alcune riflessioni dai report finali “È stato interessante osservare i ragazzi all’opera non solo per la qualità degli elaborati finali prodotti, ma anche per l’opportunità di poterli ascoltare nel momento in cui le loro idee venivano alla luce, esposte e concretizzate”. [Banchelli- Liceo scientifico] “E’ importante anche sottolineare, che la lezione di geometria in laboratorio non richiede più tempo rispetto all’insegnamento classico, anzi, lo riduce, poiché suggerimenti, osservazioni e congetture fanno parte di una scoperta e di una crescita culturale di ognuno, nel rispetto dei propri modi e tempi di apprendimento” [Silvegni- IPSIA] UMI 2011

ricostruzioni virtuali con software di DG www.macchinematematiche.org Altre macchine ricostruzioni virtuali con software di DG www.macchinematematiche.org

Pantografo di Kempe P Questo pantografo si ottiene assemblando due sistemi articolati BCP e ADQ (ove BC=AD e CP=DQ) mediante tre aste uguali di lunghezza assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al piano. ABCD e CPQD sono quindi due parallelogrammi articolati. Il punto P (tracciatore) ha due gradi di libertà. B C Q A D 8 aprile 2017

http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00the.htm

Pantografo di Kempe Si può osservare che: Quando il puntatore percorre un segmento, il tracciatore descrive un segmento parallelo e uguale: in ogni posizione di R sul segmento a, PQRS è un parallelogramma (lati PQ ed RS paralleli e uguali) Viene conservato il verso di percorrenza delle figure Non esistono punti uniti , esiste un fascio improprio di rette unite. 8 aprile 2017

Pantografo di Kempe Questo pantografo si ottiene assemblando due sistemi articolati BCP e ADQ (ove BC=AD e CP=DQ) mediante tre aste uguali di lunghezza assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al piano. ABCD e CPQD sono quindi due parallelogrammi articolati. Il punto P (tracciatore) ha due gradi di libertà. 8 aprile 2017

Pantografo di Kempe x'=x Equazioni della trasformazione Sia h la lunghezza di AB. x'=x y'=y-h 8 aprile 2017

Rotazione 8 aprile 2017

Rotazione Costruzione: AP=AB=OC OA=CB=CQ triangoli PAB e BCQ simili Dimostrazione: 1) 2) relazione fra angoli:

Nei prossimi incontri Esplorazione di altre macchine matematiche: ancora un pantografo e poi curvigrafi e macchine aritmetiche Discussione progetti di sperimentazione Testimonianze dalle classi

2° parte anno scolastico 2011-2012 Programma del corso 2° parte anno scolastico 2011-2012   Data TITOLO Elementi di contenuto e strumenti   Quarto incontro 22 settembre 2011 15 – 18 Analisi delle prime sperimentazioni in classe Il laboratorio di matematica: macchine geometriche (macchine per le trasformazioni geometriche del piano) Discussione dei progetti Trasformazioni geometriche STRUMENTI: Pantografi e Biellismi Quinto incontro 13 ottobre 2011 Macchine geometriche: pantografi Macchine aritmetiche: costruzione e analisi Notazione posizionale, algoritmi, regolarità numeriche STRUMENTI: pantografi e pascalina, Sesto incontro 27 ottobre 2011 macchine geometriche (curvigrafi) Coniche e costruzioni di animazioni virtuali STRUMENTI: curvigrafi Settimo incontro 10 novembre 2011 I progetti di sperimentazione nelle classi Discussione dei progetti di sperimentazione con particolare attenzione alla metodologia laboratoriale Cremona 2011

Per la prox volta Compilare la griglia per la progettazione delle sperimentazioni Spedire la griglia ai formatori via e- mail Nicoletta Nolli nico559@libero.it Francesca Martignone francesca.martignone@unimore.it Per facilitare il prestito, comunicare il periodo in cui si pensa di svolgere la sperimentazione

Il diario di Bordo 8 aprile 2017

VIDEO DI ESEPRIENZE SVOLTE IN CLASSE MODENA DAL MIN 10.53-21.48 http://www.mmlab.unimore.it/on-line/Home/ProgettoRegionaleEmiliaRomagna/RisultatidelProgetto/Fotoevideo.html

Grazie! www.mmlab.unimore.it