Lezione 4: Analisi nel Piano delle Fasi in Matlab Ing. Raffaele Carli (email: r.carli@poliba.it) Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 04 novembre 2013

Sommario Analisi nel Piano delle Fasi in Matlab: Introduzione all’uso di pplane Esempi nel caso di sistemi lineari

Piano delle fasi Richiami teorici: Il piano delle fasi per un sistema del secondo ordine è costituito dalle curve parametriche delle due variabili di stato (traiettorie), dove ogni curva si basa su una diversa condizione iniziale

Piano delle fasi per sistemi del II ordine Sistema del II ordine autonomo: Autovalori di A:

Piano delle fasi per sistemi del II ordine

Piano delle fasi per sistemi del II ordine Matrice di stato non singolare:

Introduzione a pplane pplane Toolbox per l’analisi nel piano delle fasi di sistemi del II ordine autonomi (anche non lineari) sviluppato dai ricercatori della Rice University di Houston gratuito e scaricabile da: http://math.rice.edu/~dfield

pplane Lanciando il programma dalla command line compare la finestra di setup

pplane Cliccando sul bottone Proceed, si apre la finestra di Display di pplane

pplane cliccando su un punto del piano delle fasi si tracciare la generica traiettoria del sistema considerato (equivale a fissare la condizione iniziale) Forward / Backward / Both

pplane Utilizzo del menu Graph

Esempio Sistema massa-molla-smorzatore Richiami teorici

Esempio Sistema massa-molla-smorzatore AUTONOMO Calcolo degli autovalori: 𝜔 𝑛 = 𝑘 𝑚 𝛿= 𝑏 2 𝑚𝑘 𝐴= 0 1 − 𝑘 𝑚 − 𝑏 𝑚 𝑠 2 + 𝑏 𝑚 𝑠+ 𝑘 𝑚 =0

Esempio Sistema massa-molla-smorzatore AUTONOMO Supponiamo: m=1 [kg], k = 1 [kg s-2] Analisi nel piano delle fasi al variare di 𝛿 = d 𝐴= 0 1 −1 −2𝛿

Esempio – risultati caso 1 d=-2

Esempio – risultati caso 1 d=-2 x0= 1 ; y0 = 1

Esempio – risultati caso 2 d=-1

Esempio – risultati caso 2 d=-1 x0= 1 ; y0 = 1

Esempio – risultati caso 3 d=-0.5

Esempio – risultati caso 4 d=0

Esempio – risultati caso 5 d=0.5 SOTTOSMORZAMENTO

Esempio – risultati caso 6 d=+1 SMORZAMENTO CRITICO

Esempio – risultati caso 7 d=+2 SOVRASMORZAMENTO

Continua…

Laboratorio di Analisi dei sistemi Grazie per l’attenzione! Ing. Raffaele Carli Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione email: r.carli@poliba.it