Sezione Mathesis Pesaro Anna Maria Facenda Paola Fulgenzi Janna Nardi Floriana Paternoster

Consegna 1 1 2 3 4 Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed elementi geometrici) . Articolando il modello n.1 quale e quante figure interne si formano? Perché? Articolando i modelli n.2, n.3, n.4 quali e quante figure interne si formano? Perché? Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna e le diagonali e le mediane dalla figura esterna?

Consegna 2 1 2 3 4 Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed elementi geometrici) . Considerate il modello n.3, articolandolo quali e quante figure interne si formano e perché? Considerate i modelli n.2 e n.4, articolandoli quali e quante figure interne si formano e perché? Ora sai giustificare perché articolando il modello n.1 la figura interna è sempre un parallelogramma? Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna e le diagonali e le mediane dalla figura esterna?

una interessante proprietà unendo consecutivamente i punti medi dei lati di un qualsiasi quadrilatero anche concavo, si ottiene sempre un parallelogramma. Prendiamo in considerazione i triangoli ACD e PSD. Essi hanno un angolo in comune e i lati che lo comprendono in proporzione, infatti, poiché P ed S sono punti medi, DP/DA = DS/DC = 1/2 (Teorema di Talete), pertanto sono simili per il secondo criterio. Segue che PS//AC. Per lo stesso motivo anche QR//AC e dunque QR//PS. Da cui si deduce che i segmenti PQ e SR, essendo paralleli a DB, lo sono anche tra loro (proprietà transitiva). La dimostrazione vale anche per le coppie di triangoli DBC-SRC e ABD-AQP. D S C R P B Q A

Il rapporto di similitudine fra le coppie di triangoli prese in esame è sempre 1/2, pertanto i lati del parallelogramma inscritto sono sempre la metà delle diagonali di quello circoscritto. Se il quadrilatero esterno ha le diagonali congruenti le sue mediane sono perpendicolari perché il quadrilatero interno è inevitabilmente un rombo. Il parallelismo tra lati del parallelogramma e diagonali del quadrilatero esterno fa si che se quest’ultimo ha le diagonali perpendicolari, le sue mediane sono congruenti perché il quadrilatero interno è un rettangolo. Se si verificano entrambe le condizioni di cui sopra il parallelogramma interno è un quadrato.

Le Mediane nei quadrilateri Le mediane si bisecano in tutti i quadrilateri Sono congruenti in quelli a diagonali perpendicolari Sono perpendicolari in quelli a diagonali congruenti

Diagonali Mediane "se le diagonali sono perpendicolari allora le mediane sono congruenti", "se le mediane sono congruenti allora le diagonali sono perpendicolari" che si possono riunire nella doppia implicazione: "le diagonali sono perpendicolari se e solo se le mediane sono congruenti". Analoghe considerazioni portano a formulare la seguente doppia implicazione "le diagonali sono congruenti se e solo se le mediane sono perpendicolari".

Parallelogramma inscritto nel rombo Quando il quadrilatero esterno è un quadrato, lo è anche quello interno. In tutte le altre posizioni il poligono esterno è un rombo, quello interno un rettangolo. La figura interna è sempre un rettangolo poiché i suoi lati sono paralleli alle diagonali del rombo che sono sempre perpendicolari. Le mediane del quadrilatero esterno sono diagonali di quello interno, le mediane del quadrilatero interno fanno parte delle diagonali di quello esterno; nella deformazione, il poligono esterno conserva solo le diagonali come assi di simmetria, quindi quello interno solo le mediane. La figura esterna modifica gli angoli ma non i lati; quella interna i lati ma non gli angoli.

Definizione di quadrato e rombo con le mediane Si bisecano Sono congruenti Non modificano la loro misura Sono parallele ai lati Nel quadrato sono perpendicolari Nel quadrato sono assi di simmetria Def. Rombo: ? Def. Quadrato: ?

Controesempi Sono definizioni corrette? Def. Rombo: quadrilatero a mediane congruenti e che si bisecano Def. Quadrato: quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e che si bisecano. Sono definizioni corrette? Controesempi Def. Rombo: quadrilatero a mediane congruenti e a diagonali che si bisecano. quadrilatero a mediane congruenti e parallele ai lati. Def. Quadrato: quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e a diagonali che si bisecano. quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari e parallele ai lati.

Def. Rombo: parallelogramma a mediane congruenti. Def. Quadrato: parallelogramma a mediane congruenti e perpendicolari. Def. Quadrato: rombo a mediane perpendicolari.

Parallelogramma inscritto nel parallelogramma Quando il quadrilatero esterno è un rettangolo, quello interno è un rombo. In tutte le altre posizioni sia il poligono esterno che quello interno sono parallelogrammi. Le mediane del quadrilatero esterno sono diagonali di quello interno, le mediane del quadrilatero interno fanno parte delle diagonali di quello esterno; nella deformazione, il poligono interno perde le diagonali come assi di simmetria, quello esterno le mediane. La figura esterna modifica gli angoli ma non i lati; quella interna lati ed angoli.

Definizione di rettangolo e parallelogramma con le mediane Si bisecano Non sono congruenti Non modificano la loro misura Sono parallele ai lati Nel rettangolo sono perpendicolari Nel rettangolo sono assi di simmetria Def. Rettangolo: ? Def. parallelogramma: ?

Controesempio Sono definizioni corrette? Def. Rettangolo: ? Quadrilatero a mediane perpendicolari che si bisecano Def. parallelogramma: ? Quadrilatero a mediane che si bisecano Sono definizioni corrette? Controesempio Def. Rettangolo: Quadrilatero a mediane perpendicolari e diagonali che si bisecano. Quadrilatero a mediane perpendicolari e parallele ai lati Def. parallelogramma: Quadrilatero a mediane parallele ai lati

Def. Rettangolo: parallelogramma a mediane perpendicolari.

Modelli per mediane

Al modello a diagonali scanalate si può sovrapporre il parallelogramma inscritto realizzato in cartoncino, con i lati uguali alla metà delle diagonali e gli angoli della stessa misura di quelli formati dall’intersezione delle diagonali stesse. Modificando il punto di intersezione delle diagonali, conservandone la reciproca posizione, si può controllare, sovrapponendo al modello il parallelogramma in cartoncino, che quest’ultimo è sempre quello inscritto nel quadrilatero di partenza. Mentre il quadrilatero esterno subisce deformazioni di tipo proiettivo, quello interno trasla. Diagonali non congruenti e perpendicolari con inscritto il rettangolo Diagonali congruenti e non perpendicolari con inscritto il rombo

Articolando le diagonali quali trasformazioni subisce il parallelogramma inscritto? Cosa hanno in comune i parallelogrammi che si ottengono?

In un modello con diagonali non scanalate e fissate in un punto è possibile collegare con fermacampioni i lati del parallelogramma inscritto nel punto medio di ciascuno dei quattro bracci delle diagonali.